automatyka i sterowanie wyklad 13

background image

Jacek Kabziński

Automatyka i sterowanie

————————————————————————————————————————

background image

2

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Rozważać będziemy opis układu w postaci:

równanie stanu

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt
y( t ) Cx

równ

(

a

t )

ni

Du(

e wy ś

t )

j cia

=

+

=

+

x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1
z warunkiem początkowym x(0)=x

0

lub bardziej ogólnie x(t

0

)=x

0

0

0

0

t

t

x( t )

( t t )x

( t

)Bu( )d

τ

τ τ

= Φ −

+ Φ −

background image

3

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Def.: Stan x

0

nazywać będziemy sterowalnym, jeżeli istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające

układ z x

0

sprowadzające wektor stanu układu z punktu x

0

do 0 w skończonym czasie. Zbiór wszystkich

stanów sterowalnych oznaczymy przez

S

.


T1. Zbiór stanów sterowalnych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni stanów.
Dow.:

1

2

x

S , x

S ,

1

1

1

0

0

t

( t )x

( t

)Bu ( )d

τ

τ τ

= Φ

+ Φ −

2

2

2

0

0

t

( t )x

( t

)Bu ( )d

τ

τ τ

= Φ

+ Φ −

niech

2

2

1

2

2

2

1

0

u ( t ) t t

t

t , u ( t )

t

t t

>

= ⎨

< ≤

1

2

2

0

0

t

( t )x

( t

)Bu ( )d

τ

τ τ

= Φ

+ Φ −

(

)

(

)

1

1

2

1

2

0

0

t

( t ) ax

bx

( t

)B au ( ) bu ( ) d

τ

τ

τ

τ

= Φ

+

+ Φ −

+

czyli

1

2

ax

bx

S

+

background image

4

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Lemat:

1

0

n

i

i

i

( t )

( t )A

ϕ

=

Φ

=

Dow.:

Z definicji

2 2

3 3

0

2

3

i i

i

A t

A t

A t

( t ) I

At

!

!

i!

=

Φ

= +

+

+

+

=

Twierdzenie Cayley’a – Hamiltona :
Każda macierz jest spełnia swoje równie charakterystyczne, to jest jeśli

( )

1

1

1

0

det(

)

...

0

n

n

n

sI A

p s

s

b s

b s b

=

=

+

+ +

+

=

jest równaniem charakterystycznym macierzy A, to

0

0

1

1

1

=

+

+

+

+

I

b

A

b

A

b

A

n

n

n

(

)

1

1

1

0

n

n

n

A

b A

b A b I

= −

+ +

+

(

)

(

)

1

1

2

1

1

1

0

1

0

n

n

n

n

n

A

AA

b

b A

b A b I

b A

b A

+

=

= −

+ +

+

+ +

+

1

1

1

0

i

i

n

i

i

n

A

A

A

I

λ

λ

λ

=

+ +

+

background image

5

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

(

)

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

0

i

i

i

i

i

i

i

i

n

i

i

n

n

n

i

i

i

i

t

t

t

t

( t )

A

A

A

I

A

I

i!

i!

i!

i!

λ

λ

λ

λ

λ

=

=

=

=

Φ

=

=

+ +

+

=

+ +

Tw.:

1

n

S lin B,AB, ,A B

=

Dow.:

1

n

S

lin B,AB, ,A B

0

x

S

(

)

0

0

0

0

0

0

t

A t

At

e x

e

Bu( )d

τ

τ τ

=

+

0

0

0

t

A

x

e

Bu( )d

τ

τ τ

= −

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

i

t

t

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

:

x

(

)A Bu( )d

A B

(

)u( )d

A B

α

ϕ τ

τ τ

ϕ τ

τ τ

α

=

=

=

=−

= −

= −

=

Wektor wsp. o wymiarze takim jak
wektor wejść

background image

6

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

czyli

0

1

1

1

0

1

n

n

n

x

B,AB, ,A B

lin B,AB, ,A B

α

α

α

=


Dow.:

1

n

S

lin B,AB, ,A B

(szkic)

