SIMR Analiza 1, zadania: reguła de L’Hospitala, wzór Taylora 1. Obliczyć granice:

1

1

(a) lim

−

x→ 1 x − 1

ln x

√

3 tg x − 1

(b) lim

x→ 0 2 sin2 x − 1

arc sin 2 x − 2 arc sin x (c) lim

x→ 0

x 3

1

√

s x!

(d) lim √

arc tg

x − 2 arc tg

x→ 0 x

x

4

(2 + x) x − 2 x (e) lim

x→ 0

x 2

1 + ex !ctgh x

(f) lim

x→ 0

2

1

arc sin x ! x 2

(g) lim

x→ 0

x

1

sin x ! x 2

(h) lim

x→ 0

x

(i) lim x sin x

x→ 0+

1

(j) lim xex

x→ 0+

1

(k) lim (cos 2 x) x sin x x→ 0

2. Znaleźć wielomiany Taylora stopnia n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 wokół x 0 = 0 dla funkcji f ( x) (a) f ( x) = ln(1 + x)

√

(b) f ( x) =

1 + x

(c) f ( x) = ex (d) f ( x) = cos x (e) f ( x) = arc tg x 1 + x 2

(f) f ( x) = 1 + x 3. Stosując wzór Taylora z wielomianem stopnia n = 3 znaleźć przybliżoną wartość poniższego wyrażenia i oszacować błąd przybliżenia:

√

(a)

3 , 99

(b) ln(1 , 01) (c) e 0 , 01

(d) cos(0 , 03)

(e) 2 , 02 sin(0 , 02) 4. Korzystając ze wzoru Taylora z resztą w postaci Peano obliczyć granice: x 2

cos x − e 2

(a) lim

x→ 0

x 4

ex sin x − x( x + 1) (b) lim

x→ 0

x 3

√

√

(c) lim ( 6 x 6 + x 5 − 6 x 6 − x 5) x→∞

1 !!

(d) lim

x − x 2 ln 1 +

x→∞

x

1 − (cos x)sin x (e) lim

x→ 0

x 3