SIMR Analiza 1, zadania: reguła de L’Hospitala, wzór Taylora 1. Obliczyć granice:
1
1
(a) lim
−
x→ 1 x − 1
ln x
√
3 tg x − 1
(b) lim
x→ 0 2 sin2 x − 1
arc sin 2 x − 2 arc sin x (c) lim
x→ 0
x 3
1
√
s x!
(d) lim √
arc tg
x − 2 arc tg
x→ 0 x
x
4
(2 + x) x − 2 x (e) lim
x→ 0
x 2
1 + ex !ctgh x
(f) lim
x→ 0
2
1
arc sin x ! x 2
(g) lim
x→ 0
x
1
sin x ! x 2
(h) lim
x→ 0
x
(i) lim x sin x
x→ 0+
1
(j) lim xex
x→ 0+
1
(k) lim (cos 2 x) x sin x x→ 0
2. Znaleźć wielomiany Taylora stopnia n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 wokół x 0 = 0 dla funkcji f ( x) (a) f ( x) = ln(1 + x)
√
(b) f ( x) =
1 + x
(c) f ( x) = ex (d) f ( x) = cos x (e) f ( x) = arc tg x 1 + x 2
(f) f ( x) = 1 + x 3. Stosując wzór Taylora z wielomianem stopnia n = 3 znaleźć przybliżoną wartość poniższego wyrażenia i oszacować błąd przybliżenia:
√
(a)
3 , 99
(d) cos(0 , 03)
(e) 2 , 02 sin(0 , 02) 4. Korzystając ze wzoru Taylora z resztą w postaci Peano obliczyć granice: x 2
cos x − e 2
(a) lim
x→ 0
x 4
ex sin x − x( x + 1) (b) lim
x→ 0
x 3
√
√
(c) lim ( 6 x 6 + x 5 − 6 x 6 − x 5) x→∞
1 !!
(d) lim
x − x 2 ln 1 +
x→∞
x
1 − (cos x)sin x (e) lim
x→ 0
x 3