Jeśli

1

0

n

x

lin B,AB, ,A B

, to współczynniki

0

1

1

n

α

α

α

reprezentacji

0

1

1

0

1

n

n

x

B,AB, ,A B

α

α

α

= ⎣

⎦ ⎢

określone. Sterowanie wyznaczamy z zależności

0

0

t

i

i

(

)u( )d

α

ϕ τ

τ τ

− =

background image

7

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Dokładniej: Rozważmy

0

i

i

x

A B

α

=

. Szukamy sterowania, które

0

0

0

t

i

A

i

x

A B

e

Bu( )d

τ

α

τ τ

=

= −

. Załóżmy, że sterowanie będzie

stałe:

0

0

t

A

i

i

e

d Bu

A B

τ

τ

α

=

Ten układ równań będzie miał rozwiązanie jeśli

0

0

0

0

t

t

A

A

i

i

rank

e

d B

rank

e

d B A B

τ

τ

τ

τ

α

=

i tak jest faktycznie, bo

0

0

1

1

0

0

0

0

t

t

n

n

j

i

j

j

i

j

j

j

rank

A B

(

)d

A B

rank

A B

(

)d

ϕ

τ τ

α

ϕ

τ τ

=

=

=

Lemat:

{

}

1

1

At

n

n

t lin e

B,AB, ,A B

lin B,AB, ,A B

=


Def.: Stan x

0

nazywać będziemy osiągalnym, jeżeli istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające

układ z x

0

sprowadzające wektor stanu układu z punktu 0 do x

0

w skończonym czasie.


Tw. Stan x

0

jest osiągalny wtedy i tylko wtedy gdy jest sterowalny UKŁAD CIĄŁY!!.

background image

8

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Dow.: x

0

jest sterowalny

0

0

At

e

x

jest sterowalny

0

0

0

0

t

At

A

e

x

e

Bu( )d

τ

τ τ

= −

(

)

(

)

0

0

0

0

t

A t

x

e

B u( ) d

τ

τ

τ

=


Wniosek:
Jeśli

1

2

x

S , x

S ,

, to istnieje ograniczone sterowanie przeprowadzające układ z x

1

do x

2

w

skończonym czasie.

Def.: Układ, w którym przestrzeń stanów sterowalnych pokrywa się z przestrzenia stanu nazywamy
całkowicie sterowalnym.

Wniosek: Koniecznym I dostatecznym warunkiem całkowitej sterowalności układu jest

1

n

rank B,AB, ,A B

n

⎤ =

. Dla układu jednowejściowego B=b :

1

0

n

det b,Ab, ,A b

⎤ ≠

1

n

S

Q

B,AB, ,A B

= ⎣

macierz sterowalności układu.

background image

9

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Sterowalność a liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
wprowadzamy nowe zmienne stanu:

0

Pq( t ) x( t ), det P

=

równanie stanu

d

Pq( t ) APq( t ) Bu( t )

nowe

dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )

now

równanie wyjś a

e

ci

=

+

=

+

1

1

równanie st

d

q( t ) P APq( t ) P Bu( t )

nowe

dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )

anu

równanie wyjścia

nowe

=

+

=

+

1

1

d

q( t ) Aq( t ) Bu( t )

A P AP, B P B

dt
y( t ) Cq( t ) Du( t )

C CP

=

+

=

=

=

+

=



1

1

1

1

1

1

1

n

Sq

n

S

Q

P B,P AB, ,P A B

P

B,AB, ,A B

P Q

=

=

=

=

background image

10

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Modalny warunek sterowalności:

Tw.: Układ o macierzach

1

1

1

1

1

2

0

0

0

0

0

0

n

n

k nk

k

s I

B

s I

B

A

B

s I

B

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=

=

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

jest całkowicie sterowalny wtedy i tylko

wtedy, gdy

1

i

i

rank B

n

i

,...,k

=

=

.

Dow.:

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

S

n

n

k

k

k

k

k

k

nk

k nk

k

nk

B

s B

B

s B

I

s I

s

I

B

s B

B

s B

I

s I

s

I

Q

B,AB, ,A B

B

s B

B

s B

I

s I

s

I

=

=

=

⎦ ⎢



background image

11

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Rozważmy przekształcenie układu do postaci kanonicznej diagonalnej:

1

2

0

0

0

0

0

0

n

s

s

A

s

=

,

1

1

A V AV , B V B

=

=

- ten układ będzie całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy

gdy każdy z wierszy macierzy

1

B V B

=

będzie niezerowy, czyli

0

T

i

i w B

≠ , gdzie

1

1

2

T

T

T

n

w
w

V

:W

w

=

=

.

