1
ALGEBRA
1
Algebra
WYKŁAD 8
1
ALGEBRA
1
Algebra
WYKŁAD 8
2
Geometria analityczna w przestrzeni
3
Geometria analityczna
ALGEBRA
3
Geometria analityczna
– dział geometrii zajmujący się
badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi
(obliczeniowymi) i algebraicznymi.
Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii
analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań,
które opisują badane figury.
Początki geometrii analitycznej są związane z nazwiskami
Fermata, Pascala oraz Kartezjusza, którzy jako pierwsi
punktom na płaszczyźnie przypisali pary liczb nazywane
i
ch współrzędnymi, a pewne zależności między współrzędnymi
w danym układzie współrzędnych utożsamili z krzywymi
na płaszczyźnie
4
Geometria analityczna
ALGEBRA
Definicja
Układem współrzędnych kartezjańskich nazywamy układ
współrzędnych, w którym zadane są:
punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego
wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą
O lub cyfrą 0.
zestaw parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami
układu współrzędnych.
Kartezjusz (
René Descartes)
x
0
y
z
5
Geometria analityczna
ALGEBRA
5
Podstawowym obiektem w geometrii analitycznej jest wektor.
Uwaga
Wielkości, dla określenia których wystarczy podanie
pojedynczych
wartości liczbowych,w naukach przyrodniczych
i ekonomii
są nazywane wielkościami skalarnymi (skalarami).
Są to między innymi: długość odcinka, masa, objętość.
Wielkości, dla jednoznacznego określania których trzeba podać
ich wartość liczbową oraz kierunek i zwrot są nazywane
wielkościami wektorowymi (wektorami).
Wektorami są więc np: prędkość, przyspieszenie,przesunięcie,
siła.
6
Definicje
Wektor zaczepiony
to uporządkowana para punktów, której
poprzednik nazywamy
początkiem (punktem zaczepienia),
zaś następnik końcem wektora.
Dwa punkty
A
i
B
wyznaczaja dwa wektory ,
AB
i
BA
.
x
0
A B
Wektor
AB
ma
początek w punkcie
A
i koniec w punkcie
B
.
Wektor
BA
ma
początek w punkcie
B
i koniec w punkcie
A
BA
AB
Wektor
AB
jest przeciwny do
BA
(różni się zwrotem).
Geometria analityczna
7
Wektor
AB
(podobnie
BA
) reprezentuje kierunek prostej
przechodzącej przez punkty
A
i
B.
Przez
długość wektora
AB
rozumiemy odległość między
punktami
A
i
B
|
|
)
,
(
BA
AB
B
A
d
AB
Miarą wektora nazywamy liczbę równą długości tego
wektora wziętą ze znakiem "plus", jeżeli zwrot wektora jest
zgodny ze zwrotem prostej, natomiast ze znakiem "minus",
jeżeli zwrot wektora jest przeciwny do zwrotu prostej.
Definicja
Wektor o długości jednostkowej nazywamy wersorem
(wektorem jednostkowym) prostej.
Geometria analityczna
8
Wersory osi układu kartezjańskiego o zwrotach zgodnych
z kierunkami osi oznaczamy literami
i, j, k
.
x
z
0
y
i
k
j
Geometria analityczna
9
Wektory nazywamy
równoważnymi, jeżeli mają taką samą
długość, ten sam kierunek i zwrot.
Wektory równoważne różnią się jedynie punktem zaczepienia.
Wektorem swobodnym
nazywamy zbiór (klasę abstrakcji)
wektorów równoważnych.
Każdy wektor zaczepiony jest reprezentantem pewnego
wektora swobodnego.
Każdy wektor swobodny posiada reprezentanta zaczepionego
w początku układu współrzędnych.
Pojedyncze
słowo wektor oznacza wektor swobodny.
Geometria analityczna
10
Wektor swobodny
z
y
x
0
Geometria analityczna
11
Wektorem zerowym
nazywamy wektor o długości 0.
Wektory niezerowe mające ten sam kierunek nazywamy
równoległymi (kolinearnymi, współliniowymi).
Wektory kolinearne
Geometria analityczna
12
Współrzędnymi wektora zaczepionego
AB
w danym układzie
współrzędnych nazywamy trójkę liczb
)
,
,
(
1
2
1
2
1
2
z
z
y
y
x
x
gdzie
)
,
,
(
),
,
,
(
2
2
2
1
1
1
z
y
x
B
z
y
x
A
.
