SIMR Analiza 1, Monotoniczność funkcji, ekstrema lokalne i globalne funkcji, przebieg zmienności funkcji

1. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji f ( x) (a) f ( x) = −x 3 + 2 x 2

(b) f ( x) = x 4 − 2 x 2

√

(c) f ( x) = x 8 − x 2

x 3

(d) f ( x) = x 2 + 1

ln x 2

(e) f ( x) =

x

(f) f ( x) = arc tg 2 x − ln(1 + 4 x 2) 2. Udowodnić równość:

1

π

(a) arc tg

+ arc tg x =

; x > 0

x

2

2 x

(b) 2 arc tg x + arc sin

= π

; x ­ 1

1 + x 2

1 − x

π

(c) arc tg x + arc tg

=

;

x > − 1

1 + x

4

3. Udowodnić nierówność:

(a) 2 x arc tg x ­ ln(1 + x 2) arc tg x

(b) ln(1 + x) >

; x > 0.

1 + x

√

1

(c) ln(1 +

1 + x 2) <

+ ln x

; x > 0

x

2

1 !

1

(d)

< ln 1 +

< √

; x > 0.

2 x + 1

x

x 2 + x

4. Znaleźc ekstrema lokalne funkcji f ( x) : (a) f ( x) = x 2 ex (b) f ( x) = |x|( x − 1)2

√

(c) f ( x) = ( x − 1) 3 x 2

√

(d) f ( x) = x 2 5 − x (e) f ( x) = x 2 ln x 5. Znaleźc ekstrema globalne, kres górny i kres dolny funkcji f ( x) :

(a) f ( x) = x 3 − 3 x 2

;

x ∈< − 1 , 3 > (b) f ( x) = x 3 − 3 x 2

;

x ∈ ( − 1 , 3)

(c) f ( x) = x 3 − 3 x 2

;

x ∈ ( − 2 , 1 > x 2 − 1

(d) f ( x) =

;

x ∈ ( − 1 , 2 > x 2 + 1

√

√

(e) f ( x) = x 2 − x 2

;

x ∈ ( − 1 ,

2 >

2

(f) f ( x) = x 2 e−x 2

(g) f ( x) = x ln x (h) f ( x) = x ln x

;

x ∈< 1 , e 2 > e 2

6. Znaleźć przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia funkcji f ( x) : (a) f ( x) = x 4 + 4 x 3 − 12 x 2 − 4 x (b) f ( x) = cos2 x √

(c) f ( x) = arc sin

x

(d) f ( x) = 2 arc sin x − x 2

(e) f ( x) = x 2 ln x 7. Zbadać przebieg zmienności funkcji f ( x) : (a) f ( x) = e−x 2

(b) f ( x) = x 2 e−x 1

(c) f ( x) = 1 + x 2

x

(d) f ( x) = ln x 2

ex

(e) f ( x) = x

ln x

(f) f ( x) = x 2

1

(g) f ( x) = xex

(h) f ( x) = x − 2 arc tg x