Porównajmy ten warunek z postacią modalną rozwiązania równania stanu:

( )

0

0

1

1

1

0

0

i

i

i

i

t

t

n

n

n

s t

s t

s t

s

T

T

T

i

i

i

i

i

i

i

i

i

x( t )

e v w x

e

v w Bu( )d

e v w x

e

Bu( )d

τ

τ

τ τ

τ τ

=

=

=

=

+

=

+

0

T

i

w B

warunek sterowalności i-tego modu

background image

12

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Inne kryteria całkowitej sterowalności:
1.

n r

rankB r rank B,AB, ,A B

n

=

=

2.

i

i rank s I

A B

n

=

3.

[

]

s C rank sI

A B

n

∀ ∈

=

4. wiersze

At

e B

są liniowo niezależne

5. wiersze

(

)

1

sI

A

B

są liniowo niezależne

6.

( )

( )

0

T

t

A t

A t

T

t

W

e

BB e

d

τ

τ

τ

=

jest dodatnio określona






background image

13

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Sterowalność wyjść układu:

równanie stanu

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt
y( t ) Cx

równ

(

a

t )

ni

Du(

e wy ś

t )

j cia

=

+

=

+

x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1

Wyjście układu jest całkowicie sterowalne jeśli dla dowolnych y

1

y

2

można wskazać ograniczone

sterowanie przeprowadzające wektor wyjść układu z położenia y

1

do y

2

w skończonym czasie.

Warunek :

1

n

rank CB,CAB, ,CA B,D

m

⎤ =

background image

14

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Sterowalność układów dyskretnych jednowejściowych

)

(

)

(

)

)

1

((

)

(

)

(

)

)

1

((

kT

bu

kT

Ax

T

k

x

kT

Bu

kT

Ax

T

k

x

+

=

+

+

=

+

Pow. układ jest całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy

)

)

((

,

),

)

1

((

),

(

,

,

T

N

k

u

T

k

u

kT

u

N

x

x

d

p

+

+

że dla

p

x

kT

x

=

)

(

d

x

T

N

k

x

=

+

)

)

((

)

(

)

)

1

((

kT

bu

Ax

T

k

x

p

+

=

+

)

)

1

((

)

)

1

((

)

)

2

((

T

k

bu

T

k

Ax

T

k

x

+

+

+

=

+

=

)

)

1

((

)

(

2

T

k

bu

kT

Abu

x

A

p

+

+

+

=

[

]

+

+

)

(

)

)

1

((

2

kT

u

T

k

u

Ab

b

x

A

p

.....................................................................

)

)

((

)

)

((

1

0

1

T

i

k

bu

A

x

A

T

n

k

x

n

i

i

n

p

n

+

+

=

+

=

background image

15

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

[

]

+

+

+

=

+

)

(

)

)

1

((

)

)

1

((

)

)

((

1

kT

u

T

k

u

T

n

k

u

b

A

Ab

b

x

A

T

n

k

x

S

Q

n

p

n

+

+

+

=

+

)

(

)

)

1

((

)

)

1

((

)

)

((

kT

u

T

k

u

T

n

k

u

Q

x

A

T

n

k

x

S

p

n

Jeżeli

n

rankQ

S

= to układ jest sterowalny, bo N=n i można wyznaczyć sterowanie

+

+

+

=

)

(

)

)

1

((

)

)

1

((

kT

u

T

k

u

T

n

k

u

Q

x

A

x

S

p

n

d

(

)

p

n

d

S

x

A

x

Q

kT

u

T

k

u

T

n

k

u

=

+

+

−1

)

(

)

)

1

((

)

)

1

((

background image

16

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Jeżeli układ jest sterowalny

n

rankQ

S

=

lub równoważnie
Jeżeli

n

rankQ

S

< to układ nie jest sterowalny

Dow.:

Jeżeli

n

rankQ

S

<

to istnieje i<n takie, że

b

A

c

b

A

j

i

j

j

i

=

=

1

0

(i-ta kolumna jest liniową kombinacją

poprzednich). Wtedy

=

+

=

=

=

=

=

=

+

=

=

+

b

A

c

b

A

c

b

A

c

b

A

c

b

A

c

A

b

A

i

i

j

i

j

j

j

i

j

j

j

i

j

j

j

i

j

j

i

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

b

A

c

b

A

c

c

b

A

c

j

i

j

j

j

i

j

j

i

j

i

j

j

=

=

=

=

+

1

0

1

0

1

1

1

1

~

,

czyli następna kolumna jest też liniową kombinacją i-1 pierwszych i każda następna postaci

b

A

N

N>i też

będzie liniową kombinacją i-1 pierwszych. Przestrzeń liniowa rozpięta na kolumnach macierzy

S

Q

(

S

linQ

) ma wymiar mniejszy od n.

Weźmy

0

=

p

x

Dowolny stan osiągalny z

0

=

p

x

ma postać

background image

17

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

[

]

+

+

=

+

)

(

)

)

1

((

)

)

1

((

)

)

((

1

kT

u

T

k

u

T

N

k

u

b

A

Ab

b

T

N

k

x

N

S

linQ

Jeżeli weźmiemy dowolny

S

d

linQ

x

to nie istnieje sterowanie przeprowadzające wektor stanu z 0 do

d

x

,

czyli układ nie jest sterowalny.


Warunek modalny sterowalności

Niech

[

]

n

v

v

v

P

2

1

=

przekształca A do postaci kanonicznej diagonalnej,

=

T

n

T

T

w

w

w

P

2

1

1

:

background image

18

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

=

n

z

z

z

A

0

0

0

0

0

~

2

1

,

b

P

b

b

b

b

n

1

2

1

~

~

~

~

=

=

=

b

w

w

w

T

n

T

T

2

1

=

b

w

b

w

b

w

T

n

T

T

2

1

[

]

b

A

b

A

b

Q

n

s

~

~

~

~

~

~

1

=

=

n

n

n

n

n

n

n

n

b

z

b

z

b

z

b

z

b

z

b

z

b

b

b

~

~

~

~

~

~

~

~

~

1

2

1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

=

n

b

b

b

~

0

0

0

~

0

0

0

~

2

1

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

n

n

n

n

n

z

z

z

z

z

z

=

=

n

Q

rank

rankQ

s

s

~

n

i

b

i

,

,

2

,

1

0

~

=

n

i

b

w

T

i

,

,

2

,

1

0

=

warunek modalny sterowalności bo:

)

(kT

x

=

)

)

((

)

0

(

0

1

T

i

k

bu

A

x

A

k

i

i

k

+

=

=

( )

)

0

(

1

x

w

v

z

T

j

j

n

j

k

j

=

( )

)

)

((

1

0

1

T

i

k

bu

w

v

z

k

i

T

j

j

n

j

i

j

+

∑∑

=

=

=

( )

)

0

(

1

x

w

v

z

T

i

i

n

i

k

i

=

( )

)

)

((

1

0

1

T

i

k

u

z

b

w

v

i

j

k

i

n

j

T

j

j

+

=

=

background image

19

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego



Sterowalność układów dyskretnych wielowymiarowych

n

m

rankC

n

r

rankB

m

kT

y

r

kT

u

n

kT

x

kT

Cx

kT

y

kT

Bu

kT

Ax

T

k

x

=

=

=

=

=

=

+

=

+

,

,

)

(

dim

,

)

(

dim

,

)

(

dim

)

(

)

(

),

(

)

(

)

)

1

((

Pow. układ jest sterowalny wtedy i tylko wtedy

)

)

((

,

),

)

1

((

),

(

,

,

T

N

k

u

T

k

u

kT

u

N

x

x

d

p

+

+

że dla

p

x

kT

x

=

)

(

d

x

T

N

k

x

=

+

)

)

((


)

(

)

)

1

((

kT

Bu

Ax

T

k

x

p

+

=

+

)

)

1

((

)

)

1

((

)

)

2

((

T

k

Bu

T

k

Ax

T

k

x

+

+

+

=

+

=

=

)

)

1

((

)

(

2

T

k

Bu

kT

Abu

x

A

p

+

+

+

=

[

]

+

+

)

(

)

)

1

((

2

kT

u

T

k

u

AB

B

x

A

p

background image

20

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego


.....................................................................

