1

Niech

będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru

.

@ Ograniczeniem górnym zbioru

nazywamy dowolny element zbioru

nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru

.

@ Ograniczeniem dolnym zbioru

nazywamy dowolny element zbioru

nie większy od dowolnego elementu zbioru

.

@ Najmniejsze ograniczenie górne zbioru

nazywamy kresem

górnym zbioru

(lub: supremum zbioru

) i oznaczamy symbolem

.

@ Największe ograniczenie dolne zbioru

nazywamy kresem

dolnym zbioru

(lub: infimum zbioru

) i oznaczamy symbolem

.

@ CiÄ…g o wyrazach

gdzie

nazywamy

ciÄ…giem arytmetycznym o poczÄ…tkowym wyrazie

i różnicy

@ Niech

i

CiÄ…g o wyrazach

, gdzie

nazywamy ciÄ…giem geometrycznym o poczÄ…tkowym

wyrazie

i ilorazie

.

@ Iloczynem kartezjańskim

zbiorów

i

nazywamy zbiór

par uporzÄ…dkowanych

takich, że

i

, tj.

@ W iloczynie kartezjańskim

definiujemy sumÄ™ oraz iloczyn

par

oraz

następująco

Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w
powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy
literÄ…

@ Jeśli

, to liczbÄ™

nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy

, a każdy z kątów

takich, że zachodzą równości

, nazywamy

argumentem liczby

i oznaczamy

. Najmniejszy nieujemny argument

liczby zespolonej

nazywamy argumentem głównym tej liczby i

oznaczamy

. Wyrażenie

będziemy

krótko notować w postaci wykładniczej

lub

pomijajÄ…c na razie

zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji. Odtąd liczbę
zespolonÄ… o module i argumencie

będziemy zapisywać w postaci

trygonometrycznej

lub wykładniczej

@ Sprzężeniem liczby zespolonej

nazywamy liczbÄ™

.

@ FunkcjÄ™

nazywamy iniekcjÄ… zbioru

w zbiór

, jeśli jest

różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów

z

równości

wynika, że

@ FunkcjÄ™

nazywamy suriekcjÄ… zbioru

na zbiór

, jeśli

każdy element zbioru

jest wartością funkcji

to znaczy, że dla

dowolnego elementu

istnieje element

taki, że

@ FunkcjÄ™

nazywamy bijekcjÄ… zbioru

na zbiór

, jeśli jest

iniekcjÄ… i suriekcjÄ….
@ Mówimy, że zbiory

są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru

na zbiór

. Mówimy też wtedy, że zbiory

,

sÄ… tej samej mocy, co

zapisujemy krótko

lub

. Jeśli zbiór zawiera

skończoną liczbę elementów równą

(innymi słowy: jeśli jest równoliczny

ze zbiorem

), to mówimy, że jest zbiorem mocy

, co zapisujemy

lub

.

@ Niech

będzie funkcją. Mówimy, że funkcja

jest

funkcją odwrotną do funkcji , jeśli dla dowolnego elementu
zachodzi równość

i dla dowolnego elementu

zachodzi

równość

. FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji

będziemy oznaczać często symbolem

,

@ Mówimy, że funkcja

jest rosnąca (odpowiednio: ściśle

rosnÄ…ca) w przedziale

, jeśli

(odpowiednio:

).

@ Mówimy, że funkcja

jest malejąca (odpowiednio: ściśle

malejÄ…ca) w przedziale

, jeśli

(odpowiednio:

).

@Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym
przedziale jest rosnÄ…ca albo malejÄ…ca.
@ Niech

będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią,

różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji

nazywamy funkcjÄ…

logarytmicznÄ… o podstawie

i oznaczamy

. Na ogół pomija się

indeks

w oznaczeniu logarytmu liczby

i pisze się krótko

.

@ Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej

.

@ [granica ciÄ…gu]
Niech

będzie ciągiem oraz niech

Mówimy, że jest granicą ciągu

jeśli

i piszemy

Mówimy, że ciąg

jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli

@[ciÄ…g ograniczony]
CiÄ…g

nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości

jest ograniczony w

to znaczy zawarty w pewnej kuli.

Innymi słowy ciąg

jest ograniczony, gdy

@ [podciÄ…g]
Niech

będzie ciągiem. Niech

będzie funkcją

silnie rosnÄ…cÄ….

CiÄ…g

nazywamy podciÄ…giem ciÄ…gu

i

oznaczamy
gdzie

dla

@[warunek Cauchy'ego]
Niech

będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg

spełnia

warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

Warunek Cauchy'ego dla ciÄ…gu

oznacza, że dla dowolnie wybranej

liczby

począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są

oddalone od siebie o mniej niż
@[ciÄ…g liczbowy]
Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w

(to znaczy

w zbiorze liczbowym

traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką

euklidesową). Piszemy krótko

Ponieważ w zbiorze liczbowym

mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy

ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu
@ (1) Mówimy, że ciąg

jest malejący, jeśli

(2) Mówimy, że ciąg

jest silnie malejący, jeśli

(3) Mówimy, że ciąg

jest rosnący, jeśli

(4) Mówimy, że ciąg

jest silnie rosnący, jeśli

(5) Mówimy, że ciąg

jest monotoniczny, jeśli jest on malejący

lub rosnÄ…cy.
(6) Mówimy, że ciąg

jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie

malejÄ…cy lub silnie rosnÄ…cy.
@ (1) Mówimy, że ciąg

jest ograniczony, jeśli

(2) Mówimy, że ciąg

jest ograniczony z dołu, jeśli

(3) Mówimy, że ciąg

jest ograniczony z góry, jeśli

1

Niech

będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru

.

@ Ograniczeniem górnym zbioru

nazywamy dowolny element zbioru

nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru

.

@ Ograniczeniem dolnym zbioru

nazywamy dowolny element zbioru

nie większy od dowolnego elementu zbioru

.

@ Najmniejsze ograniczenie górne zbioru

nazywamy kresem

górnym zbioru

(lub: supremum zbioru

) i oznaczamy symbolem

.

@ Największe ograniczenie dolne zbioru

nazywamy kresem

dolnym zbioru

(lub: infimum zbioru

) i oznaczamy symbolem

.

@ CiÄ…g o wyrazach

gdzie

nazywamy

ciÄ…giem arytmetycznym o poczÄ…tkowym wyrazie

i różnicy

@ Niech

i

CiÄ…g o wyrazach

, gdzie

nazywamy ciÄ…giem geometrycznym o poczÄ…tkowym

wyrazie

i ilorazie

.

@ Iloczynem kartezjańskim

zbiorów

i

nazywamy zbiór

par uporzÄ…dkowanych

takich, że

i

, tj.

@ W iloczynie kartezjańskim

definiujemy sumÄ™ oraz iloczyn

par

oraz

następująco

Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w
powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy
literÄ…

@ Jeśli

, to liczbÄ™

nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy

, a każdy z kątów

takich, że zachodzą równości

, nazywamy

argumentem liczby

i oznaczamy

. Najmniejszy nieujemny argument

liczby zespolonej

nazywamy argumentem głównym tej liczby i

oznaczamy

. Wyrażenie

będziemy

krótko notować w postaci wykładniczej

lub

pomijajÄ…c na razie

zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji. Odtąd liczbę
zespolonÄ… o module i argumencie

będziemy zapisywać w postaci

trygonometrycznej

lub wykładniczej

@ Sprzężeniem liczby zespolonej

nazywamy liczbÄ™

.

@ FunkcjÄ™

nazywamy iniekcjÄ… zbioru

w zbiór

, jeśli jest

różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów

z

równości

wynika, że

@ FunkcjÄ™

nazywamy suriekcjÄ… zbioru

na zbiór

, jeśli

każdy element zbioru

jest wartością funkcji

to znaczy, że dla

dowolnego elementu

istnieje element

taki, że

@ FunkcjÄ™

nazywamy bijekcjÄ… zbioru

na zbiór

, jeśli jest

iniekcjÄ… i suriekcjÄ….
@ Mówimy, że zbiory

są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru

na zbiór

. Mówimy też wtedy, że zbiory

,

sÄ… tej samej mocy, co

zapisujemy krótko

lub

. Jeśli zbiór zawiera

skończoną liczbę elementów równą

(innymi słowy: jeśli jest równoliczny

ze zbiorem

), to mówimy, że jest zbiorem mocy

, co zapisujemy

lub

.

@ Niech

będzie funkcją. Mówimy, że funkcja

jest

funkcją odwrotną do funkcji , jeśli dla dowolnego elementu
zachodzi równość

i dla dowolnego elementu

zachodzi

równość

. FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji

będziemy oznaczać często symbolem

,

@ Mówimy, że funkcja

jest rosnąca (odpowiednio: ściśle

rosnÄ…ca) w przedziale

, jeśli

(odpowiednio:

).

@ Mówimy, że funkcja

jest malejąca (odpowiednio: ściśle

malejÄ…ca) w przedziale

, jeśli

(odpowiednio:

).

@Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym
przedziale jest rosnÄ…ca albo malejÄ…ca.
@ Niech

będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią,

różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji

nazywamy funkcjÄ…

logarytmicznÄ… o podstawie

i oznaczamy

. Na ogół pomija się

indeks

w oznaczeniu logarytmu liczby

i pisze się krótko

.

@ Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej

.

@ [granica ciÄ…gu]
Niech

będzie ciągiem oraz niech

Mówimy, że jest granicą ciągu

jeśli

i piszemy

Mówimy, że ciąg

jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli

@[ciÄ…g ograniczony]
CiÄ…g

nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości

jest ograniczony w

to znaczy zawarty w pewnej kuli.

Innymi słowy ciąg

jest ograniczony, gdy

@ [podciÄ…g]
Niech

będzie ciągiem. Niech

będzie funkcją

silnie rosnÄ…cÄ….

CiÄ…g

nazywamy podciÄ…giem ciÄ…gu

i

oznaczamy
gdzie

dla

@[warunek Cauchy'ego]
Niech

będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg

spełnia

warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

Warunek Cauchy'ego dla ciÄ…gu

oznacza, że dla dowolnie wybranej

liczby

począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są

oddalone od siebie o mniej niż
@[ciÄ…g liczbowy]
Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w

(to znaczy

w zbiorze liczbowym

traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką

euklidesową). Piszemy krótko

Ponieważ w zbiorze liczbowym

mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy

ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu
@ (1) Mówimy, że ciąg

jest malejący, jeśli

(2) Mówimy, że ciąg

jest silnie malejący, jeśli

(3) Mówimy, że ciąg

jest rosnący, jeśli

(4) Mówimy, że ciąg

jest silnie rosnący, jeśli

(5) Mówimy, że ciąg

jest monotoniczny, jeśli jest on malejący

lub rosnÄ…cy.
(6) Mówimy, że ciąg

jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie

malejÄ…cy lub silnie rosnÄ…cy.
@ (1) Mówimy, że ciąg

jest ograniczony, jeśli

(2) Mówimy, że ciąg

jest ograniczony z dołu, jeśli

(3) Mówimy, że ciąg

jest ograniczony z góry, jeśli

1

Niech

będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru

.