Wszystkie wektory zaczepione będące reprezentantami tego
samego wektora swobodnego mają takie same współrzędne.
Wektor swobodny jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje
współrzędne, co zapisujemy
]
,
,
[
z
y
x
v
v
v
v
Współrzędne wektora są miarami rzutów prostokątnych
wektora na osie układu współrzędnych.
Wektory
u
i
v
są równe (
u
=
v
) wtedy i tylko wtedy, gdy ich
współrzędne są sobie równe.
Geometria analityczna
13
Wektor, będący rzutem wektora na oś układu nazywamy
składową wektora.
Wersory osi w kartezjańskim układzie współrzędnych mają
postać
i = [1,0,0], j = [0,1,0], k = [0,0,1]
Dowolny wektor w układzie współrzędnych kartezjańskim
ma przedstawienie
k
j
i
v
v
v
v
z
y
x
z
y
x
z
y
x
v
v
v
v
v
v
]
,
,
[
gdzie
z
y
x
v
v
v
,
,
-
składowe wektora,
z
y
x
v
v
v
,
,
-
współrzędne wektora.
Geometria analityczna
14
Działania na wektorach swobodnych
Niech
R
v
v
v
u
u
u
z
y
x
z
y
x
],
,
,
[
],
,
,
[
v
u
,
Sumę wektorów u i v okreśamy wzorem
]
,
,
[
z
z
y
y
x
x
v
u
v
u
v
u
v
u
Iloczyn wektora u przez liczbę rzeczywistą
α
określamy wzorem
]
,
,
[
z
y
x
u
u
u
u
Geometria analityczna
15
Suma
wektorów u i v
]
,
,
[
z
z
y
y
x
x
v
u
v
u
v
u
v
u
u
u +v
v
Geometria analityczna
16
Geometria analityczna
1)
Za pomocą przesunięcia równoległego
przesuwamy wektor b
tak, aby początek wektora
b
znalazł się w początku wektora a.
2)
Budujemy równoległobok oparty o wektory a i b.
3)
Sumę wektorów a i b otrzymujemy łącząc
początek wektorów a i b naprzeciwległym
wierzchołkiem równoległoboku.
SUMA WEKTORÓW - METODA RÓWNOLEGŁOBOKU
17
Geometria analityczna
1.
Za pomocą przesunięcia równoległego
przesuwamy wektor b
tak, aby początek
wektora b
znalazł się w końcu wektora a.
2.
Sumę wektorów a i b otrzymujemy
łącząc początek wektora a z końcem
wektora b
SUMA WEKTORÓW - METODA TRÓJKĄTA
18
Iloczyn wektora u przez liczbę rzeczywistą
α
]
,
,
[
z
y
x
u
u
u
u
Dwa niezerowe wektory u i v mają ten sam kierunek, jeśli istnieje taka niezerowa liczba α, że u= α v.
Jeśli ponadto:
α > 0, to wektory te mają ten sam zwrot,
α < 0, to wektory te mają zwrot przeciwny.
αv (α
>
0)
αv (α
<
0)
v
Geometria analityczna
19
Działania na wektorach swobodnych są izomorficzne
z
działaniami na wektorach algebraicznych (macierzach
wektorowych w rachunku macierzowym), dzięki czemu można
przenieść pojęcia dotyczące wektorów algebraicznych
na wektory swobodne.
Własności działań na wektorach
Dla dowolnych wektorów
u
,
v, w
u + v = v + u
u + (v + w) = (u + v) + w
u + 0 = u,
u + (-u) = 0.
Geometria analityczna
20
Niech
u
i
v
będą wektorami niezerowymi zaczepionymi w jednym
punkcie.
Kątem między wektorami
u
i
v
nazywamy mniejszy z
kątów
wyznaczonych przez te wektory.
x
y
z
0
u
v
Geometria analityczna
21
Definicja
Iloczyn skalarny
wektorów
u
i
v
określamy wzorem
cos
|
|
|
|
v
u
v
u
gdzie
-
jest kątem między wektorami
u
i
v.
Jeśli
u = 0,
lub
v = 0
to przyjmujemy
0
v
u
.
Geometria analityczna
22
Własności iloczynu skalarnego
Niech
v, u
i
w
będą wektorami i niech
α
R
. Wtedy:
1.
v
u
u
v
2.
2
|
| v
v
v
3.
