SIMR Analiza 1, zadania: Elementy topologii, Granice funkcji 1. Pokazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, An ⊂ R :

(a) int A ∩ B = int A ∩ int B

(b) int A ∪ int B ⊂ int A ∪ B , podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi równość

(c) A ∪ B = A ∪ B

(d) A ∩ B ⊂ A ∩ B , podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi równość

∞

(e) Jeżeli A

S

n są otwarte to

An też jest otwarty

n=1

∞

(f) Jeżeli A

T

n są domknięte to

An też jest domknięty n=1

∞

(g) Podać przykład zbiorów otwartych A T

n , takich, że

An nie jest otwarty

n=1

2. Obliczyć granicę funkcji:

x 3 − x − 6

(a) lim

x→ 2 x 4 − 3 x 2 − 2 x

√

q

√

x+

x+ x

(b)

lim

√

x→+ ∞

x+1

x sin x

(c) lim

x→ 0 sin2 x

sin2 x

(d) lim

x→ 0 cos x − 1

sin( x 2 + x 3) (e) lim

x→ 0 tg(2 x 2 + 3 x 3) x sin( 1 )

(f) lim

x

x→∞

cos 1 x

sin 2 x + cos x

(g) lim

x→ π

x − π

2

2

sin2 x

(h) lim

x→π 1 + cos 5 x

(i) lim(1 − x) tg πx x→ 1

2