@ Ograniczeniem górnym zbioru

nazywamy dowolny element zbioru

nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru

.

@ Ograniczeniem dolnym zbioru

nazywamy dowolny element zbioru

nie większy od dowolnego elementu zbioru

.

@ Najmniejsze ograniczenie górne zbioru

nazywamy kresem

górnym zbioru

(lub: supremum zbioru

) i oznaczamy symbolem

.

@ Największe ograniczenie dolne zbioru

nazywamy kresem

dolnym zbioru

(lub: infimum zbioru

) i oznaczamy symbolem

.

@ CiÄ…g o wyrazach

gdzie

nazywamy

ciÄ…giem arytmetycznym o poczÄ…tkowym wyrazie

i różnicy

@ Niech

i

CiÄ…g o wyrazach

, gdzie

nazywamy ciÄ…giem geometrycznym o poczÄ…tkowym

wyrazie

i ilorazie

.

@ Iloczynem kartezjańskim

zbiorów

i

nazywamy zbiór

par uporzÄ…dkowanych

takich, że

i

, tj.

@ W iloczynie kartezjańskim

definiujemy sumÄ™ oraz iloczyn

par

oraz

następująco

Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w
powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy
literÄ…

@ Jeśli

, to liczbÄ™

nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy

, a każdy z kątów

takich, że zachodzą równości

, nazywamy

argumentem liczby

i oznaczamy

. Najmniejszy nieujemny argument

liczby zespolonej

nazywamy argumentem głównym tej liczby i

oznaczamy

. Wyrażenie

będziemy

krótko notować w postaci wykładniczej

lub

pomijajÄ…c na razie

zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji. Odtąd liczbę
zespolonÄ… o module i argumencie

będziemy zapisywać w postaci

trygonometrycznej

lub wykładniczej

@ Sprzężeniem liczby zespolonej

nazywamy liczbÄ™

.

@ FunkcjÄ™

nazywamy iniekcjÄ… zbioru

w zbiór

, jeśli jest

różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów

z

równości

wynika, że

@ FunkcjÄ™

nazywamy suriekcjÄ… zbioru

na zbiór

, jeśli

każdy element zbioru

jest wartością funkcji

to znaczy, że dla

dowolnego elementu

istnieje element

taki, że

@ FunkcjÄ™

nazywamy bijekcjÄ… zbioru

na zbiór

, jeśli jest

iniekcjÄ… i suriekcjÄ….
@ Mówimy, że zbiory

są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru

na zbiór

. Mówimy też wtedy, że zbiory

,

sÄ… tej samej mocy, co

zapisujemy krótko

lub

. Jeśli zbiór zawiera

skończoną liczbę elementów równą

(innymi słowy: jeśli jest równoliczny

ze zbiorem

), to mówimy, że jest zbiorem mocy

, co zapisujemy

lub

.

@ Niech

będzie funkcją. Mówimy, że funkcja

jest

funkcją odwrotną do funkcji , jeśli dla dowolnego elementu
zachodzi równość

i dla dowolnego elementu

zachodzi

równość

. FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji

będziemy oznaczać często symbolem

,

@ Mówimy, że funkcja

jest rosnąca (odpowiednio: ściśle

rosnÄ…ca) w przedziale

, jeśli

(odpowiednio:

).

@ Mówimy, że funkcja

jest malejąca (odpowiednio: ściśle

malejÄ…ca) w przedziale

, jeśli

(odpowiednio:

).

@Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym
przedziale jest rosnÄ…ca albo malejÄ…ca.
@ Niech

będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią,

różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji

nazywamy funkcjÄ…

logarytmicznÄ… o podstawie

i oznaczamy

. Na ogół pomija się

indeks

w oznaczeniu logarytmu liczby

i pisze się krótko

.

@ Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej

.

@ [granica ciÄ…gu]
Niech

będzie ciągiem oraz niech

Mówimy, że jest granicą ciągu

jeśli

i piszemy

Mówimy, że ciąg

jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli

@[ciÄ…g ograniczony]
CiÄ…g

nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości

jest ograniczony w

to znaczy zawarty w pewnej kuli.

Innymi słowy ciąg

jest ograniczony, gdy

@ [podciÄ…g]
Niech

będzie ciągiem. Niech

będzie funkcją

silnie rosnÄ…cÄ….