+

+

+

=

+

)

(

)

)

1

((

)

)

1

((

)

)

((

1

kT

u

T

k

u

T

N

k

u

B

A

AB

B

x

A

T

N

k

x

r

N

r

r

p

N

„paczki” po r kolumn

Jeżeli

[

]

n

B

A

AB

B

rank

N

=

−1

to układ jest sterowalny, bo z powyższego równania można

wyznaczyć ciąg sterujący.
Wskaźnik sterowalności układu:

[

]

{

}

n

B

A

AB

B

rank

N

N

=

=

−1

:

min

:

μ

gdy we wszystkich pierwszych paczkach przybywa po r kolumn liniowo niezależnych

1

r

n

r

n

μ

background image

21

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

gdy w kolejnych paczkach (drugiej, trzeciej ...) przybywa po jednej kolumnie liniowo niezależnej

Zbiór stanów N-osiągalnych:

[

]

B

A

AB

B

lin

N 1

Tw.

[

]

[

]

B

A

AB

B

lin

B

A

AB

B

lin

N

n

N

1

1

Warunki sterowalności

[

]

n

B

A

AB

B

rank

n

=

−1

[

]

n

B

A

AB

B

rank

r

n

=

[

]

B

A

AB

B

Q

n

s

1

=

macierz sterowalności


Obserwowalność, układy ciągłe

równanie stanu

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt
y( t ) Cx

równ

(

a

t )

ni

Du(

e wy ś

t )

j cia

=

+

=

+

background image

22

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1


Układ nazywamy całkowicie obserwowalnym, jeżeli dowolny warunek początkowy x

0

może być

odtworzony na podstawie pomiarów wyjść i znajomości wejść w skończonym czasie.

0

0

0

t

t

x( t )

( t t )x

( t

)Bu( )d

τ

τ τ

= Φ −

+ Φ −

0

0

0

t

t

y( t ) C ( t t )x

C

( t

)Bu( )d

Du( t )

τ

τ τ

= Φ −

+

Φ −

+

Wystarczy rozważyć układ:

background image

23

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

d

x( t ) Ax( t )

dt
y( t ) Cx( t )

=

=

0

At

y( t ) Ce x

=

1

0

n

i

i

i

( t )

( t )A

ϕ

=

Φ

=

1

0

0

n

i

i

i

y( t ) C

( t )A x

ϕ

=

= ⎜





Tw. Koniecznym i dostatecznym warunkiem całkowitej obserwowalności jest

background image

24

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

1

o

n

C

CA

rankQ

rank

n

CA

=

=

Dow.:
Warunek konieczny: (dowód nie wprost)

Jeśli

o

rankQ

n

<

to istnieje niezerowy x

0

taki, że

0

0

0

0

1

0

0

0

0 1 2

1

i

o

n

Cx

CAx

Q x

CA x

i

, , , ,n

CA x

=

=

=

=

1

0

0

0

n

i

i

i

y( t )

( t )CA x

ϕ

=

=

=

Warunek dostateczny:

background image

25

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

0

At

y( t ) Ce x

=

0

T

T

A t

T

A t

T

At

e C y( t ) e C Ce x

=

0

0

0

0

T

T

t

t

A

T

A

T

A

W ( t )

e C y( )d

e C Ce d x

Q( t ) W ( t )x

τ

τ

τ

τ τ

τ

=

=

jest

nieosobliwa

dla

dowolnych

t, bo gdyby była, to dla dowolnego x:

1

1

1

0

0

0

T

t

t

T

T

A

T

A

A

x W ( t )x

x e C Ce xd

Ce x d

τ

τ

τ

τ

τ

=

=

=

, czyli

0

At

Ce x

=

dla dowolnych t<t

1

, a to by znaczyło

1

0

0

n

i

i

i

( t )CA x

ϕ

=

=

, czyli

o

rankQ

n

<

.





background image

26

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Obserwowalność a liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
wprowadzamy nowe zmienne stanu:

0

Pq( t ) x( t ), det P

=

równanie stanu

d

Pq( t ) APq( t ) Bu( t )

nowe

dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )

now

równanie wyjś a

e

ci

=

+

=

+

1

1

równanie st

d

q( t ) P APq( t ) P Bu( t )

nowe

dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )

anu

równanie wyjścia

nowe

=

+

=

+

1

1

d

q( t ) Aq( t ) Bu( t )

