SIMR Analiza 1, Monotoniczność funkcji, ekstrema lokalne i globalne funkcji, przebieg zmienności funkcji
1. Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji f ( x) (a) f ( x) = −x 3 + 2 x 2
(b) f ( x) = x 4 − 2 x 2
√
(c) f ( x) = x 8 − x 2
x 3
(d) f ( x) = x 2 + 1
ln x 2
(e) f ( x) =
x
(f) f ( x) = arc tg 2 x − ln(1 + 4 x 2) 2. Udowodnić równość:
1
π
(a) arc tg
+ arc tg x =
; x > 0
x
2
2 x
(b) 2 arc tg x + arc sin
= π
; x 1
1 + x 2
1 − x
π
(c) arc tg x + arc tg
=
;
x > − 1
1 + x
4
3. Udowodnić nierówność:
(a) 2 x arc tg x ln(1 + x 2) arc tg x
(b) ln(1 + x) >
; x > 0.
1 + x
√
1
(c) ln(1 +
1 + x 2) <
+ ln x
; x > 0
x
2
1 !
1
(d)
< ln 1 +
< √
; x > 0.
2 x + 1
x
x 2 + x
4. Znaleźc ekstrema lokalne funkcji f ( x) : (a) f ( x) = x 2 ex (b) f ( x) = |x|( x − 1)2
√
(c) f ( x) = ( x − 1) 3 x 2
√
(d) f ( x) = x 2 5 − x (e) f ( x) = x 2 ln x 5. Znaleźc ekstrema globalne, kres górny i kres dolny funkcji f ( x) :
;
x ∈< − 1 , 3 > (b) f ( x) = x 3 − 3 x 2
;
x ∈ ( − 1 , 3)
(c) f ( x) = x 3 − 3 x 2
;
x ∈ ( − 2 , 1 > x 2 − 1
(d) f ( x) =
;
x ∈ ( − 1 , 2 > x 2 + 1
√
√
(e) f ( x) = x 2 − x 2
;
x ∈ ( − 1 ,
2 >
2
(f) f ( x) = x 2 e−x 2
(g) f ( x) = x ln x (h) f ( x) = x ln x
;
x ∈< 1 , e 2 > e 2
6. Znaleźć przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia funkcji f ( x) : (a) f ( x) = x 4 + 4 x 3 − 12 x 2 − 4 x (b) f ( x) = cos2 x √
(c) f ( x) = arc sin
x
(d) f ( x) = 2 arc sin x − x 2
(e) f ( x) = x 2 ln x 7. Zbadać przebieg zmienności funkcji f ( x) : (a) f ( x) = e−x 2
(b) f ( x) = x 2 e−x 1
(c) f ( x) = 1 + x 2
x
(d) f ( x) = ln x 2
ex
(e) f ( x) = x
ln x
(f) f ( x) = x 2
1
(g) f ( x) = xex
(h) f ( x) = x − 2 arc tg x