Bar tosz Bacia

Doświadczenie matematyczne i pewność

A zważywszy, że w zdaniu: myślę, więc jestem nie ma nic inne-
go, co by mnie upewniało, że mówię prawdę, jak tylko to, że wi-

dzę bardzo jasno, iż aby myśleć, trzeba istnieć, uznałem, że mo-
gę przyjąć za ogólne prawidło, że rzeczy, które pojmuję jasno i
wyraźnie wszystkie są prawdziwe. — Kartezjusz

1

Wśród logików krąży anegdota o tym, jak to młody Wittgenstein podczas egzaminu u
Bertranda Russella przeczył prawdziwości doświadczenia zmysłowego. Wreszcie ziryto-
wany Russell miał podobno krzyknąć: „…ale przyzna pan, że w tym oto pokoju nie ma
nosorożca?!” Wittgenstein ponoć nic nie odpowiedział.

Nauka jest przede wszystkim poszukiwaniem pewności. Warto zastanowić się,

czy gdyby we śnie znaleźć jakąś dowodliwą prawdę, niekoniecznie matematyczną (załóż-
my, że taka istnieje), okazałaby się ona równie pewna na jawie. Idealistycznie przyjmuję,
że prawda

2

oczywista jest niezależna od istnienia przedmiotów materialnych. Jest ona

zupełnie niezawisła i tym samym autarkiczna. Nie jest to jednak, jak to się później okaże,
żadna z prawd doniosłych. Przez prawdę doniosłą rozumiem zdanie syntetyczne (w
rozumieniu Kanta) odnoszące się do bytów nielokalizowalnych czasoprzestrzennie (np.
zdanie: „Bóg jest dobry”) oraz niektóre zdania egzystencjalne

3

(np. zdanie typu: „Istnieje

takie x, że x jest myślą.”). Nie zalicza się do tej kategorii natomiast zdanie w rodzaju:
„Dla każdego x, jeżeli x jest kwadratem, to x jest prostokątem”.

W poszukiwaniu niepowątpiewalnej prawdy Kartezjusz pisał: „Bo czy czuwam,

czy śpię, to 2+3=5, a kwadrat nie więcej ma boków niż cztery, i zdaje się jest niemożliwe,
by tak oczywiście prawdy popadły w podejrzenie, jakoby były fałszywe”

4

. Ale i w to

wolno nam wątpić: może istnieje jakiś demon, który złośliwie podsuwa rozumowi iluzje,
mami go złudzeniami? Tego nie mogę wykluczyć. Jedyne, co w tej sytuacji pozostaje, to

znaleźć podstawę moich mniemań tak pewną, że samo wątpienie o niej musi zdać się
niedorzecznością. „Teraz znalazłem! Tak: to myślenie! Ono jedno nie daje się ode mnie
oddzielić! Ja jestem, ja istnieję, to jest pewne”

5

. Idea doskonałości, jaką posiadamy,

1

Kartezjusz, Rozprawa o metodzie…, tłum. Wandy Woyciechowskiej, Warszawa 1978.

2

Prawdę pojmuję zgodnie z klasyczną definicją: Veritas est adequatio intellectus et rei, secundum quod intellectus

dicit esse, quod est, et non esse, quod non est.

3

Na dobrą sprawę nie istnieje żaden argument filozoficzny za przyjęciem istnienia czegokolwiek innego,

niż nasza własna jaźń, którego nie dałoby się podważyć. Uprzedzam, że wykluczam tutaj argumenty
typu: „Każdy rozsądny człowiek wie…”. Dla potrzeb naszego dyskursu zawężam kategorię zdań

egzystencjalnych do zdań o bytach meta-fizycznych i pozajęzykowych (Język traktuję jako pewien fakt
zmysłowo doświadczalny). Tak więc np. zdania metajęzyka nie podpadają pod tę kategorię, bo odnosząc

się do poziomu syntaktyki mówią coś o pewnym fakcie.

4

Kartezjusz, Medytacje o pierwszej filozofii, Warszawa 1958, s. 27.

5

Ibid., s. 36.

MISHELLANEA

№ 2.-3. —

HUMANISTYCZNE ASPEKTY MATEMATYKI

18

prowadzi Kartezjusza do uznania istnienia istoty doskonałej. Istota ta nie może być
złośliwym demonem, bo byłoby to sprzeczne z założeniem. Ten apagogiczny dowód
istnienia Istoty Najdoskonalszej jest również gwarancją poprawności naszego myślenia i
poprawności poznania zmysłowego: Najdoskonalsza Istota nie może być przecież źró-
dłem złudzeń.

Skąd Kartezjusz bierze przekonanie o niepowątpiewalnej pewności swojego cogi-

to? Bierze się ono z przyjętej uprzednio definicji prawdy jako zgodności z kryteriami,
jakimi jest jasność i wyraźność (claritas et distinctio) poznania

6

. Nie ulega wątpliwości, że

kryterium takie mógł sformułować tylko Kartezjusz-matematyk: doświadczenie matema-
tyczne jest pierwowzorem jasności i wyraźności. Niewątpliwie twierdzenie „ja myślę” jest

koniecznie prawdziwe, gdyż jego zaprzeczenie jest paradoksalne. Nie jest to jednak
logiczna konieczność. Jest to konieczność wynikająca z „performatywnej”, dokonawczej
wartości wypowiedzi, jak wykazał Hintikka

7

. Przyjrzyjmy się jeszcze paru innym zastrze-

żeniom co do pewności systemu kartezjańskiego. Są one z reguły formułowane z pozycji
współczesnej filozofii matematyki tudzież lingwistyki (wbrew pozorom obie dziedziny
maja wiele wspólnego − by wymienić choćby przedmiot zainteresowań taki jak fenomen
intuicyjnej powszechności logiki dwuwartościowej).

Po to, aby rozpoznać w sobie cokolwiek, np. przeżycie x i odróżnić je od prze-

życia y, muszą istnieć publiczne kryteria (w przeciwieństwie od kryteriów pr ywat-
nych) odróżniające x od y. Przykładowo apodyktyczność zasady wyłączonego środka nie
musi się narzucać z taką samą siłą komuś innemu. Poza tym ktoś inny może ją pojmować

zupełnie inaczej niż ja. Słowa nabierają sensu i podlegają takim a nie innym regułom
tylko dzięki temu, że zdania są wypowiadane w konkretnych aktach mowy, które są
„okazjonalne” (w tym sensie także teoria matematyczna jest „okazjonalna”); konkretnie
zaś zdania można wypowiedzieć sensownie tylko w pewnych sytuacjach − takich a nie
innych. (Pytanie: w jakich sytuacjach zdanie „dwa razy dwa jest cztery” może być wypo-
wiedziane sensownie?) Wewnętrzne relacje i reguły języka nie mogą same z siebie gene-
rować sensownych wypowiedzi, gdyż reguły języka mają związki konieczne − i w jakimś
sensie pierwotne − z typowymi modelami pozajęzykowych czynności człowieka. Aby
wiec zrozumieć język, musimy pozbyć się naszego „opętanego zamiłowania do ogólno-
ści”, za którym kryje się czasem „pogardliwy stosunek do szczegółowych przypadków” −
poza tym jednym, któremu przypisujemy cechę ogólności

8

. Jest to słynna teza Wittgen-

steina o niemożliwości logicznej istnienia języka prywatnego. Widzimy więc, że pewna
„oczywistość” jako immanentna cecha doświadczenia matematycznego, tak ważna dla
Kartezjusza, została współcześnie poddana rzeczowej krytyce. Matematyk może wpraw-
dzie odeprzeć owe zarzuty utrzymując, że pochodzą one z zewnątrz, tzn. od logików i
filozofów języka. Nie zmienia to jednak w niczym faktu, iż nikt już dzisiaj nie neguje
zapośredniczenia dyskursu naukowego przez konkretny język, w którym się on toczy.
Wiadomo skądinąd, że istnieją szkoły filozoficzne, które z nieukrywanym poczuciem

wyższości odnoszą się do wszelkich badań logicznych: odnalezienie lub ustalenie obiek-
tywnych, intersubiektywne sprawdzalnych kryteriów konfrontacji myśli, argumentów i

6

Patrz motto.

7

J. Hintikka, „Cogito ergo sum as an inference and a performance”, Philosophical Review, 1963.

8

L. Wittgenstein, Blue and Brown Books, New York 1964, s. 18.

B

.

