Konstrukcje zbiorów liczbowych (1) Zbiór liczb caªkowitych

Okre±lamy relacj¦:

∀

((a, b), (c, d)) ∈ R

⇔ a − b = c − d.

(a,b),(c,d)∈N×N

R ⊂ (N×N)×(N×N) (uwaga X = N×N) jest relacj¡ równowa»no±ci. Ka»d¡ klas¦ abstrakcji tej relacji uto»samiamy z odpowiedni¡ liczb¡ caªkowit¡. Zatem Z = N × N|R.

Okre±lamy dziaªania na klasach abstrakcji w nast¦puj¡cy sposób:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)],

[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)].

(2) Zbiór liczb wymiernych

Okre±lamy relacj¦:

∀

((a, b), (c, d)) ∈ R

⇔ ad = bc.

(a,b),(c,d)∈Z×N

R ⊂ (Z×N)×(Z×N) (uwaga X = Z×N) jest relacj¡ równowa»no±ci. Ka»d¡ klas¦ abstrakcji tej relacji uto»samiamy z odpowiedni¡ liczb¡ wymiern¡. Zatem Q = Z × N|R.

Okre±lamy dziaªania na klasach abstrakcji w nast¦puj¡cy sposób:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)],

[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac, bd)]

(3) Zbiór liczb rzeczywistych

Denicja. Ci¡g (an)n∈ ⊂

N

Q nazywamy ci¡giem Cauchy'ego (ci¡giem podstawowym), gdy

∀

∃

∀

| am − an |< ε.

ε>0 n0∈N m,n∈N,m,n>n0

Rodzin¦ wszystkich ci¡gów Cauchy'ego oznaczamy przez C(Q).

Okre±lamy relacj¦:

∀

((an), (bn)) ∈ R ⇔

∀

∃

∀

| an − bn |< ε.

(an),(bn)∈C(Q)

ε>0 n0∈N n∈N,n>n0

R ⊂ C(Q)×C(Q) jest relacj¡ równowa»no±ci. Ka»d¡ klas¦ abstrakcji tej relacji uto»samiamy z odpowiedni¡ liczb¡ rzeczywist¡. Zatem R = C(Q)|R.

Okre±lamy dziaªania na klasach abstrakcji w nast¦puj¡cy sposób:

[(an)] + [(bn)] = [(an + bn)],

[(an)] · [(bn)] = [(an · bn)].