Zadania dodatkowe z Teorii gier 1

Zad.1

1

2

L

C

P

G

10;0 0;10 3;3

S

2;10 10;2 6;4

D

3;3

4;6

6;6

Niech: u

i

– wypłata gracza i,

σ

i

=(

σ

i

(s

1

),…,

σ

i

(s

N

)) – prawdopodobieństwa

zagrania przez gracza i kolejnych strategii. Oblicz:

a)

u

1

(G,C)

b)

u

2

(S,P)

c)

u

2

(D,C)

d)

u

1

(

σ

1

,C) dla

σ

1

=(1/3;2/3;0)

e)

u

1

(

σ

1

,P) dla

σ

1

=(1/4;1/2;1/4)

f)

u

1

(

σ

1

,L) dla

σ

1

=(0;1;0)

g)

u

1

(

σ

1

,

σ

2

) dla

σ

1

=(1/2;1/2;0) oraz

σ

2

=(1/4;1/4;1/2)

Zad. 2 (Gra lobbingu)

Każda firma może prowadzić lobbing w nadziei, że władze podejmą

korzystną dla niej decyzję. Obie firmy jednocześnie i niezależnie od siebie
podejmują decyzję, czy prowadzić lobbing (L), czy zrezygnować z niego
(N). Lobbing wiąże się z kosztami w wysokości 15. Rezygnacja z lobbingu
nic nie kosztuje. Jeżeli obie firmy prowadzą lobbing albo nie prowadzi go
żadna z nich, to władze podejmą neutralną decyzję, która przyniesie firmą
dochody po 10 (wypłata firmy to ta wielkość minus koszt lobbingu, jeśli
wystąpił). Jeżeli firma Y prowadzi lobbing, a firma X rezygnuje z niego, to
władze podejmą decyzję korzystną dla firmy Y, co daje firmie X korzyść w
wysokości 0, a firmie Y korzyść w wysokości 30. Jeżeli firma X prowadzi
lobbing, a firma Y rezygnuje z niego, to władze podejmą decyzję korzystną
dla firmy X, co daje firmie Y korzyść w wysokości 0, a firmie X korzyść w
wysokości 40.

a)

Przedstaw powyższą grę w postaci normalnej.

b)

Wyznacz wypłaty gracza 1 wynikające z zastosowania strategii (L)
oraz (N) jeżeli gracz 2 zagra swoje strategie z następującymi
prawdopodobieństwami:

-

(1/2;1/2 );

-

(3/4;1/4).

c)

Wyznacz równowagę Nasha tej gry w strategiach czystych.

d)

Wyznacz równowagę Nasha tej gry w strategiach mieszanych.

Zad.3

Wyznacz równowagi Nasha w strategiach czystych i mieszanych

następujących gier:

1)

2)

3)

4)

5)

1

2

L

P

1

2

L

P

1

2

L

C

P

1

2

L

C

P

Gra w kamie

ń

,

G

2;-2 -2;2

G

2;4

0;0

G

8;3

4;5

6;3

G

6;3

5;1

0;2

papier i no

ż

yczki.

D

-2;2 2;-2

D

1;6

3;7

S

3;3

5;5

4;8

S

0;1

4;6

6;0

D

5;2

3;7

4;9

D

2;1

3;5

2;8

Wskazówka: W zad 3.3 i 3.4 należy skorzystać z własności strategii mieszanych mówiących o
eliminacji strategii ściśle zdominowanych (patrz wykład).