Konstrukcje zbiorów liczbowych (1) Zbiór liczb caªkowitych
Okre±lamy relacj¦:
∀
((a, b), (c, d)) ∈ R
⇔ a − b = c − d.
(a,b),(c,d)∈N×N
R ⊂ (N×N)×(N×N) (uwaga X = N×N) jest relacj¡ równowa»no±ci. Ka»d¡ klas¦ abstrakcji tej relacji uto»samiamy z odpowiedni¡ liczb¡ caªkowit¡. Zatem Z = N × N|R.
Okre±lamy dziaªania na klasach abstrakcji w nast¦puj¡cy sposób:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)],
[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)].
(2) Zbiór liczb wymiernych
Okre±lamy relacj¦:
∀
((a, b), (c, d)) ