1

ALGEBRA

1

Algebra

WYKŁAD 8

2

Geometria analityczna w przestrzeni

3

Geometria analityczna

ALGEBRA

3

Geometria analityczna

– dział geometrii zajmujący się

badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi
(obliczeniowymi) i algebraicznymi.

Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii
analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań,
które opisują badane figury.

Początki geometrii analitycznej są związane z nazwiskami
Fermata, Pascala oraz Kartezjusza, którzy jako pierwsi
punktom na płaszczyźnie przypisali pary liczb nazywane
i

ch współrzędnymi, a pewne zależności między współrzędnymi

w danym układzie współrzędnych utożsamili z krzywymi
na płaszczyźnie

4

Geometria analityczna

ALGEBRA

Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich nazywamy układ
współrzędnych, w którym zadane są:

punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego

wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą
O lub cyfrą 0.

zestaw parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami

układu współrzędnych.

Kartezjusz (

René Descartes)

x

0

y

z

5

Geometria analityczna

ALGEBRA

5

Podstawowym obiektem w geometrii analitycznej jest wektor.

Uwaga

Wielkości, dla określenia których wystarczy podanie
pojedynczych

wartości liczbowych,w naukach przyrodniczych

i ekonomii

są nazywane wielkościami skalarnymi (skalarami).

Są to między innymi: długość odcinka, masa, objętość.

Wielkości, dla jednoznacznego określania których trzeba podać
ich wartość liczbową oraz kierunek i zwrot są nazywane
wielkościami wektorowymi (wektorami).
Wektorami są więc np: prędkość, przyspieszenie,przesunięcie,
siła.

6

Definicje

Wektor zaczepiony

to uporządkowana para punktów, której

poprzednik nazywamy

początkiem (punktem zaczepienia),

zaś następnik końcem wektora.

Dwa punkty

A

i

B

wyznaczaja dwa wektory ,



AB

i



BA

.

x

0

A B

Wektor



AB

ma

początek w punkcie

A

i koniec w punkcie

B

.

Wektor



BA

ma

początek w punkcie

B

i koniec w punkcie

A









BA

AB

Wektor



AB

jest przeciwny do



BA

(różni się zwrotem).

Geometria analityczna

7

Wektor



AB

(podobnie



BA

) reprezentuje kierunek prostej

przechodzącej przez punkty

A

i

B.

Przez

długość wektora



AB

rozumiemy odległość między

punktami

A

i

B

|

|

)

,

(











BA

AB

B

A

d

AB

Miarą wektora nazywamy liczbę równą długości tego
wektora wziętą ze znakiem "plus", jeżeli zwrot wektora jest
zgodny ze zwrotem prostej, natomiast ze znakiem "minus",
jeżeli zwrot wektora jest przeciwny do zwrotu prostej.

Definicja

Wektor o długości jednostkowej nazywamy wersorem
(wektorem jednostkowym) prostej.

Geometria analityczna

8

Wersory osi układu kartezjańskiego o zwrotach zgodnych
z kierunkami osi oznaczamy literami

i, j, k

.

x

z

0

y

i

k

j

Geometria analityczna

9

Wektory nazywamy

równoważnymi, jeżeli mają taką samą

długość, ten sam kierunek i zwrot.

Wektory równoważne różnią się jedynie punktem zaczepienia.

Wektorem swobodnym

nazywamy zbiór (klasę abstrakcji)

wektorów równoważnych.

Każdy wektor zaczepiony jest reprezentantem pewnego
wektora swobodnego.

Każdy wektor swobodny posiada reprezentanta zaczepionego
w początku układu współrzędnych.

Pojedyncze

słowo wektor oznacza wektor swobodny.

Geometria analityczna

10

Wektor swobodny

z

y

x

0

Geometria analityczna

11

Wektorem zerowym

nazywamy wektor o długości 0.

Wektory niezerowe mające ten sam kierunek nazywamy
równoległymi (kolinearnymi, współliniowymi).

Wektory kolinearne

Geometria analityczna

12

Współrzędnymi wektora zaczepionego



AB

w danym układzie

współrzędnych nazywamy trójkę liczb

)

,

,

(

1

2

1

2

1

2

z

z

y

y

x

x







gdzie

)

,

,

(

),

,

,

(

2

2

2

1

1

1

z

y

x

B

z

y

x

A

.

Wszystkie wektory zaczepione będące reprezentantami tego

samego wektora swobodnego mają takie same współrzędne.

Wektor swobodny jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje

współrzędne, co zapisujemy

]

,

,

[

z

y

x

v

v

v



v

Współrzędne wektora są miarami rzutów prostokątnych

wektora na osie układu współrzędnych.

Wektory

u

i

v

są równe (

u

=

v

) wtedy i tylko wtedy, gdy ich

współrzędne są sobie równe.

Geometria analityczna

13

Wektor, będący rzutem wektora na oś układu nazywamy
składową wektora.

Wersory osi w kartezjańskim układzie współrzędnych mają
postać

i = [1,0,0], j = [0,1,0], k = [0,0,1]

Dowolny wektor w układzie współrzędnych kartezjańskim
ma przedstawienie

k

j

i

v

v

v

v

z

y

x

z

y

x

z

y

x

v

v

v

v

v

v















]

,

,

[

gdzie

z

y

x

v

v

v

,

,

-

składowe wektora,

z

y

x

v

v

v

,

,

-

współrzędne wektora.

Geometria analityczna

14

Działania na wektorach swobodnych

Niech

R

v

v

v

u

u

u

z

y

x

z

y

x









],

,

,

[

],

,

,

[

v

u

,

Sumę wektorów u i v okreśamy wzorem

]

,

,

[

z

z

y

y

x

x

v

u

v

u

v

u











v

u

Iloczyn wektora u przez liczbę rzeczywistą

α

określamy wzorem

]

,

,

[

z

y

x

u

u

u











u

Geometria analityczna

15

Suma

wektorów u i v

]

,

,

[

z

z

y

y

x

x

v

u

v

u

v

u











v

u

u

u +v

v

Geometria analityczna

16

Geometria analityczna

1)

Za pomocą przesunięcia równoległego
przesuwamy wektor b

tak, aby początek wektora

b

znalazł się w początku wektora a.

2)

Budujemy równoległobok oparty o wektory a i b.

3)

Sumę wektorów a i b otrzymujemy łącząc
początek wektorów a i b naprzeciwległym
wierzchołkiem równoległoboku.

SUMA WEKTORÓW - METODA RÓWNOLEGŁOBOKU

17

Geometria analityczna

1.

Za pomocą przesunięcia równoległego
przesuwamy wektor b

tak, aby początek

wektora b

znalazł się w końcu wektora a.

2.

Sumę wektorów a i b otrzymujemy
łącząc początek wektora a z końcem
wektora b

SUMA WEKTORÓW - METODA TRÓJKĄTA

18

Iloczyn wektora u przez liczbę rzeczywistą

α

]

,

,

[

z

y

x

u

u

u











u

Dwa niezerowe wektory u i v mają ten sam kierunek, jeśli istnieje taka niezerowa liczba α, że u= α v.
Jeśli ponadto:

α > 0, to wektory te mają ten sam zwrot,
α < 0, to wektory te mają zwrot przeciwny.

αv (α

>

0)

αv (α

<

0)

v

Geometria analityczna

19

Działania na wektorach swobodnych są izomorficzne
z

działaniami na wektorach algebraicznych (macierzach

wektorowych w rachunku macierzowym), dzięki czemu można
przenieść pojęcia dotyczące wektorów algebraicznych
na wektory swobodne.

Własności działań na wektorach

Dla dowolnych wektorów

u

,

v, w



u + v = v + u



u + (v + w) = (u + v) + w



u + 0 = u,



u + (-u) = 0.

Geometria analityczna

20

Niech

u

i

v

będą wektorami niezerowymi zaczepionymi w jednym

punkcie.
Kątem między wektorami

u

i

v

nazywamy mniejszy z

kątów

wyznaczonych przez te wektory.

x

y

z

0



u

v

Geometria analityczna

21

Definicja

Iloczyn skalarny

wektorów

u

i

v

określamy wzorem



cos

|

|

|

|







v

u

v

u 

gdzie



-

jest kątem między wektorami

u

i

v.

Jeśli

u = 0,

lub

v = 0

to przyjmujemy

0



v

u 

.

Geometria analityczna

22

Własności iloczynu skalarnego

Niech

v, u

i

w

będą wektorami i niech

α



R

. Wtedy:

1.

v

u

u

v







2.

2

|

| v

v

v





3.

)

(

)

(

v

u

u

v











4.

w

v

w

u

w

v

u













)

(

Geometria analityczna

23

Twierdzenie

Niezerowe wektory

u

i

v

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

0



u

v 

Twierdzenie

Iloczyn skalarny

wektorów

u

i

v

wyznaczamy z wzoru

z

z

y

y

x

x

u

v

u

v

u

v







u

v 

Wniosek

|

|

|

|

cos

u

v

u

v









Geometria analityczna

24

Wniosek

Każdy wersor ma przedstawienie





z

y

x

z

y

x

v

v

v







cos

,

cos

,

cos

|

|

,

|

|

,

|

|

|

|

















v

v

v

v

v

gdzie

z

y

x







cos

,

cos

,

cos

są kosinusami kierunkowymi

wektora

(kosinusami kątów jakie tworzy wektor z osiami

układu współrzędnych).

Geometria analityczna

25

Definicja

Iloczynem wektorowym

niewspółliniowych wektorów

u

i

v

nazywamy wektor

w

spełniający warunki:

1.

Jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach

u

i

v,

2.

Jego długość jest określona wzorem



sin

|

|

|

|

|

|







v

u

w

,

3.

Orientacja trójki wektorów

u, v

i

w

jest zgodna z orientacją

układu współrzędnych.

Oznaczamy go symbolem

u



v.

Jeżeli jeden z wektorów

u, v

jest wektorem zerowym, lub

wektory te

są współliniowe, to przyjmujemy

u



v = 0.

Geometria analityczna

26

Geometria analityczna

Pole równoległoboku, którego przyległymi bokami są wektory
u

i

v jest równe



u



v



.

u

v

u



v

Pole równoległoboku



sin

|

|

|

|

|

|









v

u

v

u

27

Geometria analityczna

Prawoskrętny układ osi współrzędnych

28

Własności iloczynu wektorowego

Jeśli u, v i w są dowolnymi wektorami, 0 jest wektorem zerowym,
α



0 jest skalarem, to:

1. u



0 = 0



u = 0,

2. u



v = - (v



u),

3. (α u)



v = α (u



v) = u



(α v),

4. u



(v + w) = (u



v) + (u



w),

5. (u + v)



w= (u



w) + (v



w),

Geometria analityczna

29

Własności iloczynu wektorowego

Jeśli u, v i w są dowolnymi wektorami, 0 jest wektorem zerowym,
α



0 jest skalarem, to:

1. u



0 = 0



u = 0,

2. u



v = - (v



u),

3. (α u)



v = α (u



v) = u



(α v),

4. u



(v + w) = (u



v) + (u



w),

5. (u + v)



w= (u



w) + (v



w),

Geometria analityczna

30

Twierdzenie

Iloczyn wektorowy

wektorów

u

i

v

wyznaczamy z wzoru

z

y

x

z

y

x

v

v

v

u

u

u

k

j

i

v

u





Geometria analityczna

31

Przykład

Wyznaczyć wektor prostopadły do wektorów u, v



R

3

,

jeżeli u = [1,0,2], v=[1,3,−2].

W

ektorem takim będzie iloczyn wektorowy danych wektorów,

u



v =

2

-

3

1

2

0

1

k

j

i

= i

2

3

2

0



− j

2

1

2

1



+ k

3

1

0

1

= −6i+4j+3k = [−6,4,3].

Geometria analityczna

32

Definicja

Niezerowe wektory

u

i

v

są równoległe (kolinearne) wtedy i tylko

wtedy, gdy

z

z

y

y

x

x

v

u

v

u

v

u











0

v

u

(tzn. gdy

mają proporcjonalne współrzędne).

Wersory osi współrzędnych spełniają związki

j

i

k

i

k

j

k

j

i













Geometria analityczna

33

Definicja

Iloczynem mieszanym

uporządkowanej trójki wektorów

u, v,

w

nazywamy iloczyn

)

(

w

v

u





i oznaczamy symbolem

)

(

w

v,

u,

.

Iloczyn mieszany obliczamy wg wzoru

z

y

x

z

y

x

z

y

x

w

w

w

v

v

v

u

u

u

,



)

,

(

w

v

u

Geometria analityczna

34

Zachodzą równości

)

,

(

)

,

(

)

(

v

u,

w

u

w

v,

w

v,

u,





Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów

u, v,

w

jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na tych
wektorach.

Uwaga

Wektory

u, v,

w

wyznaczają płaszczyznę (są

współpłaszczyznowe, komplanarne), wtedy i tylko wtedy, gdy

(

u, v,

w) = 0 .

Geometria analityczna

35

Dziękuję za uwagę