)
(
)
(
v
u
u
v
4.
w
v
w
u
w
v
u
)
(
Geometria analityczna
23
Twierdzenie
Niezerowe wektory
u
i
v
są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
0
u
v
Twierdzenie
Iloczyn skalarny
wektorów
u
i
v
wyznaczamy z wzoru
z
z
y
y
x
x
u
v
u
v
u
v
u
v
Wniosek
|
|
|
|
cos
u
v
u
v
Geometria analityczna
24
Wniosek
Każdy wersor ma przedstawienie
z
y
x
z
y
x
v
v
v
cos
,
cos
,
cos
|
|
,
|
|
,
|
|
|
|
v
v
v
v
v
gdzie
z
y
x
cos
,
cos
,
cos
są kosinusami kierunkowymi
wektora
(kosinusami kątów jakie tworzy wektor z osiami
układu współrzędnych).
Geometria analityczna
25
Definicja
Iloczynem wektorowym
niewspółliniowych wektorów
u
i
v
nazywamy wektor
w
spełniający warunki:
1.
Jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach
u
i
v,
2.
Jego długość jest określona wzorem
sin
|
|
|
|
|
|
v
u
w
,
3.
Orientacja trójki wektorów
u, v
i
w
jest zgodna z orientacją
układu współrzędnych.
Oznaczamy go symbolem
u
v.
Jeżeli jeden z wektorów
u, v
jest wektorem zerowym, lub
wektory te
są współliniowe, to przyjmujemy
u
v = 0.
Geometria analityczna
26
Geometria analityczna
Pole równoległoboku, którego przyległymi bokami są wektory
u
i
v jest równe
u
v
.
u
v
u
v
Pole równoległoboku
sin
|
|
|
|
|
|
v
u
v
u
27
Geometria analityczna
Prawoskrętny układ osi współrzędnych
28
Własności iloczynu wektorowego
Jeśli u, v i w są dowolnymi wektorami, 0 jest wektorem zerowym,
α
0 jest skalarem, to:
1. u
0 = 0
u = 0,
2. u
v = - (v
u),
3. (α u)
v = α (u
v) = u
(α v),
4. u
(v + w) = (u
v) + (u
w),
5. (u + v)
w= (u
w) + (v
w),
Geometria analityczna
29
Własności iloczynu wektorowego
Jeśli u, v i w są dowolnymi wektorami, 0 jest wektorem zerowym,
α
0 jest skalarem, to:
1. u
0 = 0
u = 0,
2. u
v = - (v
u),
3. (α u)
v = α (u
v) = u
(α v),
4. u
(v + w) = (u
v) + (u
w),
5. (u + v)
w= (u
w) + (v
w),
Geometria analityczna
30
Twierdzenie
Iloczyn wektorowy
wektorów
u
i
v
wyznaczamy z wzoru
z
y
x
z
y
x
v
v
v
u
u
u
k
j
i
v
u
Geometria analityczna
31
Przykład
Wyznaczyć wektor prostopadły do wektorów u, v
R
3
,
jeżeli u = [1,0,2], v=[1,3,−2].
W
ektorem takim będzie iloczyn wektorowy danych wektorów,
u
v =
2
-
3
1
2
0
1
k
j
i
= i
2
3
2
0
− j
2
1
2
1
+ k
3
1
0
1
= −6i+4j+3k = [−6,4,3].
Geometria analityczna
32
Definicja
Niezerowe wektory
u
i
v
są równoległe (kolinearne) wtedy i tylko
wtedy, gdy
z
z
y
y
x
x
v
u
v
u
v
u
0
v
u
(tzn. gdy
mają proporcjonalne współrzędne).
Wersory osi współrzędnych spełniają związki
j
i
k
i
k
j
k
j
i
Geometria analityczna
33
Definicja
Iloczynem mieszanym
uporządkowanej trójki wektorów
u, v,
w
nazywamy iloczyn
)
(
w
v
u
i oznaczamy symbolem
)
(
w
v,
u,
.
Iloczyn mieszany obliczamy wg wzoru
z
y
x
z
y
x
z
y
x
w
w
w
v
v
v
u
u
u
,
)
,
(
w
v
u
Geometria analityczna
34
Zachodzą równości
)
,
(
)
,
(
)
(
v
u,
w
u
w
v,
w
v,
u,
Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów
u, v,
w
jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na tych
wektorach.
Uwaga
Wektory
u, v,
w
wyznaczają płaszczyznę (są
współpłaszczyznowe, komplanarne), wtedy i tylko wtedy, gdy
(
u, v,
w) = 0 .
Geometria analityczna
35
Dziękuję za uwagę