SIMR Analiza 1, zadania: Ciągłość funkcji, zastosowanie ciągłości, obliczanie pochod-nej, funkcje cyklometryczne
1. Dla jakich wartości parametrów funkcja f : R → R jest ciągła:
x 3 + 2 x − 3
dla x > 1
x 2 + x − 2
(a) f ( x) =
ax + b
dla 0 ¬ x ¬ 1
ln(1 − x)
dla x < 0
x
x 2 + ax − 6
dla x > 2
x 2 − 4
(b) f ( x) =
b
dla x ¬ 2
√
x + a x
dla x > 0
x + sin x
(c) f ( x) =
bx + c
dla − 1 ¬ x ¬ 0
x 2
dla x < − 1
x 2 − x + 2
a
dla x > 2
x 2 + x − 2
(d) f ( x) =
x
dla 0 ¬ x ¬ 2
1 − cos 2 x
b
dla x < 0
4 x 2
1
x 2
1 − x
a
dla x > 1
2 x − 1
(e) f ( x) =
b
dla − 1 ¬ x ¬ 1
x 4 + x
dla x < − 1
x + 1
2. Pokazać, że poniższe równanie ma rozwiązanie: (a) x 5 + x + 1 = 0
(c) e−x = 2 x + 1
(d) ln x = x − 2
3. Obliczyć pochodną funkcji f ( x) (a) f ( x) = x 4 − 3 x 2 + 5 x − 8
4
2
5
(b) f ( x) =
+
−
x
x 2
x 3
√
√
2
2
(c) f ( x) = 4 x + 2 x 3 + √ + √
x
x 5
(d) f ( x) = 3 ex + 2 ln x (e) f ( x) = 5 sin x + 2 cos x − tg x + 4 ctg x (f) f ( x) = 5 sinh x + 2 cosh x − tgh x + 4 ctgh x (g) f ( x) = 2 arc sin x − 4 arc tg x (h) f ( x) = ex sin x (i) f ( x) = x 2 sin x ln x x 2 + 4
(j) f ( x) = x 2 + 1
x 3
(k) f ( x) = ln x
ex
(l) f ( x) = x
√
(m) f ( x) =
1 + x 3
(n) f ( x) = ln( ex + 4)
√
(o) f ( x) = sin
x 2 + ex
(p) f ( x) = x 2 sin 4 x + xe cos x 1 − x
(q) f ( x) = x arc tg 1 + x 4. Oblicz
(a) cos(arc sin x)
√
(b) arc ctg
3
x
(c) sin arc cos √x 2 + 4
(d) tg arc sin x
(e) cosh ln x
(f) ln(cosh x + sinh x) + ln(cosh x − sinh x)