A P AP, B P B

dt
y( t ) Cq( t ) Du( t )

C CP

=

+

=

=

=

+

=


1

1

oq

o

n

n

CP

C

CAP

CA

Q

Q P

CA P

CA

⎤ ⎡

⎥ ⎢

⎥ ⎢

=

=

=

⎥ ⎢

⎥ ⎢

background image

27

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Rozważmy układ w postaci kanonicznej diagonalnej:

1

2

0

0

0

0

0

0

n

s

s

A

s

=

,

1

A V AV ,C CV

=

=

- ten układ będzie całkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy,

gdy wszystkie kolumny macierzy

C CV

=

będą niezerowe. Porównajmy z

0

0

1

1

i

i

n

n

s t

s t

T

T

i

i

i

i

i

i

y( t ) C

e v w x

e Cv w x

=

=

=

=

0

i

Cv

warunek obserwowalności i-tego modu

Dualizm sterowalności i obserwowalności:
Para (A,B) jest sterowalna

Para (B

T

,A

T

) jest obserwowalna

Para (C,A) jest obserwowalna

Para (A

T

,B

T

) jest sterowalna



background image

28

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Obserwowalność układów dyskretnych jednowymiarowych

)

(

)

(

)

(

kT

du

kT

cx

kT

y

+

=

)

)

1

((

)

(

)

(

)

)

1

((

)

)

1

((

)

)

1

((

T

k

du

kT

cbu

kT

cAx

T

k

du

T

k

cx

T

k

y

+

+

+

=

+

+

+

=

+

)

)

2

((

)

)

1

((

)

(

)

(

)

)

2

((

2

T

k

du

T

k

cbu

kT

cABu

kT

x

cA

T

k

y

+

+

+

+

+

=

+

=

.....................................................................

1

2

1

2

1

n

n

y(( k n

)T ) cA x( kT ) cA Bu( kT )

cbu(( k n

)T ) du(( k n

)T )

+ −

=

+

+ +

+ −

+

+ −

+

+

+

=

+

+

)

)

1

((

)

)

1

((

)

(

0

0

0

)

(

)

)

1

((

)

)

1

((

)

(

2

1

T

n

k

u

T

k

u

kT

u

d

cb

b

cA

d

cb

d

kT

x

cA

cA

c

T

n

k

y

T

k

y

kT

y

n

Q

n

O



background image

29

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Def.
Układ jest obserwowalny jeżeli

)

)

((

,

),

)

1

((

),

(

,

T

N

k

u

T

k

u

kT

u

N

+

+

przy znanych

)

)

((

,

),

)

1

((

),

(

T

N

k

y

T

k

y

kT

y

+

+

można wyznaczyć

)

(kT

x

Tw.

Układ jest obserwowalny

n

rankQ

O

=


n

i

cv

i

,

,

2

,

1

0

=

- warunek modalny obserwowalności bo:

)

(

)

(

kT

cx

kT

y

=

=

)

)

((

)

0

(

0

1

T

i

k

bu

A

c

x

cA

k

i

i

k

+

=

=

( )

)

0

(

1

x

w

v

z

c

T

j

j

n

j

k

j

=

( )

)

)

((

1

0

1

T

i

k

bu

w

v

z

c

k

i

T

j

j

n

j

i

j

+

∑∑

=

=

=

( )

)

0

(

1

x

w

v

c

z

T

i

i

n

i

k

i

=

( )

)

)

((

1

0

1

T

i

k

u

z

b

w

cv

i

j

k

i

n

j

T

j

j

+

=

=

background image

30

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Postać kanoniczna Kalmana równań stanu

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

s no

s no

s no/ s no

s no/ s o

s no/ ns no

s no/ ns o

s o

s o

s o/ s o

s o/ ns o

ns no

ns no/ ns no

ns no/ ns o

ns no

ns o

ns o/ ns o

A

A

A

A

x

(( k

)T )

x

( kT )

A

A

x (( k

)T )

x ( kT )

A

A

x

(( k

)T )

x

( kT

A

x

(( k

)T )

+

+

⎥ =

+

+

⎦ ⎣

0
0

s no

s o

ns o

B

B

u( kT )