CiÄ…g

nazywamy podciÄ…giem ciÄ…gu

i

oznaczamy
gdzie

dla

@[warunek Cauchy'ego]
Niech

będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg

spełnia

warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli

Warunek Cauchy'ego dla ciÄ…gu

oznacza, że dla dowolnie wybranej

liczby

począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są

oddalone od siebie o mniej niż
@[ciÄ…g liczbowy]
Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w

(to znaczy

w zbiorze liczbowym

traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką

euklidesową). Piszemy krótko

Ponieważ w zbiorze liczbowym

mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy

ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu
@ (1) Mówimy, że ciąg

jest malejący, jeśli

(2) Mówimy, że ciąg

jest silnie malejący, jeśli

(3) Mówimy, że ciąg

jest rosnący, jeśli

(4) Mówimy, że ciąg

jest silnie rosnący, jeśli

(5) Mówimy, że ciąg

jest monotoniczny, jeśli jest on malejący

lub rosnÄ…cy.
(6) Mówimy, że ciąg

jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie

malejÄ…cy lub silnie rosnÄ…cy.
@ (1) Mówimy, że ciąg

jest ograniczony, jeśli

(2) Mówimy, że ciąg

jest ograniczony z dołu, jeśli

(3) Mówimy, że ciąg

jest ograniczony z góry, jeśli

2

@ (1) Mówimy, że liczba

jest granicÄ… ciÄ…gu

jeśli

i piszemy
(2) Mówimy, że ciąg

jest zbieżny, jeśli

@. [O trzech ciÄ…gach]
Jeśli

są ciągami takimi, że

to
@ Jeśli

jest ciÄ…giem, to

(1) jeśli

jest rosnÄ…cy, to

ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)

oraz
(2) jeśli

jest malejÄ…cy, to

ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)

oraz
@ [O ciÄ…gu monotonicznym i ograniczonym]
(1) Jeśli

jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on

zbieżny.
(2) Jeśli

jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest

on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest
ograniczony.
@ [Liczba , symbol

]

(1) CiÄ…g

o wyrazach

jest zbieżny.

Jego granicÄ™ oznaczamy przez

przy czym

(2) Jeśli

jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że

to

@ Niech

będzie ciągiem.

(1) Mówimy, że

jest punktem skupienia ciÄ…gu

jeśli istnieje

podciÄ…g

taki, że

(2) GranicÄ… dolnÄ… ciÄ…gu

nazywamy

gdzie

jest zbiorem punktów skupienia ciągu

(3) Granicą górną ciągu

nazywamy

gdzie

jest zbiorem punktów skupienia ciągu

@ Jeśli

jest ciÄ…giem liczbowym, to

ma granicÄ™

wtedy i tylko wtedy, gdy
@[Warunek konieczny zbieżności szeregów]

Jeśli szereg

jest zbieżny, to

@(1) szeregi

są zbieżne oraz

(2) szereg

jest zbieżny oraz

@. [Warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Jeśli

jest szeregiem, to szereg

jest zbieżny wtedy i tylko

wtedy, gdy

Powyższy warunek nazywamy warunkiem Cauchy'ego dla szeregów.
Zauważmy, że

czyli warunek w powyższej definicji jest dokładnie warunkiem Cauchy'ego
dla ciągów. Kolejne twierdzenie będziemy często wykorzystywać przy
sprawdzaniu czy dany szereg jest zbieżny.
@[Kryterium porównawcze zbieżności szeregów]

Jeśli

są szeregami takimi, że

dla

oraz

to

(1) jeśli szereg

jest zbieżny, to szereg

jest zbieżny;

(2) jeśli szereg

jest rozbieżny, to szereg

jest rozbieżny.

@. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]

Jeśli

jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy

dla

), to

(1)

szereg

jest zbieżny

(2)

szereg

jest

rozbieżny

(1) Jeśli

to szereg

jest zbieżny.

(2) Jeśli

to szereg

jest rozbieżny.

(3) Jeśli

to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy

szereg jest zbieżny.
@ Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Jeśli

jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy

dla

), to

(1)

szereg

jest zbieżny

(2)

dla nieskończenie wielu

szereg

jest rozbieżny

(1) Jeśli

to szereg

jest zbieżny.

(2) Jeśli

to szereg

jest rozbieżny.

(3) Jeśli

to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy

szereg jest zbieżny.
@. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]

Jeśli

i

sÄ… szeregami;

oraz

to szereg

jest zbieżny wtedy i tylko

wtedy, gdy szereg

jest zbieżny.

2

@ (1) Mówimy, że liczba

jest granicÄ… ciÄ…gu

jeśli

i piszemy
(2) Mówimy, że ciąg

jest zbieżny, jeśli

@. [O trzech ciÄ…gach]
Jeśli

są ciągami takimi, że

to
@ Jeśli

jest ciÄ…giem, to

(1) jeśli

jest rosnÄ…cy, to

ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)

oraz
(2) jeśli

jest malejÄ…cy, to

ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)

oraz
@ [O ciÄ…gu monotonicznym i ograniczonym]
(1) Jeśli

jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on

zbieżny.
(2) Jeśli

jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest

on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest
ograniczony.
@ [Liczba , symbol

]

(1) CiÄ…g

o wyrazach

jest zbieżny.

Jego granicÄ™ oznaczamy przez

przy czym

(2) Jeśli

jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że

to

@ Niech

będzie ciągiem.

