3. UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

3.1 POJĘCIA WSTĘPNE

Def. 3.1.1 (układ równań różniczkowych)
Układem równań różniczkowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci

(U)



















)

,

,

,

,

(

'

)

,

,

,

,

(

'

)

,

,

,

,

(

'

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

n

n

n

n

n

y

y

y

t

f

y

y

y

y

t

f

y

y

y

y

t

f

y









.

Uwaga. Jeżeli n = 2, to będziemy pisali x, y zamiast y

1

, y

2

oraz f, g w miejsce f

1

, f

2

. Podobnie, jeżeli n = 3, to będziemy pisali x,

y, z zamiast y

1

, y

2

, y

3

oraz f, g, h w miejsce f

1

, f

2

, f

3

.

Def. 3.1.2 (rozwiązanie układu równań)
Ciąg funkcji (y

1

(t), y

2

(t), ..., y

n

(t)) określonych i różniczkowalnych na przedziale (a,b) nazywamy rozwiązaniem układu równań

(U) na tym przedziale, jeżeli zamienia on wszystkie równania tego układu w tożsamości



















))

(

,

),

(

),

(

,

(

)

(

'

))

(

,

),

(

),

(

,

(

)

(

'

))

(

,

),

(

),

(

,

(

)

(

'

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

t

y

t

y

t

y

t

f

t

y

t

y

t

y

t

y

t

f

t

y

t

y

t

y

t

y

t

f

t

y

n

n

n

n

n









na przedziale (a,b).

Uwaga. W notacji wektorowej układ równań różniczkowych (U) można zapisać w postaci

)

,

(

'

y

t

f

y









,

gdzie



























'

'

'

'

2

1

n

y

y

y

y





,



























n

y

y

y

y





2

1

,



























)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

(

)

,

(

2

1

2

1

2

2

1

1

n

n

n

n

y

y

y

t

f

y

y

y

t

f

y

y

y

t

f

y

t

f













.

Wtedy rozwiązanie układu równań (U) jest funkcją wektorową



























)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

t

y

t

y

t

y

t

y

n





.

Def. 3.1.3 (zagadnienie początkowe dla układu równań)
Układ równań różniczkowych (U) oraz układ warunków

(W)

0

0

0

2

0

2

0

1

0

1

)

(

,

,

)

(

,

)

(

n

n

y

t

y

y

t

y

y

t

y









,

nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.

Uwaga. Liczby

0

t

i

0

0

2

0

1

,

,

,

n

y

y

y



nazywamy wartościami początkowymi, a warunek (W) nazywamy warunkiem

początkowym. Używając notacji wektorowej zagadnienie początkowe można zapisać w postaci

(UW)

0

0

)

(

),

,

(

'

y

t

y

y

t

f

y















.

Def. 3.1.4 (rozwiązanie zagadnienia początkowego)
Ciąg funkcji (y

1

(t), y

2

(t), ..., y

n

(t)) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (UW), jeżeli jest rozwiązaniem układu równań

(U) na pewnym przedziale zawierającym punkt t

0

i spełnia warunki (W).

Tw. 3.1.5 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań układu (U))

Niech funkcje f

i

(t,y

1

,y

2

,...,y

n

), gdzie 1



i



n, wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi





n

j

i

y

y

y

t

y

f

,

,

,

,

2

1







, gdzie 1



i, j



n, będą określone i ciągłe na obszarze D



R

n+1

. Wtedy dla dowolnego punktu





D

y

y

y

t

n



0

0

2

0

1

0

,

,

,

,



zagadnienie początkowe

(UW) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na pewnym otoczeniu punktu t

0

.

Def. 3.1.6 (rozwiązania ogólne i szczególne układu równań)
Rodzinę funkcji wektorowych



























)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

(

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

n

n

n

n

n

C

C

C

t

y

C

C

C

t

y

C

C

C

t

y

C

C

C

t

y













,

zależnych od parametrów rzeczywistych C

1

, C

2

, ..., C

n

nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu równań (U) jeżeli:

1. każda funkcja wektorowa z tej rodziny jest rozwiązaniem układu,
2. dla każdego układu warunków początkowych

)

,

(

0

0

y

t



, dla którego rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne, można dobrać

stałe C

1

, C

2

, ..., C

n

tak, aby

0

2

1

)

,

,

,

,

(

y

C

C

C

t

y

n









.