)

x

( kT )

⎤ ⎡

⎥ ⎢

⎥ ⎢

+

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎦ ⎣

[

]

=

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

)

(

kT

x

kT

x

kT

x

kT

x

C

C

kT

y

o

ns

no

ns

o

s

no

s

o

ns

o

s



background image

31

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego
















xs-no

xs-o

u

xns-no

xns-o

y

z

1

Unit Delay3

z

1

Unit Delay2

z

1

Unit Delay1

z

1

Unit Delay

Cns-o

.3

Cs-o

.2

Bs-o

.1

..5

..4

..1

Ans-o/ns-o

...9

Ans-no/ns-no

...7

Ans-no/ns-o

...6

As-o/ns-o

...5

As-no/ns-o

...4

As-no/ns-no

...3

As-no/s-o

...2

As-o/s-o

...1

As-no/s-no

...

..

Bs-no

.

background image

32

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

=

1

1

1

1

1

0

0

Y

ZY

X

X

Y

Z

X

[

]

o

ns

o

s

C

C

z

G

=

0

0

)

(

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

/

/

/

/

/

/

/

/

/

o

s

no

s

o

ns

o

ns

o

ns

no

ns

no

ns

no

ns

o

ns

o

s

o

s

o

s

o

ns

no

s

no

ns

no

s

o

s

no

s

no

s

no

s

B

B

A

A

A

A

A

A

A

A

A

zI

=

[

]

o

ns

o

s

C

C

=

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

/

/

/

/

/

/

/

/

/

o

s

no

s

o

ns

o

ns

o

ns

no

ns

no

ns

no

ns

o

ns

o

s

o

s

o

s

o

ns

no

s

no

ns

no

s

o

s

no

s

no

s

no

s

B

B

A

zI

A

A

zI

A

A

zI

A

A

A

A

zI

=

background image

33

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

[

]

o

ns

o

s

C

C

=

0

0

(

)

(

)

(

)

(

)

0

0

0

0

0

0

0

*

*

0

*

*

*

1

/

/

1

/

1

/

1

/

o

s

no

s

o

ns

o

ns

o

ns

no

ns

no

ns

no

ns

o

s

o

s

no

s

no

s

B

B

A

zI

A

A

zI

A

zI

A

zI

[

]

o

ns

o

s

C

C

=

0

0

(

)

0

0

*

1

/

o

s

o

s

o

s

B

A

zI

=

(

)

o

s

o

s

o

s

o

s

B

A

zI

C

1

/

(

)

o

s

o

s

o

s

o

s

B

A

zI

C

z

G

=

1

/

)

(

(

)

(

)

(

)

B

A

zI

Cadj

A

zI

B

A

zI

C

z

G

=

=

det

1

)

(

1

background image

34

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Układ niesterowalny:

Układ nieobserwowalny:


background image

35

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Skrócenie zer/biegunów:

background image

36

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego


background image

37

Automatyka i sterowanie 13 Sterowalność i obserwowalność

Układy czasu ciągłego i dyskretnego

Zadanie:

b

P( s )

s a

=

+

,

i

i

k

sk k

C( s ) k

s

s

+

= +

=

Parametry regulatora dobrano tak, by skrócić biegun obiektu i by

biegunem układu zamkniętego była wartość rzeczywista -p. Zbadać wszystkie transmitancje układu
(także dotyczące zakłóceń. Znaleźć opis w przestrzeni stanów, zbadać warunki sterowalności i
obserwowalności, także modalne warunki sterowalności i obserwowalności. Zbadać przebiegi w układzie
dla wolnego obiektu i szybkiego układu zamkniętego (np. a=0.1, p=1.0).


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
automatyka i sterowanie wyklad 15
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (8)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (2)
automatyka i sterowanie wyklad 3
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (7)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (14)
automatyka i sterowanie wyklad 16
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (12)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (16)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (5)
automatyka i sterowanie wyklad 9
automatyka i sterowanie wyklad 11
automatyka i sterowanie wyklad 4
automatyka i sterowanie wyklad 5
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (10)
automatyka i sterowanie wyklad Nieznany (3)
automatyka i sterowanie wyklad 8
automatyka i sterowanie wyklad 2
automatyka i sterowanie wyklad 15

więcej podobnych podstron