BACIA

:

DOŚWIADCZENIE MATEMATYCZNE I PEWNOŚĆ

19

sądów jest dla nich sprawą, do której nie przywiązują większej wagi. Jakby na przeciwnym
im krańcu nurt filozofii zwany analitycznym, który wyszedł z założenia, że spory o
specyfikę i warunki konstytuujące swoistość doświadczenia w naukach formalnych nie
mogą toczyć się(jak to miało miejsce w czasach nowożytnych) bez uprzedniego ustalenia
wspólnego znaczenia słów oraz praw poprawnego wnioskowania, obowiązujących każdą
ze stron. Jeszcze raz matematyka zaciągnęła dług wobec filozofii. A zadanie poszukiwa-
nia usprawiedliwienia doświadczenia matematycznego powierzono metalogice i metama-
tematyce.

Zagadnienie doświadczenia matematyki podjął Leibniz. W liście do Zofii Karo-

liny Pruskiej, „dotyczącym tego, co jest niezależne od zmysłów i materii”

9

, zauważył, że

jakości poznawane zmysłami nie są wcale wyraźne: „Na przykład, czy czerwień jest
wirowaniem pewnych małych kulek, z których ma się podobno składać światło; czy
ciepło jest kłębem bardzo subtelnego pyłu; czy dźwięk rozchodzi się w powietrzu, jak
koła na wodzie, gdy się w nią rzuci kamień, jak to utrzymują pewni filozofowie — nie
widzimy tego wcale, a nawet nie potrafimy zrozumieć, jak te wirowania, skłębienia i koła
— gdyby nawet były prawdziwe — miałyby się składać na nasze postrzeżenia czerwieni,
ciepła, hałasu”

10

. Jednakże, zdaniem Leibniza, poprzez zmysły dochodzimy do pojęć

jasnych i wyraźnych. „Jednym z takich pojęć jest pojęcie liczby, występujące na równi w

dźwiękach, kolorach i dotknięciach. Tak samo również uprzytamniamy sobie kształty,
które są wspólnie kolorami i dotknięciem…”

11

. Leibniz uznaje istnienie tzw. zmysłu

wspólnego, którym poznajemy tego rodzaju jasne i wyraźne pojęcia. Pojęcia te „stanowią
przedmiot nauk matematycznych, mianowicie arytmetyki i geometrii, będących czystymi
naukami matematycznymi oraz przedmiot zastosowania tych nauk do natury, będący
dziełem mieszanych nauk matematycznych. Poszczególne jakości zmysłowe poddają się

− jak widzimy − wyjaśnieniom i rozumowaniu tylko w tej mierze, w jakiej mają w sobie
coś, co jest wspólne przedmiotom wielu zmysłów zewnętrznych i należy do zmysłu
wewnętrznego”

12

.

Leibniz porusza tu inny, istotny problem: dlaczego przyroda może być opisywa-

na matematycznie? Dla potrzeb naszych rozważań dość powiedzieć, że dostrzega on

matematyczność w czymś, co jest wspólnym przedmiotem wszystkich zmysłów. Ale i
tego jeszcze za mało. Gdyby pewność matematyki opierała się tylko na zmysłach (choćby
to był „zmysł wspólny”), to matematyka „polegałaby na zwykłej indukcji lub obserwa-
cji”. I tu Leibniz odwołuje się do „siły konsekwencji rozumowania”, która stanowi „część
tego, co się zwie naturalną światłością”

13

. „Na podstawie tej naturalnej światłości uznaje

się również pewniki matematyczne… Powracając do prawd koniecznych należy stwier-
dzić, że na ogół poznajemy je rzeczywiście dzięki tej, naturalnej światłości, żadną zaś
miarą dzięki doświadczeniu zmysłowemu. Albowiem zmysły pozwalają jakoś poznać to,

co jest, lecz nie pozwalają poznać tego, co być powinno lub nie może być w inny spo-
sób”

14

. Co istotne, owe prawdy konieczne są: (a) prawdziwe we wszystkich możliwych

9

G. W. v. Leibniz, Credo filozofa…, Warszawa 1969, ss. 253-265.

10

Ibid., s. 254.

11

Ibid., s. 255.