(1) Mówimy, że

jest punktem skupienia ciÄ…gu

jeśli istnieje

podciÄ…g

taki, że

(2) GranicÄ… dolnÄ… ciÄ…gu

nazywamy

gdzie

jest zbiorem punktów skupienia ciągu

(3) Granicą górną ciągu

nazywamy

gdzie

jest zbiorem punktów skupienia ciągu

@ Jeśli

jest ciÄ…giem liczbowym, to

ma granicÄ™

wtedy i tylko wtedy, gdy
@[Warunek konieczny zbieżności szeregów]

Jeśli szereg

jest zbieżny, to

@(1) szeregi

są zbieżne oraz

(2) szereg

jest zbieżny oraz

@. [Warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Jeśli

jest szeregiem, to szereg

jest zbieżny wtedy i tylko

wtedy, gdy

Powyższy warunek nazywamy warunkiem Cauchy'ego dla szeregów.
Zauważmy, że

czyli warunek w powyższej definicji jest dokładnie warunkiem Cauchy'ego
dla ciągów. Kolejne twierdzenie będziemy często wykorzystywać przy
sprawdzaniu czy dany szereg jest zbieżny.
@[Kryterium porównawcze zbieżności szeregów]

Jeśli

są szeregami takimi, że

dla

oraz

to

(1) jeśli szereg

jest zbieżny, to szereg

jest zbieżny;

(2) jeśli szereg

jest rozbieżny, to szereg

jest rozbieżny.

@. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]

Jeśli

jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy

dla

), to

(1)

szereg

jest zbieżny

(2)

szereg

jest

rozbieżny

(1) Jeśli

to szereg

jest zbieżny.

(2) Jeśli

to szereg

jest rozbieżny.

(3) Jeśli

to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy

szereg jest zbieżny.
@ Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Jeśli

jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy

dla

), to

(1)

szereg

jest zbieżny

(2)

dla nieskończenie wielu

szereg

jest rozbieżny

(1) Jeśli

to szereg

jest zbieżny.

(2) Jeśli

to szereg

jest rozbieżny.

(3) Jeśli

to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy

szereg jest zbieżny.
@. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]

Jeśli

i

sÄ… szeregami;

oraz

to szereg

jest zbieżny wtedy i tylko

wtedy, gdy szereg

jest zbieżny.

2

@ (1) Mówimy, że liczba

jest granicÄ… ciÄ…gu

jeśli

i piszemy
(2) Mówimy, że ciąg

jest zbieżny, jeśli

@. [O trzech ciÄ…gach]
Jeśli

są ciągami takimi, że

to
@ Jeśli

jest ciÄ…giem, to

(1) jeśli

jest rosnÄ…cy, to

ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)

oraz
(2) jeśli

jest malejÄ…cy, to

ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)

oraz
@ [O ciÄ…gu monotonicznym i ograniczonym]
(1) Jeśli

jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on

zbieżny.
(2) Jeśli

jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest

on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest
ograniczony.
@ [Liczba , symbol

]

(1) CiÄ…g

o wyrazach

jest zbieżny.

Jego granicÄ™ oznaczamy przez

przy czym

(2) Jeśli

jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że

to

@ Niech

będzie ciągiem.

(1) Mówimy, że

jest punktem skupienia ciÄ…gu

jeśli istnieje

podciÄ…g

taki, że

(2) GranicÄ… dolnÄ… ciÄ…gu

nazywamy

gdzie

jest zbiorem punktów skupienia ciągu

(3) Granicą górną ciągu

nazywamy

gdzie

jest zbiorem punktów skupienia ciągu

@ Jeśli

jest ciÄ…giem liczbowym, to

ma granicÄ™

wtedy i tylko wtedy, gdy
@[Warunek konieczny zbieżności szeregów]

Jeśli szereg

jest zbieżny, to

@(1) szeregi

są zbieżne oraz

(2) szereg

jest zbieżny oraz

@. [Warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Jeśli

jest szeregiem, to szereg

jest zbieżny wtedy i tylko

wtedy, gdy

Powyższy warunek nazywamy warunkiem Cauchy'ego dla szeregów.
Zauważmy, że

czyli warunek w powyższej definicji jest dokładnie warunkiem Cauchy'ego
dla ciągów. Kolejne twierdzenie będziemy często wykorzystywać przy
sprawdzaniu czy dany szereg jest zbieżny.
@[Kryterium porównawcze zbieżności szeregów]

Jeśli

są szeregami takimi, że

dla

oraz

to

(1) jeśli szereg

jest zbieżny, to szereg

jest zbieżny;

(2) jeśli szereg

jest rozbieżny, to szereg

jest rozbieżny.

@. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]

Jeśli

jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy

dla

), to

(1)

szereg

jest zbieżny

(2)

szereg

jest

rozbieżny

(1) Jeśli

to szereg

jest zbieżny.

(2) Jeśli

to szereg

jest rozbieżny.

(3) Jeśli

to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy

szereg jest zbieżny.
@ Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]

Jeśli

jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy

dla

), to

(1)

szereg

jest zbieżny

(2)

dla nieskończenie wielu

szereg

jest rozbieżny

(1) Jeśli

to szereg

jest zbieżny.

(2) Jeśli

to szereg

jest rozbieżny.

(3) Jeśli

to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy

szereg jest zbieżny.
@. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]

Jeśli

i

sÄ… szeregami;

oraz

to szereg

jest zbieżny wtedy i tylko

wtedy, gdy szereg

jest zbieżny.

3

@[Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]
Niech

będzie podzbiorem

Niech

będzie funkcją oraz

niech

będzie punktem skupienia zbioru

Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)

w punkcie

jeśli

@ [Heinego granicy funkcji w punkcie]
Niech

będzie podzbiorem

Niech

będzie funkcją oraz

niech

będzie punktem skupienia zbioru

Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)

w punkcie

jeśli

Piszemy wówczas
@[Ciągłość funkcji w punkcie]
Niech

niech

będzie funkcją oraz niech

(

nie musi być punktem skupienia zbioru

). Mówimy, że funkcja jest

ciągła w punkcie

jeśli

Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej
dziedziny.
@. [Granica niewłaściwa funkcji]
Niech

oraz

punktem skupienia zbioru

Mówimy, że

ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)

w

punkcie

jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)

w

punkcie

jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego)

w punkcie

jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego)

punkcie

jeśli

@ Funkcja

jest ciągła w punkcie

wtedy i tylko

wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.

