Analiza zespolona, seria 2
1. Podać przykład funkcji k-krotnej, k > 1, która ma punkty osobliwe niealgebraiczne.
2. Element F
a
funkcji analitycznej F dowolnie przedłużalnej w obszarze G nazywamy
odwracalnym jeśli F
0
a
(a) 6= 0.
(a) Udowodnić, że zbiór elementów nieodwracalnych tworzy zbiór domknięty i niepusty (
ile F nie jest stała) w powierzchni Riemanna tej funkcji.
(b) Udowodnić, że jeśli F
a
i F
b
są odwracacalne to można jeden w drugi przedłużyć wzdłuż
pewnej krzywej i to przedłużenie składa się z elementów odwracalnych.
(c) Zdefiniować F
−1
. Czy F
−1
składa się tylko z elementów odwracalnych funkcji F ?
3. Wykazać, że jeśli F jest algebraiczna to F
−1
też jest algebraiczna.
4. Niech f (z) będzie niestałą funkcją całkowitą. Niech F (z) =
1
2πi
1
R
0
f (ζ)
ζ−z
dζ. Wyznaczyć
punkty osobliwe funkcji analitycznej, którą otrzymujemy z przedłużenia funkcji F .
5. Niech c
1
, . . . , c
n
będą funkcjami holomorficznymi w kole K(0; R). Niech w
0
będzie pier-
wiastkiem jednokrotnym wielomianu T
n
+ c
1
(0)T
n−1
+ · · · + c
n
(0) ∈ C[T ]. Udowodnić, że
istnieje r, 0 < r ¬ R, i funkcja ϕ holomorficzna w kole K(o; r) takie, że ϕ(0) = w
0
i
ϕ
n
+ c
1
ϕ
n−1
+ · · · + c
0
= 0 na K(0; r).
6. Niech P (z, T ) = T
n
+ a
n−1
(z)T
n−1
+ · · · + a
1
(z)T + a
0
(z), gdzie a
i
(z) są funkcjami mero-
morficznymi w obrzarze G. Przypuścmy, że wielomian P jest nierozkładalny ( w pierścieniu
M[T ], gdzie M jest ciałem funkcji meromorficznych w G). Wykazać, że istnieje funkcja
analityczna algebraiczna F taka, że P (z, F (z)) ≡ 0
7. Wykazać, że jesli a jest punktem osobliwym izolowanym algebraicznym funkcji F to
istnieje otoczenie pierścieniowe V punktu a, 0 < |z − a| < r, takie że każdy element f
c
tej funkcji o środku w punkcie c ∈ V , przedstawia się w postaci f
c
(z) =
∞
P
n=−N
a
n
(z − a)
n
k
.
Dowieść, że istnieje skończenie wiele szeregów
∞
P
n=−N
a
n
(z − a)
n
k
o tej własności.
8. Rozłożyć w szereg taki jak w zad.6 każdy z dwóch elementów o środku w 0 funkcji z(w)
spełniającej równanie w = 2z + z
2
.
9. Niech f (z) będzie funkcją całkowitą. Opisać powierzchnię Riemanna
(a)
q
f (z), (b) Logf (z), (c) (f (z))
α
, α liczba niewymierna.
1