12

Ibid., s. 226.

13

Ibid., s. 258.

14

Ibid., s. 259.

MISHELLANEA

№ 2.-3. —

HUMANISTYCZNE ASPEKTY MATEMATYKI

20

światach, (b) ich przeciwieństwa, czyli negacje są wewnętrznie sprzeczne; jest to inna
definicja konieczności, (c) są dowodzone przez analizę terminów, (d) są one sprowadzal-
ne do zasady tożsamości lub jej negatywnego odpowiednika, czyli zasady sprzeczności,
przy czym widoczne jest, że Leibniz rozumiał zasadę sprzeczności niepsychologicznie. Z
drugiej jednakże strony mamy u Leibniza teorię iluminacji (sic!), z tym, że bezpośrednie
oświecenie przez Boga, postulowane przez św. Augustyna, Leibniz zastępuje „światłością
naturalna”. Czym jest ta „światłość naturalna”? Usiłując odpowiedzieć na to pytanie,

Leibniz wyprzedza Kanta: „Światłość naturalna” jest czymś tkwiącym w strukturze
umysłu i będącym warunkiem a priori wszelkiego poznania rozumowego. „…prócz tego,
co zmysłowe (przedmiot poznania zmysłowego) − pisze Leibniz − i tego, co wyobrażalne
(przedmiot zmysłu wspólnego), istnieje coś, co jest wyłącznie zrozumiałe, będąc przed-
miotem samego intelektu, i taki jest przedmiot mej myśli, gdy myślę o sobie.”

15

. Jest to

wyraźne echo Kartezjańskiego cogito, ale w całym kontekście bardziej przygotowuje do
Kanta, niż kontynuuje Kartezjusza. Bo oto czytamy dalej: „To rzec można, że nie ma w
intelekcie nic, co by nie pochodziło ze zmysłów, oprócz samego intelektu, czyli tego, kto
pojmuje”

16

.

Nie jest tu moim zamiarem pisanie historii problemu matematycznego doświad-

czenia; pragnę tylko pokazać jego rudymentarność. Chcąc ten problem wyjaśnić (lub

tylko rozjaśnić), Kartezjusz i Leibniz budowali, jak widzieliśmy, misterne konstrukcje
metafizyczne. Nie sądzę, by były one czymś więcej niż tylko postawieniem pytania. W
gruncie rzeczy obaj odwoływali się w ostatecznej instancji do Absolutu. Istotną rolę gra u
ich również teoria iluminacji, według Leibniza dokonuje się ona za pośrednictwem
„naturalnego światła”; Kartezjusz sądzi, że matematyka mogłaby być złudzeniem, ale do
zaaranżowania takiego złudzenia trzeba by Bożej wszechmocy (negatywna iluminacja:
fałszywe światło). Odwołanie się do „teorii światła” trudno uznać za zadowalające
rozwiązanie filozoficzne, ale jest ono − jak sądzę − bardzo mocnym podkreśleniem, że
idzie o rzecz istotnie nietrywialną, o zagadnienie posiadające fundamentalne znaczenie
dla całej filozofii. I istotnie, jeśli prawdą jest − jak twierdzi Whitehead − że whole philosophy
is a gloss to Plato, to cała filozofia zaczęła się właśnie od tego zagadnienia, gdyż to ono
dało początek platońskiej teorii idei. I jeżeli jest prawdą, że ojcem nowożytnej filozofii
nauki jest Kant, który pierwszy wyraźnie postawił pytanie o aprioryczne warunki do-
świadczenia, to nie co innego, lecz pytanie o sens doświadczenia matematycznego (cho-
ciaż często wprost sobie nieuświadamiane) leży u podstaw współczesnej filozofii nauki.

Od czasów Platona aż prawie do epoki Kanta naturalnym środowiskiem mate-

matyki była filozofia i nic dziwnego, że pytanie o doświadczenie matematyczne było
wypowiadane w kontekście metafizycznym. Wkrótce jednak po okresie Kanta matematy-
ka sama zaczęła kształtować swoje własne środowisko naturalne.

