Zadania dodatkowe z Teorii gier 1 - rozwiązania
Zad.1
1 2
L
C
P
G
10;0 0;10 3;3
S
2;10 10;2 6;4
D
3;3
4;6
6;6
Niech: ui – wypłata gracza i, σi=(σi(s1),…, σi(sN)) – prawdopodobieństwa zagrania przez gracza i kolejnych strategii. Oblicz: a) u1(G,C) = 0
b) u2(S,P) = 4
c) u2(D,C) = 6
d) u1(σ1,C) dla σ1=(1/3;2/3;0); u1(σ1,C) = 1/3*0+2/3*10+0*4 = 20/3
e) u1(σ1,P) dla σ1=(1/4;1/2;1/4); u1(σ1,P) = 1/4*3+1/2*6+1/4*6 =
21/4
f) u1(σ1,L) dla σ1=(0;1;0); u1(σ1,L) = 2
g) u1(σ1, σ2) dla σ1=(1/2;1/2;0) oraz σ2=(1/4;1/4;1/2); u1(σ1, σ2) =
= 1/2*(1/4*10+1/4*0+1/2*3)+1/2*(1/4*2+1/4*10+1/2*6) = 5
Zad. 2 (Gra lobbingu)
KaŜda firma moŜe prowadzić lobbing w nadziei, Ŝe władze podejmą korzystną dla niej decyzję. Obie firmy jednocześnie i niezaleŜnie od siebie podejmują decyzję, czy prowadzić lobbing (L), czy zrezygnować z niego (N). Lobbing wiąŜe się z kosztami w wysokości 15. Rezygnacja z lobbingu nic nie kosztuje. JeŜeli obie firmy prowadzą lobbing albo nie prowadzi go Ŝadna z nich, to władze podejmą neutralną decyzję, która przyniesie firmom dochody po 10 (wypłata firmy to ta wielkość minus koszt lobbingu, jeśli wystąpił). JeŜeli firma Y prowadzi lobbing, a firma X rezygnuje z niego, to władze podejmą decyzję korzystną dla firmy Y, co daje firmie X
korzyść w wysokości 0, a firmie Y korzyść w wysokości 30. JeŜeli firma X
prowadzi lobbing, a firma Y rezygnuje z niego, to władze podejmą decyzję korzystną dla firmy X, co daje firmie Y korzyść w wysokości 0, a firmie X
korzyść w wysokości 40.
a) Przedstaw powyŜszą grę w postaci normalnej: X Y
L
NL
L
-5;-5
25;0
NL
0;15
10;10
b) Wyznacz wypłaty gracza 1 wynikające z zastosowania strategii (L) oraz (N) jeŜeli gracz 2 zagra swoje strategie z następującymi prawdopodobieństwami:
- σ2=(1/2;1/2 ):
u1(L, σ2) = 1/2*(-5)+1/2*25 = 10
u1(NL, σ2) = 1/2*0+1/2*10 = 5
- σ2=(3/4;1/4):
u1(L, σ2) = 3/4*(-5)+1/4*25 = 2,5
u1(NL, σ2) = 3/4*0+1/4*10 = 2,5
c) Wyznacz równowagę Nasha tej gry w strategiach czystych: NE = {(NL;L),(L;NL)}
d) Wyznacz równowagę Nasha tej gry w strategiach mieszanych: JeŜeli dana strategia mieszana jest równowagą Nasha, to jest ona najlepszą odpowiedzią. Czyli jednostronnie zmieniając decyzję Ŝaden z graczy nie jest w stanie poprawić swojej sytuacji. Oznacza to, Ŝe jeŜeli gracz Y gra strategią mieszaną: L z prawdopodobieństwem q oraz NL z prawdopodobieństwem 1-q, to strategia ta jest równowagą Nasha w strategiach mieszanych wtedy i tylko wtedy, gdy graczowi X jest obojętne, którą strategię zagra: L, czy NL. W przeciwnym razie, gracz X
wolałby zagrać np. strategię L, więc strategia NL byłaby gorsza.
Oznaczałoby to, Ŝe w równowadze Nasha gracz X zagrywałby strategię L z prawdopodobieństwem 1, a strategię NL z prawdopodobieństwem 0, więc grałby strategią czystą, a nie mieszaną, co doprowadza do sprzeczności.
Czyli graczowi X jest obojętne, którą strategią czystą zagra, gdy: q*(-5)+(1-q)*25=q*0+(1-q)*10 => q=3/4 => σ2=(3/4;1/4).
Graczowi Y, zaś jest obojętne, którą strategią czystą zagra, gdy: p*(-5)+(1-p)*15=p*0+(1-p)*10 => p=1/2 => σ1=(1/2;1/2).
Ostatecznie: NE = {(σ1; σ2)}, gdzie: σ1=(1/2;1/2), σ2=(3/4;1/4).
Zad.3
Wyznacz równowagi Nasha w strategiach czystych i mieszanych następujących gier:
1 2
L
P
1 2
L
P
G
2;-2
-2;2
G
2;4
0;0
D
-2;2
2;-2
D
1;6
3;7
NE={(σ1; σ2)}, gdzie:
NE={(G:L), (D,P), (σ1; σ2)}, gdzie:
σ
σ
1=(1/2;1/2), σ2=(1/2;1/2)
1=(1/5;4/5), σ2=(3/4;1/4)
q
1-q
L
L
1 2
L
C
P
1 2
L
C
P
p
G
8;3
4;5
6;3
G
6;3
5;1
0;2
1-p
S
3;3
5;5
4;8
G
S
0;1
4;6
6;0
D
5;2
3;7
4;9
1/2G+1/2S
D
2;1
3;5
2;8
NE={(σ
NE={(G:L)}
1; σ2)}, gdzie:
σ1=(3/5;2/5;0), σ2=(0;2/3;1/3)