Każdą funkcję wektorową otrzymaną z rozwiązania ogólnego układu (U) przy ustalonych wartościach parametrów C

1

, C

2

, ...,

C

n

nazywamy rozwiązaniem szczególnym tego układu.

Uwaga. Rozwiązanie zagadnienia początkowego, jeżeli istnieje i jest jednoznaczne, jest rozwiązaniem szczególnym. W
praktyce znajomość rozwiązania ogólnego jest bardzo dogodna, gdyż przez odpowiedni dobór parametrów C

1

, C

2

, ..., C

n

można otrzymać rozwiązanie zagadnienia początkowego.


3.2 UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH


Def. 3.2.1 (układ równań różniczkowych liniowych)
Układem równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci

(UL)











































)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

'

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1

t

h

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

t

h

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

t

h

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n



















.

Uwaga. W notacji wektorowej układ równań (UL) przyjmuje postać



































































)

(

2

1

2

1

)

(

2

1

2

22

21

1

12

11

'

2

1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

'

'

'

t

h

n

y

n

t

A

nn

n

n

n

n

y

n

t

h

t

h

t

h

y

y

y

t

a

t

a

t

a

t

a

t

a

t

a

t

a

t

a

t

a

y

y

y





































































































lub krótko

)

(

)

(

'

t

h

y

t

A

y











.

Tw. 3.2.2 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań dla układu (UL))
Niech funkcje a

ij

(t), gdzie i,j = 1, 2, ..., n, oraz h

i

(t), gdzie i = 1, 2, ..., n, będą ciągłe na przedziale (a,b). Wtedy dla każdego

punktu





 

n

n

R

b

a

y

y

y

t





,

,

,

,

,

0

0

2

0

1

0



zagadnienie początkowe











































)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

'

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1

t

h

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

t

h

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

t

h

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n



















,



















0

0

0

2

0

2

0

1

0

1

)

(

)

(

)

(

n

n

y

t

y

y

t

y

y

t

y





ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to określone jest na przedziale (a,b).


3.3 UKŁADY JEDNORODNE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH

Def. 3.3.1 (układ jednorodny równań różniczkowych jednorodnych)
Układem jednorodnym równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci

(UJ)





































n

nn

n

n

n

n

n

n

n

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

2

2

1

1

2

2

22

1

21

2

1

2

12

1

11

1

















Uwaga. W notacji wektorowej układ jednorodny (UJ) przyjmuje postać

y

t

A

y





)

(

'



.

Fakt 3.3.2 (o kombinacji liniowej rozwiązań układu jednorodnego)
Niech

)

(t





,

)

(t





będą rozwiązaniami układu jednorodnego (UJ). Wtedy dla dowolnych stałych



,





R funkcja wektorowa

)

(

)

(

)

(

t

t

t

y



















jest również rozwiązaniem tego układu.

Def. 3.3.3 (układ fundamentalny układu jednorodnego (UJ))
Układ rozwiązań





)

(

,

),

(

),

(

2

1

t

y

t

y

t

y

n









układu jednorodnego (UJ) określonych na przedziale (a,b) nazywamy układem

fundamentalnym tego układu na tym przedziale, jeżeli dla każdego t



(a,b) spełniony jest warunek







































)

(

)

(

)

(

2

1

2

22

21

1

12

11

2

1

0

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

det

t

y

t

y

t

y

nn

n

n

n

n

n

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y



























Uwaga. Powyższy wyznacznik oznaczamy przez





)

(

,

),

(

),

(

2

1

t

y

t

y

t

y

W

n









i nazywamy wrońskianem układu funkcji

wektorowych





)

(

,

),

(

),

(

2

1

t

y

t

y

t

y

n









.

Fakt 3.3.4 (o postaci rozwiązania ogólnego układu jednorodnego)
Niech





)

(

,

),

(

),

(

2

1

t

y

t

y

t

y

n









będzie układem fundamentalnym układu jednorodnego równań różniczkowych (UJ). Wtedy

rozwiązanie ogólne tego układu równań dane jest wzorem

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

t

y

C

t

y

C

t

y

C

t

y

n

n



















gdzie C

1

, C

2

, ..., C

n

są dowolnymi stałymi rzeczywistymi.

Uwaga. Przypomnijmy, że z rozwiązania ogólnego przez odpowiedni dobór stałych C

1

, C

2

, ..., C

n

można otrzymać rozwiązanie

każdego zagadnienia początkowego. Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego (UJ) będziemy oznaczali symbolem

ROUJL

y



.