W niedługi czas potem okazało się, że każdy problem polega na jakimś zawęźle-

niu, a jednym z bardzo aktualnych sposobów uporania się z problemem jest jego „roz-
wiązanie”, usuniecie węzła, pokazanie, że problem ów był pseudoproblemem, czyli, że
problemu nie ma. W tym kierunku zdawały się zmierzać metabadania. Przede wszystkim

zwrócono uwagę na hipotetyczny charakter matematyki. Wszystkie twierdzenia matema-

15

Ibid., s. 256.

16

Ibid., s. 257.

B

.

BACIA

:

DOŚWIADCZENIE MATEMATYCZNE I PEWNOŚĆ

21

tyki są w istocie okresami warunkowymi: „jeżeli x, to y”. Jeżeli słuszne są założenia,
aksjomaty, to wynikają z nich takie a nie inne wnioski-twierdzenia. Założenia przyjmuje
się całkowicie dowolnie, a wynikanie odbywa się na mocy również arbitralnie przyjętych
reguł wnioskowania. Konieczność twierdzeń matematyki (i logiki) zostaje zredukowana
do mowy (konwencji).

Na poziomie języka przedmiotowego matematyki wszystko sprowadza się do

mechanicznych przepisów na przekształcanie formuł. Ale problem powraca na poziomie
meta: dlaczego metoda, właśnie ta hipotetyczno-konwencjonalna metoda matematyki jest
skuteczna? Dlaczego − jak powiadamy − metoda ta jest niezawodna? Co sprawia, że z
danych założeń, przy pomocy danych reguł wnioskowania dochodzi się do takich, a nie

innych wniosków, i to zawsze do takich, a nie innych wniosków? Metanaukowe rozważa-
nia pozwoliły poprawnie sformułować problem, ale nie udzieliły odpowiedzi. Problem
nie został „rozwiązany”, węzeł istnieje nadal.

W okresie działalności Koła Wiedeńskiego osiągnięcia filozofii matematyki (me-

tamatematyki) jeszcze raz wydawały się likwidować problem doświadczenia matematycz-
nego. Miało to miejsce wtedy, gdy neopozytywiści z Wiednia, niewątpliwie pod wpływem
Traktatu logiczno-filozoficznego Wittgensteina, w pełni zdali sobie sprawę z tautologiczności
twierdzeń logiki i matematyki. Zrozumieli oni, że w żadnym twierdzeniu matematyki nie
ma więcej treści niż w zdaniu: „pies jest psem”

17

. Konieczność redukuje się do nieistnie-

nia treści. Trywialna identyczność podmiotu i orzecznika jest wszystkim, co matematyka
ma do powiedzenia. Trywialność zasady tożsamości wydaje się wstrząsająca i nie wyma-

gająca żadnych „usprawiedliwień”. Chwila refleksji pokazuje jednak, ze okrycie tautolo-
gicznego charakteru twierdzeń matematyki bynajmniej nie likwiduje zagadnienia, stawia
je tylko w całej ostrości, czyni je pytaniem nagim, odartym ze wszystkich terminologicz-
nych upiększeń. Bo co nam każe przyjąć, że „pies=pies”? Dla schizofrenika pies może
równać się koniowi albo drużynie najemnych pikinierów; dlaczego logikę schizofrenika
uznajemy za patologię, a zasadę identyczności za tak trywialnie konieczną, że pozbawioną
treści? Na tych uwagach można by poprzestać, ale sądzę, że odkrycie tautologiczności
twierdzeń nauk formalnych tak doskonale sięga do prymitywnej (w sensie najbardziej

pierwotnej) istoty całego zagadnienia, iż warto mu będzie w przyszłości poświęcić nieco
więcej uwagi.
Widzieliśmy, że różne interpretacje interesującego nas pytania pokrywają wielki

obszar: od filozoficznego maksymalizmu Platona i Augustyna aż do skrajnego redukcjo-
nizmu Koła Wiedeńskiego i jego licznych zwolenników, do których zalicza się i wyżej
podpisany. Redukcjonizm ów może kojarzyć się pejoratywnie, a jest on po prostu swego
rodzaju posuniętym aż do ascezy umiarem w wyciąganiu wniosków. Niech więc i nasze
wnioski będą ascetycznie umiarkowane. Na podstawie dotychczasowej dyskusji doszliśmy
do tego, co następuje:

17

„Do zdania należy wszystko, co należy do projekcji; ale nie to, co rzutowane. A zatem możliwość

tego, co rzutowane, lecz nie ono samo. Tak wiec zdanie nie zawiera jeszcze swego sensu, zawiera
natomiast możliwość jego wyrażenia. («Treść» zdania to tyle, co treść zdania sensownego). Zdanie
zawiera formę sensu, ale nie jego treść.” — Tractatus…, op. cit., 3.13.

MISHELLANEA

№ 2.-3. —

HUMANISTYCZNE ASPEKTY MATEMATYKI

22

(1) Problem matematycznego doświadczenia jest zagadnieniem fundamentalnym

(dosłownie i w przenośni); zawiera on co najmniej dwie rzeczywiste składowe, a
mianowicie:

(2) Pytanie o naturę matematyki: co takiego mieści się w samej matematyce, ze jej

rozumowania uważamy za niezawodne, a jej twierdzenia za całkowicie bezpiecz-
ne?

(3) Pytanie o naturę naszego poznania matematycznego: co takiego mieści się w

strukturze naszego umysłu, że uznaje on bez zastrzeżeń nieuniknioność wnio-
sków poprawnie wyprowadzonych z przyjętych założeń na podstawie uznanych
reguł wnioskowania? Krótko: dlaczego umysł myśli matematycznie?

Nie

sadzę, bym potrafił odpowiedzieć na te pytania

18

. Ale właśnie rozważanie

pytań, na które nie zna się odpowiedzi (byleby to nie były pytania pozorne), jest czynno-
ścią wiedzotwórczą, zezwala ono także na formułowanie odpowiedzi hipotetycznych;
przy starannym obwarowaniu tego rodzaju odpowiedzi wszelkimi niezbędnymi zastrze-
żeniami, maja one wartość choćby tylko z tego względu, że pozwalają głębiej wniknąć w

samo pytanie, otwierają je niejako szerzej na dalsze dociekania. Co więcej, przy zachowa-
niu odpowiedniej ascezy myślowej, rozważania te mogą prowadzić do poszerzenia hory-
zontu wiedzy (jakkolwiek banalnie by to brzmiało), a określenie swojego miejsca wzglę-
dem horyzontów wiedzy nazywam życiową filozofią.

Popper w The Open Society zastanawia się, jak racjonalnie można uzasadnić postu-

lat kierowania się racjonalnością. Cała nauka jest wynikiem (i definicją, w pewnym sen-
sie!) racjonalności, a więc w pytaniu Poppera idzie nie o co innego, jak tylko o „usprawie-
dliwienie” metody naukowej. Wyniki nauki nie są w tym sensie usprawiedliwieniem nauki,
bo jeżeli ktoś nie chce kierować się racjonalnością, czyli jeżeli ktoś jest programowo
irracjonalistą, to nie zależy mu na żadnych racjonalnych (ani zresztą irracjonalnych)
wynikach. I dlatego, zdaniem Poppera, opowiedzenie się za racjonalnością jest po prostu

wyborem moralnym, jest wyborem czegoś, co uważamy za wartość. Idąc tym tokiem
rozumowania można zapytać: czy uznanie wartości doświadczenia matematycznego jest
częścią tej moralności?

Byłoby tak, gdybyśmy zgodzili się ze zdaniem Cantora, że „neque enim leges intellec-

tui aut rebus damus ad arbitrium nostrum, sed tamquam scribæ fideles ab ipsius naturæ voce latas et
prolatas excipimus et describimus”

19

. Chodziłoby wtedy o najzwyklejsze opowiedzenie się po

stronie prawdy. Nota bene byłaby ona pojmowana chyba na sposób ewidencjonistów, tzn.
zdanie „x” jest prawdziwe, bo widać, że x zachodzi. Tymczasem my nie jesteśmy tego
pewni. Jak przedstawia się sprawa pewności w matematyce?
Powszechne

jest

przekonanie, ze w wiele rzeczy można wątpić, np. w to, czy

Ziemia jest okrągła, ale w zdania matematyki wątpić nie sposób. Co to znaczy: prawdzi-
wość zdania jest pewna?

20

Słowem „pewny” wyrażamy całkowite przekonanie, brak

18

W szczególności dla rozstrzygnięcia problemu nr 3 powstała cała nowa gałąź nauki- filozofia tudzież

psychologia kognitywna. Pierwszy zakład filozofii kognitywnej w Polsce ma powstać na Uniwersytecie
Toruńskim za sprawą prof. J. Perzanowskiego.

19

„Nie ustanawiamy arbitralnie praw dla naszego rozumu ani dla rzeczy, lecz tak jak wierni skrybowie

wydobywamy i opisujemy te prawa, obwieszczone głosem samej natury.”

20

L.Wittgenstein, On certainty, London 1972, s. 50.

B

.

BACIA

:

DOŚWIADCZENIE MATEMATYCZNE I PEWNOŚĆ

23

jakichkolwiek wątpliwości i staramy się w ten sposób przekonać innych

21

. To jest su-

biektywna pewność. Lecz kiedy coś jest obiektywnie pewne? Kiedy błąd nie jest moż-
liwy. Chodzi tu o błąd logiczny. Sama struktura zdania decyduje o tym, czy zdanie jest
pewne, czy nie. „Sensem zdania jest jego zgodność i niezgodność z możliwościami
istnienia i nieistnienia stanów rzeczy.”

22

Zdanie postaci: „[(¬p∧q)∨(r⇒¬q)]∧ ¬[(p∨¬q) ∧

(q∧r)]” jest niezależne od wartości logicznej poszczególnych zdań elementarnych. Jest
ono koniecznie prawdziwe na mocy samej swojej budowy. Jest to prawo formalne.

23

W

logice takie formuły zdaniowe zwiemy tautologiami.

24

Na znaczenie ‘tautologii’ dla

definicji matematyki jako pierwszy zwrócił uwagę Wittgenstein. Owoce swych rozważań
przedstawił w Traktacie… w postaci m.in. tez: „4.46 Wśród możliwych grup warunków
prawdziwościowych są dwa przypadki skrajne. W jednym przypadku zdanie jest prawdzi-
we dla wszystkich możliwości prawdziwościowych zdań elementarnych. Mówimy, że
warunki prawdziwościowe są tautologiczne. W przypadku drugim zdanie jest dla
wszystkich możliwości prawdziwościowych fałszywe: warunki prawdziwościowe są
sprzeczne. W pierwszym przypadku zdanie nazywamy tautologią, w drugim sprzeczno-
ścią. […] 4.461 Zdanie pokazuje, co mówi: tautologia i sprzeczność pokazują, że nie

mówią nic. Tautologia […] jest bezwarunkowo prawdziwa; a sprzeczność nie jest praw-
dziwa pod żadnym warunkiem. 4.462 Tautologia i sprzeczność nie są obrazami rzeczywi-
stości. Nie przedstawiają one żadnej możliwej sytuacji. Pierwsza dopuszcza bowiem
każdą możliwość, druga nie dopuszcza żadnej […] 6.1 Tezy logiki są tautologiami. 6.11
Tezy logiki nic więc nie mówią (są one zdaniami analitycznymi) […] 6.113 Cechą swoistą
tez logicznych jest to, że ich prawdziwość można rozpoznać z samego symbolu. W tym
fakcie zawarta jest cała filozofia logiki […] 6.12 To, że tezy logiki są tautologiami, poka-
zuje formalne — logiczne — własności języka i świata […] 6.3211 […] wszędzie to, co
pewne a priori, okazuje się czymś czysto logicznym […]”.

Pojęcie tautologii jest zdefiniowane przez 4.46 semantycznie, przez prawdziwość

dla wszystkich możliwości prawdziwościowych. O ile owe możliwości prawdziwościowe

będą rozumiane jako możliwe światy w sensie Leibniza, o tyle 4.46 stanowi jakąś wersję
Leibnizjańskiej definicji prawdy koniecznej.

Według Wittgensteina, prawa logiki są tautologiami, zdaniami analitycznymi i

apriorycznymi, co znaczy, że zdania typów „p∨¬p” (prawa logiczne) i „Jeżeli Londyn leży
nad Tamizą, to Londyn leży nad Tamizą” (egzemplifikacje praw logiki) są analityczne, a
zatem uniwersalnie ważne. Tym samym pewne.

21

W matematyce sensu stricto słowo „pewny” jest równoznaczne z „uniwersalnie ważny” (niem. alllge-

meingültig), a w pewnych kontekstach — „analityczny”. Pierwszy termin został ukuty przez Bolzano,
drugi, rzecz jasna, przez Kanta.

22

L.Wittgenstein, Tractatus…, op. cit. 4.2, s. 33.

23

Formalne prawo, to takie prawo, które można jednoznacznie sformułować bez odwoływania się do

jego treści.

24

Oto skrótowa definicja: Dla dowolnej interpretacji ν języka J wartość logiczna dowolnej formuły α

zależy wyłącznie od wartościowania skończonej liczby zmiennych, a mianowicie od wartościowania tych
zmiennych, które występują w tej formule. Z tego punktu widzenia formuły, które dla każdej interpreta-
cji języka, tzn. dla każdego α przyjmują wartość 1 nazywamy tautologiami. Przy czym interpretacją
języka J nazywamy dowolną funkcję: ν: S→{0,1} taką, że dla formuł α, β, γ∈S spełnione są warunki:

(tutaj charakteryzujemy spójniki danego języka).

MISHELLANEA

№ 2.-3. —

HUMANISTYCZNE ASPEKTY MATEMATYKI

24

Gdyby jednak ktoś próbował wątpić we wszystko, to nie doszedłby nawet do

wątpienia w cokolwiek. Zabawa w wątpienie sama zakłada już bowiem pewność.

25

Zdaje

się, że do logiki naszych naukowych badań należy to, że pewne sprawy są w rzeczy
samej niepowątpiewalne

26

. Z taką samą pewnością, z jaką wiemy, że mówimy po polsku, a

nie po chińsku, wierzymy też w którekolwiek ze zdań matematycznych. Wiele jednak
może temu przeczyć. Trzymając się przykładu Wittgensteina: Po pierwsze jest faktem, że
„12· 12 itd.” jest zdaniem matematycznym i można z tego wyciągnąć wniosek, że tylko

te zdania nie podlegają wątpliwościom. I jeśli ten wniosek nie jest uzasadniony (por. teza
w przyp. 14), to równie pewne powinno być zdanie o procesie rachowania, ale nie będące
samo zdaniem matematycznym. Myślę o zdaniu w rodzaju: „Mnożenie

«

12· 12

»

, o ile

przeprowadzają je ludzie biegli w rachunkach da w większości przypadków wynik 144”.
Zdaniu temu nikt nie zaprzeczy, a nie jest ono naturalnie zdaniem matematycznym. Ale
czy ma ono pewność zdania matematycznego?

Zdanie matematyczne niejako oficjalnie naznaczone zostało stemplem bezspor-

ności. I lepiej niech już tak pozostanie. Intencją moją nie było poddanie w wątpliwość
twierdzeń matematyki, lecz zwrócenie uwagi na pewne fundamentalne pytania o jej
usprawiedliwienie par excellence. Z matematyką w ścisłym znaczeniu słowa ma to na
pierwszy rzut oka niewiele wspólnego. Przyszło mi bowiem poruszać się na pograniczu
semiotyki, logiki i psychologii. Miało to jednak, jak sądzę, swoje uzasadnienie. Jeśli praca

ta sprawia wrażenie mało konkluzywnej, to dobrze. Jej celem było raczej przypomnienie,
postawienie na nowo pewnych problemów, których rozwiązanie daleko przekracza
kompetencje autora. Niech podsumowaniem powyższych rozważań będą słowa Wittgen-
steina: „Z tego, że mnie — lub każdemu — wydaje się, że tak jest, nie wynika, że tak
jest. Co prawda wolno spytać, czy można w to sensownie wątpić.”

25

„Kto nie jest pewien żadnego faktu, ten również nie może być pewien sensu swoich słów”,

L.Wittgenstein, On certainty, London 1972, s. 38.

26

„Nie mogę się mylić co do tego, że 12· 12=144. A nie można m at e m a t y c z n e j pewności przeciw-

stawić względnej pewności zdań empirycznych. Bo zdanie matematyczne otrzymuje się w wyniku serii

działań, które w żaden sposób nie różnią się od pozostałych działań w naszym życiu i tak samo narażo-

ne są na zapomnienie, przeoczenie, złudzenie.”, ibid., s. 122.