Analiza zespolona, seria 2

1. Podać przykład funkcji k-krotnej, k > 1, która ma punkty osobliwe niealgebraiczne.

2. Element F

a

funkcji analitycznej F dowolnie przedłużalnej w obszarze G nazywamy

odwracalnym jeśli F

0

a

(a) 6= 0.

(a) Udowodnić, że zbiór elementów nieodwracalnych tworzy zbiór domknięty i niepusty (
ile F nie jest stała) w powierzchni Riemanna tej funkcji.

(b) Udowodnić, że jeśli F

a

i F

b

są odwracacalne to można jeden w drugi przedłużyć wzdłuż

pewnej krzywej i to przedłużenie składa się z elementów odwracalnych.

(c) Zdefiniować F

−1

. Czy F

−1

składa się tylko z elementów odwracalnych funkcji F ?

3. Wykazać, że jeśli F jest algebraiczna to F

−1

też jest algebraiczna.

4. Niech f (z) będzie niestałą funkcją całkowitą. Niech F (z) =

1

2πi

1

R

0

f (ζ)

ζ−z

dζ. Wyznaczyć

punkty osobliwe funkcji analitycznej, którą otrzymujemy z przedłużenia funkcji F .

5. Niech c

1

, . . . , c

n

będą funkcjami holomorficznymi w kole K(0; R). Niech w

0

będzie pier-

wiastkiem jednokrotnym wielomianu T

n

+ c

1

(0)T

n−1

+ · · · + c

n

(0) ∈ C[T ]. Udowodnić, że

istnieje r, 0 < r ¬ R, i funkcja ϕ holomorficzna w kole K(o; r) takie, że ϕ(0) = w

0

i

ϕ

n

+ c

1

ϕ

n−1

+ · · · + c

0

= 0 na K(0; r).

6. Niech P (z, T ) = T

n

+ a

n−1

(z)T

n−1

+ · · · + a

1

(z)T + a

0

(z), gdzie a

i

(z) są funkcjami mero-

morficznymi w obrzarze G. Przypuścmy, że wielomian P jest nierozkładalny ( w pierścieniu
M[T ], gdzie M jest ciałem funkcji meromorficznych w G). Wykazać, że istnieje funkcja
analityczna algebraiczna F taka, że P (z, F (z)) ≡ 0

7. Wykazać, że jesli a jest punktem osobliwym izolowanym algebraicznym funkcji F to
istnieje otoczenie pierścieniowe V punktu a, 0 < |z − a| < r, takie że każdy element f

c

tej funkcji o środku w punkcie c ∈ V , przedstawia się w postaci f

c

(z) =

∞

P

n=−N

a

n

(z − a)

n
k

.

Dowieść, że istnieje skończenie wiele szeregów

∞

P

n=−N

a

n

(z − a)

n
k

o tej własności.

8. Rozłożyć w szereg taki jak w zad.6 każdy z dwóch elementów o środku w 0 funkcji z(w)
spełniającej równanie w = 2z + z

2

.

9. Niech f (z) będzie funkcją całkowitą. Opisać powierzchnię Riemanna

(a)

q

f (z), (b) Logf (z), (c) (f (z))

α

, α liczba niewymierna.

1