3.4 UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

Def. 3.4.1 (układ jednorodny równań liniowych o stałych współczynnikach)
Układem jednorodnym równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach nazywamy układ równań postaci

(US)





































n

nn

n

n

n

n

n

n

n

y

a

y

a

y

a

y

y

a

y

a

y

a

y

y

a

y

a

y

a

y

















2

2

1

1

2

2

22

1

21

2

1

2

12

1

11

1

'

'

'

,

gdzie a

ij



R dla 1



i, j



n.

Uwaga. W notacji wektorowej układ jednorodny równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach (US) przyjmuje
postać

y

A

y







'

.

Każde rozwiązanie układu (US) określone jest na R. Układy (US) można rozwiązywać metodą eliminacji.

Def. 3.4.2 (wielomian i równanie charakterystyczne macierzy)
Niech

 

ij

a

A



będzie macierzą kwadratową stopnia n. Wielomianem charakterystycznym macierzy A nazywamy wielomian















































nn

n

n

n

n

def

A

a

a

a

a

a

a

a

a

a

I

A

w















2

1

2

22

21

1

12

11

det

)

det(

)

(

,

gdzie I oznacza macierz jednostkową stopnia n. Równaniem charakterystycznym macierzy A nazywamy równanie

0

)

(





A

w

.

Def. 3.4.3 (wartości własne i wektory własne macierzy)
Niech

 

ij

a

A



będzie rzeczywistą macierzą kwadratową stopnia n. Wartością własną macierzy A nazywamy każdy

(rzeczywisty lub zespolony) pierwiastek wielomianu charakterystycznego tej macierzy, tj. liczbę



spełniającą równanie

0

)

(





A

w

.

Niezerowy wektor





n

v

v

v

v

,

,

,

2

1







(o rzeczywistych lub zespolonych współrzędnych) nazywamy wektorem własnym

macierzy A odpowiadającym wartości własnej



(rzeczywistej lub zespolonej) tej macierzy, jeżeli spełnia warunek

v

v

A









.

Uwaga. Ostatnią równość można zapisać w postaci układu równań

















































































0

0

0

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11



















n

nn

n

n

n

n

v

v

v

a

a

a

a

a

a

a

a

a







.

Fakt 3.4.4 (o postaci układu fundamentalnego układu (US) – metoda Eulera I)
Jeżeli macierz A układu jednorodnego równań o stałych współczynnikach (US) ma n różnych rzeczywistych wartości
własnych



1

,



2

, ...,



n

, to jego układ fundamentalny składa się z funkcji wektorowych:

1

1

1

)

(

v

e

t

y

t









,

2

2

2

)

(

v

e

t

y

t









, ...,

n

t

n

v

e

t

y

n









)

(

,

gdzie

n

v

v

v







,...,

,

2

1

są wektorami własnymi odpowiadającymi wartościom własnym



1

,



2

, ...,



n

.

Fakt 3.4.5 (o postaci układu fundamentalnego układu (US) – metoda Eulera II)
Jeżeli macierz A układu jednorodnego równań o stałych współczynnikach (US) ma 2k=n parami różnych zespolonych wartości

własnych

1

1

1







i





,

1

1

1







i





,

2

2

2







i





,

2

2

2







i





, …,

k

k

k

i











,

k

k

k

i











, gdzie



j



0 dla 1



j



k, to jego układ fundamentalny składa się z funkcji wektorowych:





1

1

1

Re

)

(

w

e

t

y

t









,





1

2

1

Im

)

(

w

e

t

y

t









,





2

3

2

Re

)

(

w

e

t

y

t









,





2

4

2

Im

)

(

w

e

t

y

t









, ...,





k

t

k

w

e

t

y

k







Re

)

(

1

2





,





k

t

k

w

e

t

y

k







Im

)

(

2



,

gdzie

k

w

w

w







,...,

,

2

1

oznaczają wektory własne odpowiadające wartościom własnym



1

,



2

, ...,



n

.