@[Granice specjalne]

(1)

(2)

dla

(3)

oraz

(4)

(5)

dla

(w szczególności

)

(6)

dla

(w szczególności

).

(7)

dla

(8)

dla

@(1) Każdy wielomian

jest funkcją ciągłą.

(2) Funkcja potęgowa

(

) jest ciągła.

(3) Funkcja wykładnicza

(

) jest ciągła.

(4) Funkcje trygonometryczne

są ciągłe.

@. [Weierstrassa]
Jeśli

jest zbiorem zwartym oraz

jest funkcją ciągłą, to

funkcja osiÄ…ga swoje kresy, to znaczy

@ Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie

, jeśli

istnieje granica ilorazu różnicowego

Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji w punkcie

i

oznaczamy symbolem:

lub

. FunkcjÄ™

, która

argumentowi

przyporządkowuje wartość pochodnej

funkcji w

punkcie

nazywamy funkcją pochodną funkcji lub - krótko - pochodną

funkcji . Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej

jest zawsze

podzbiorem dziedziny funkcji

.

@ Niech

będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym

.

Niech

. Jeśli istnieją pochodne

oraz

, to

@ Jeśli istnieje pochodna

i istnieje pochodna

, gdzie

, to istnieje pochodna złożenia

i jest równa

iloczynowi pochodnych, tzn.
@[twierdzenie Stirlinga]
Dla dowolnej liczby naturalnej

istnieje liczba

(zależna od

wyboru liczby

) taka, że zachodzi równość

Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych

czynnik

, stÄ…d

W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet

przybliżeniem

lub (pamiętając, że

) oszacowaniem

, dla

które wykorzystaliśmy do wyznaczenia

promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję

.

@ Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne
Niech

będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i

niech

. Oznaczmy przez

odległość

punktów

.

@ Mówimy, że funkcja

osiÄ…ga maksimum lokalne

(odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie

, jeśli istnieje pewne

otoczenie punktu

, w którym wartości funkcji

są nie większe

(odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji

w punkcie

, to

znaczy
odpowiednio:
@ Jeśli funkcja

osiÄ…ga ekstremum w punkcie

i

jest różniczkowalna w punkcie

, to pochodna

.

3

@[Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]
Niech

będzie podzbiorem

Niech

będzie funkcją oraz

niech

będzie punktem skupienia zbioru

Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)

w punkcie

jeśli

@ [Heinego granicy funkcji w punkcie]
Niech

będzie podzbiorem

Niech

będzie funkcją oraz

niech

będzie punktem skupienia zbioru

Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)

w punkcie

jeśli

Piszemy wówczas
@[Ciągłość funkcji w punkcie]
Niech

niech

będzie funkcją oraz niech

(

nie musi być punktem skupienia zbioru

). Mówimy, że funkcja jest

ciągła w punkcie

jeśli

Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej
dziedziny.
@. [Granica niewłaściwa funkcji]
Niech

oraz

punktem skupienia zbioru

Mówimy, że

ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)

w

punkcie

jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)

w

punkcie

jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego)

w punkcie

jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego)

punkcie

jeśli

@ Funkcja

jest ciągła w punkcie

wtedy i tylko

wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.

@[Granice specjalne]

(1)

(2)

dla

(3)

oraz

(4)

(5)

dla

(w szczególności

)

(6)

dla

(w szczególności

).

(7)

dla

(8)

dla

@(1) Każdy wielomian

jest funkcją ciągłą.

(2) Funkcja potęgowa

(

) jest ciągła.

(3) Funkcja wykładnicza

(

) jest ciągła.

(4) Funkcje trygonometryczne

są ciągłe.

@. [Weierstrassa]
Jeśli

jest zbiorem zwartym oraz

jest funkcją ciągłą, to

funkcja osiÄ…ga swoje kresy, to znaczy

@ Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie

, jeśli

istnieje granica ilorazu różnicowego

Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji w punkcie

i

oznaczamy symbolem:

lub

. FunkcjÄ™

, która

argumentowi

przyporządkowuje wartość pochodnej

funkcji w

punkcie

nazywamy funkcją pochodną funkcji lub - krótko - pochodną

funkcji . Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej

jest zawsze

podzbiorem dziedziny funkcji

.

@ Niech

będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym

.

Niech

. Jeśli istnieją pochodne

oraz

, to

@ Jeśli istnieje pochodna

i istnieje pochodna

, gdzie

, to istnieje pochodna złożenia

i jest równa

iloczynowi pochodnych, tzn.
@[twierdzenie Stirlinga]
Dla dowolnej liczby naturalnej

istnieje liczba

(zależna od

wyboru liczby

) taka, że zachodzi równość

Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych

czynnik

, stÄ…d

W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet

przybliżeniem

lub (pamiętając, że

) oszacowaniem

, dla

które wykorzystaliśmy do wyznaczenia

promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję

.

@ Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne
Niech

będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i

niech

. Oznaczmy przez

odległość

punktów

.

