SIMR Analiza 1, zadania: Ciągłość funkcji, zastosowanie ciągłości, obliczanie pochod-nej, funkcje cyklometryczne

1. Dla jakich wartości parametrów funkcja f : R → R jest ciągła:



x 3 + 2 x − 3







dla x > 1







x 2 + x − 2

















(a) f ( x) =

ax + b

dla 0 ¬ x ¬ 1



















ln(1 − x)









dla x < 0



x



x 2 + ax − 6







dla x > 2







x 2 − 4







(b) f ( x) =







b

dla x ¬ 2













√



x + a x







dla x > 0







x + sin x













(c) f ( x) =

bx + c

dla − 1 ¬ x ¬ 0

























x 2

dla x < − 1



x 2 − x + 2







a

dla x > 2









x 2 + x − 2















(d) f ( x) =

x

dla 0 ¬ x ¬ 2



















1 − cos 2 x







b

dla x < 0





4 x 2



1

















x 2

1 − x







a 



dla x > 1







2 x − 1













(e) f ( x) =



b

dla − 1 ¬ x ¬ 1























x 4 + x









dla x < − 1





x + 1

2. Pokazać, że poniższe równanie ma rozwiązanie: (a) x 5 + x + 1 = 0

(b) x 4 − 7 x 2 + x + 2 = 0

(c) e−x = 2 x + 1

(d) ln x = x − 2

3. Obliczyć pochodną funkcji f ( x) (a) f ( x) = x 4 − 3 x 2 + 5 x − 8

4

2

5

(b) f ( x) =

+

−

x

x 2

x 3

√

√

2

2

(c) f ( x) = 4 x + 2 x 3 + √ + √

x

x 5

(d) f ( x) = 3 ex + 2 ln x (e) f ( x) = 5 sin x + 2 cos x − tg x + 4 ctg x (f) f ( x) = 5 sinh x + 2 cosh x − tgh x + 4 ctgh x (g) f ( x) = 2 arc sin x − 4 arc tg x (h) f ( x) = ex sin x (i) f ( x) = x 2 sin x ln x x 2 + 4

(j) f ( x) = x 2 + 1

x 3

(k) f ( x) = ln x

ex

(l) f ( x) = x

√

(m) f ( x) =

1 + x 3

(n) f ( x) = ln( ex + 4)

√

(o) f ( x) = sin

x 2 + ex

(p) f ( x) = x 2 sin 4 x + xe cos x 1 − x

(q) f ( x) = x arc tg 1 + x 4. Oblicz

(a) cos(arc sin x)

√

(b) arc ctg

3

x

(c) sin arc cos √x 2 + 4

(d) tg arc sin x

(e) cosh ln x

(f) ln(cosh x + sinh x) + ln(cosh x − sinh x)