Fakt 3.4.6 (o postaci układu fundamentalnego układu (US) – metoda Eulera III)
Jeżeli macierz A układu jednorodnego równań o stałych współczynnikach (US) ma s parami różnych zespolonych wartości
własnych



1

,



2

, ...,



s

oraz 2k parami różnych zespolonych wartości własnych

1

1

1







i

s







,

1

1

1







i

s







,

2

2

2







i

s







,

2

2

2







i

s







, …,

k

k

k

s

i













,

k

k

k

s

i













, gdzie s + 2k = n,



j



0 dla 1



j



k, to

jego układ fundamentalny składa się z funkcji wektorowych:

1

1

1

)

(

v

e

t

y

t









,

2

2

1

)

(

v

e

t

y

t









, …,

s

t

s

v

e

t

y





1

)

(





,





1

1

1

Re

)

(









s

t

s

v

e

t

y

s







,





1

2

1

Im

)

(









s

t

s

v

e

t

y

s







,

…,





k

s

t

k

s

v

e

t

y

k

s

















Re

)

(

1

2

,





k

s

t

k

s

v

e

t

y

k

s















Im

)

(

2

,

gdzie

s

v

v

v







,...,

,

2

1

oznaczają wektory własne odpowiadające rzeczywistym wartościom własnym



1

,



2

, ...,



s

, a

k

s

s

s

v

v

v













,...,

,

2

1

oznaczają wektory własne odpowiadające zespolonym wartościom własnym



s+1

,



s+2

, ...,



s+k

.

3.5 UKŁADY NIEJEDNORODNE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH LINIOWYCH

Def. 3.5.1 (układ niejednorodny równań różniczkowych liniowych)
Układem niejednorodnym równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu nazywamy układ równań postaci

(UN)











































)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

'

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

2

1

1

2

12

1

11

1

t

h

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

t

h

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

t

h

y

t

a

y

t

a

y

t

a

y

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n



















,

gdzie h

i

(t)



0 dla pewnego 1



i



n.

Uwaga. W notacji wektorowej układ niejednorodny (UN) przyjmuje postać

)

(

)

(

'

t

h

y

t

A

y











.

Fakt 3.5.2 (o postaci rozwiązania ogólnego układu niejednorodnego)
Niech





)

(

,

),

(

),

(

2

1

t

y

t

y

t

y

n









będzie układem fundamentalnym układu jednorodnego (UJ) i niech

)

(t





będzie dowolnym

rozwiązaniem układu niejednorodnego (UN). Wtedy rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego dane jest wzorem

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

t

t

y

C

t

y

C

t

y

C

t

y

n

n

























,

gdzie C

1

, C

2

, ..., C

n

są dowolnymi stałymi rzeczywistymi.

Uwaga. Przypomnijmy, że z rozwiązania ogólnego przez odpowiedni dobór stałych C

1

, C

2

, ..., C

n

można otrzymać rozwiązanie

każdego zagadnienia początkowego. Rozwiązanie ogólne układu niejednorodnego (UN) będziemy oznaczali symbolem

ROUNL

y



. Rozwiązanie to ma taką samą postać jak rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego (LN)













ROUJL

ROUNL

y

y

.

3.6 METODA UZMIENNIANIA STAŁYCH

Def. 3.6.1 (metoda uzmienniania stałych)
Niech dany będzie układ fundamentalny



























)

(

)

(

)

(

)

(

1

21

11

1

t

y

t

y

t

y

t

y

n





,



























)

(

)

(

)

(

)

(

2

22

12

2

t

y

t

y

t

y

t

y

n





, ...,



























)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

t

y

t

y

t

y

t

y

nn

n

n

n





,

układu jednorodnego (UJ). Wtedy funkcja wektorowa

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

t

y

t

c

t

y

t

c

t

y

t

c

t

y

n

n



















,

gdzie c

1

(t), c

2

(t), ..., c

n

(t) są dowolnymi rozwiązaniami układu równań











































































)

(

)

(

)

(

)

(

'

)

(

'

)

(

'

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

t

h

t

h

t

h

t

c

t

c

t

c

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y

t

y

n

n

nn

n

n

n

n



















,

jest rozwiązaniem szczególnym układu niejednorodnego (UN).

Uwaga. Powyższy układ równań względem niewiadomych

)

(

'

,

),

(

'

),

(

'

2

1

t

c

t

c

t

c

n



ma jednoznaczne rozwiązanie, gdyż

jego wyznacznik jest wrońskianem układu fundamentalnego





)

(

,

),

(

),

(

2

1

t

y

t

y

t

y

n









układu (UJ), który jest różny od zera.