@ Mówimy, że funkcja

osiÄ…ga maksimum lokalne

(odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie

, jeśli istnieje pewne

otoczenie punktu

, w którym wartości funkcji

są nie większe

(odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji

w punkcie

, to

znaczy
odpowiednio:
@ Jeśli funkcja

osiÄ…ga ekstremum w punkcie

i

jest różniczkowalna w punkcie

, to pochodna

.

3

@[Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]
Niech

będzie podzbiorem

Niech

będzie funkcją oraz

niech

będzie punktem skupienia zbioru

Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)

w punkcie

jeśli

@ [Heinego granicy funkcji w punkcie]
Niech

będzie podzbiorem

Niech

będzie funkcją oraz

niech

będzie punktem skupienia zbioru

Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)

w punkcie

jeśli

Piszemy wówczas
@[Ciągłość funkcji w punkcie]
Niech

niech

będzie funkcją oraz niech

(

nie musi być punktem skupienia zbioru

). Mówimy, że funkcja jest

ciągła w punkcie

jeśli

Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej
dziedziny.
@. [Granica niewłaściwa funkcji]
Niech

oraz

punktem skupienia zbioru

Mówimy, że

ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)

w

punkcie

jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)

w

punkcie

jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego)

w punkcie

jeśli

Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego)

punkcie

jeśli

@ Funkcja

jest ciągła w punkcie

wtedy i tylko

wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.

@[Granice specjalne]

(1)

(2)

dla

(3)

oraz

(4)

(5)

dla

(w szczególności

)

(6)

dla

(w szczególności

).

(7)

dla

(8)

dla

@(1) Każdy wielomian

jest funkcją ciągłą.

(2) Funkcja potęgowa

(

) jest ciągła.

(3) Funkcja wykładnicza

(

) jest ciągła.

(4) Funkcje trygonometryczne

są ciągłe.

@. [Weierstrassa]
Jeśli

jest zbiorem zwartym oraz

jest funkcją ciągłą, to

funkcja osiÄ…ga swoje kresy, to znaczy

@ Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie

, jeśli

istnieje granica ilorazu różnicowego

Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji w punkcie

i

oznaczamy symbolem:

lub

. FunkcjÄ™

, która

argumentowi

przyporządkowuje wartość pochodnej

funkcji w

punkcie

nazywamy funkcją pochodną funkcji lub - krótko - pochodną

funkcji . Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej

jest zawsze

podzbiorem dziedziny funkcji

.

@ Niech

będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym

.

Niech

. Jeśli istnieją pochodne

oraz

, to

@ Jeśli istnieje pochodna

i istnieje pochodna

, gdzie

, to istnieje pochodna złożenia

i jest równa

iloczynowi pochodnych, tzn.
@[twierdzenie Stirlinga]
Dla dowolnej liczby naturalnej

istnieje liczba

(zależna od

wyboru liczby

) taka, że zachodzi równość

Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych

czynnik

, stÄ…d

W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet

przybliżeniem

lub (pamiętając, że

) oszacowaniem

, dla

które wykorzystaliśmy do wyznaczenia

promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję

.

@ Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne
Niech

będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i

niech

. Oznaczmy przez

odległość

punktów

.

@ Mówimy, że funkcja

osiÄ…ga maksimum lokalne

(odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie

, jeśli istnieje pewne

otoczenie punktu

, w którym wartości funkcji

są nie większe

(odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji

w punkcie

, to

znaczy
odpowiednio:
@ Jeśli funkcja

osiÄ…ga ekstremum w punkcie

i

jest różniczkowalna w punkcie

, to pochodna

.

4

@[twierdzenie Rolle'a]
Niech

będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym

i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału
funkcja przyjmuje równe wartości

, to istnieje punkt

, w którym zeruje się pochodna funkcji

.

@. [twierdzenie Lagrange'a]
Jeśli funkcja

jest ciągła w przedziale domkniętym

i

różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego

, to istnieje

punkt

taki, że

Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach
(skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia
można zapisać też następująco:

@ Jeśli funkcja

jest różniczkowalna w punkcie

, to znaczy,

jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

to mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie

, a

granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą
pochodnÄ…) funkcji w punkcie

i oznaczamy symbolem

lub

albo

, bądź też

.

@[wzór Leibniza]
Niech

będą funkcjami

krotnie różniczkowalnymi,

.

Zachodzi równość
@ Niech

będzie funkcją

krotnie różniczkowalną w

przedziale

. Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że

istnieje punkt

taki, że

gdzie

Wielomian

nazywamy wielomianem Taylora rzędu

funkcji

o środku w punkcie

.

@. [twierdzenie Weierstrassa]
Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za
pomocą wielomianów, tzn. jeśli

jest funkcją ciągłą, to

istnieje ciąg wielomianów

taki, że

@[twierdzenie Bernsteina]
Jeśli

jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów

Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale

, to znaczy

@ Reguła de l'Hospitala

Niech

będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale

, przy czym

. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu

pochodnych

i jest równa

. Jeśli istnieją granice funkcji

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu

pochodnych w tym punkcie, tj.
@ Mówimy, że funkcja

jest wypukła w przedziale

,

jeśli jej nadwykres
jest zbiorem wypukłym, to znaczy

Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka

), tzn.

to mówimy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale

.

@ Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]
Jeśli funkcja jest wypukła w przedziale

, to zachodzi nierówność:

dla dowolnych liczb nieujemnych

takich, że

oraz dla dowolnych

z przedziału

.

@ Badanie przebiegu zmienności funkcji

(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.

(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.
(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie
składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w
których funkcja jest ciągła.
(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.
(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc
zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja
przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.
(6) Badanie pierwszej pochodnej:
określenie dziedziny pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna
jest dodatnia, ujemna.
(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.
(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.
(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:
określenie dziedziny drugiej pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym
druga pochodna jest dodatnia, ujemna.
(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz
punktów przegięcia funkcji.
(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.
(12) SporzÄ…dzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.

4

@[twierdzenie Rolle'a]
Niech

będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym

i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału
funkcja przyjmuje równe wartości

, to istnieje punkt

, w którym zeruje się pochodna funkcji

.

@. [twierdzenie Lagrange'a]
Jeśli funkcja

jest ciągła w przedziale domkniętym

i

różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego

, to istnieje

punkt

taki, że

Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach
(skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia
można zapisać też następująco:

@ Jeśli funkcja

jest różniczkowalna w punkcie

, to znaczy,

jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

to mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie

, a

granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą
pochodnÄ…) funkcji w punkcie

i oznaczamy symbolem

lub

albo

, bądź też

.

@[wzór Leibniza]
Niech

będą funkcjami

krotnie różniczkowalnymi,

.

Zachodzi równość
@ Niech

będzie funkcją

krotnie różniczkowalną w

przedziale

. Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że

istnieje punkt

taki, że

gdzie

Wielomian

nazywamy wielomianem Taylora rzędu

funkcji

o środku w punkcie

.

@. [twierdzenie Weierstrassa]
Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za
pomocą wielomianów, tzn. jeśli

jest funkcją ciągłą, to

istnieje ciąg wielomianów

taki, że

@[twierdzenie Bernsteina]
Jeśli

jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów

Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale

, to znaczy

@ Reguła de l'Hospitala

Niech

będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale

, przy czym

. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu

pochodnych

i jest równa

. Jeśli istnieją granice funkcji

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu

pochodnych w tym punkcie, tj.
@ Mówimy, że funkcja

jest wypukła w przedziale

,

jeśli jej nadwykres
jest zbiorem wypukłym, to znaczy

Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka

), tzn.

to mówimy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale

.

@ Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]
Jeśli funkcja jest wypukła w przedziale

, to zachodzi nierówność:

dla dowolnych liczb nieujemnych

takich, że

oraz dla dowolnych

z przedziału

.

@ Badanie przebiegu zmienności funkcji

(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.

(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.
(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie
składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w
których funkcja jest ciągła.
(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.
(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc
zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja
przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.
(6) Badanie pierwszej pochodnej:
określenie dziedziny pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna
jest dodatnia, ujemna.
(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.
(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.
(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:
określenie dziedziny drugiej pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym
druga pochodna jest dodatnia, ujemna.
(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz
punktów przegięcia funkcji.
(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.
(12) SporzÄ…dzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.

4

@[twierdzenie Rolle'a]
Niech

będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym

i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału
funkcja przyjmuje równe wartości

, to istnieje punkt

, w którym zeruje się pochodna funkcji

.

@. [twierdzenie Lagrange'a]
Jeśli funkcja

jest ciągła w przedziale domkniętym

i

różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego

, to istnieje

punkt

taki, że

Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach
(skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia
można zapisać też następująco:

@ Jeśli funkcja

jest różniczkowalna w punkcie

, to znaczy,

jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

to mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie

, a

granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą
pochodnÄ…) funkcji w punkcie

i oznaczamy symbolem

lub

albo

, bądź też

.

@[wzór Leibniza]
Niech

będą funkcjami

krotnie różniczkowalnymi,

.

Zachodzi równość
@ Niech

będzie funkcją

krotnie różniczkowalną w

przedziale

. Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że

istnieje punkt

taki, że

gdzie

Wielomian

nazywamy wielomianem Taylora rzędu

funkcji

o środku w punkcie

.

@. [twierdzenie Weierstrassa]
Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za
pomocą wielomianów, tzn. jeśli

jest funkcją ciągłą, to

istnieje ciąg wielomianów

taki, że

@[twierdzenie Bernsteina]
Jeśli

jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów

Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale

, to znaczy

@ Reguła de l'Hospitala

Niech

będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale

, przy czym

. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu

pochodnych

i jest równa

. Jeśli istnieją granice funkcji

to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu

pochodnych w tym punkcie, tj.
@ Mówimy, że funkcja

jest wypukła w przedziale

,

jeśli jej nadwykres
jest zbiorem wypukłym, to znaczy

Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka

), tzn.

to mówimy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale

.

@ Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]
Jeśli funkcja jest wypukła w przedziale

, to zachodzi nierówność:

dla dowolnych liczb nieujemnych

takich, że

oraz dla dowolnych

z przedziału

.

@ Badanie przebiegu zmienności funkcji

(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.

(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.
(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie
składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w
których funkcja jest ciągła.
(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.
(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc
zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja
przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.
(6) Badanie pierwszej pochodnej:
określenie dziedziny pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna
jest dodatnia, ujemna.
(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.
(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.
(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:
określenie dziedziny drugiej pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym
druga pochodna jest dodatnia, ujemna.
(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz
punktów przegięcia funkcji.
(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.
(12) SporzÄ…dzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.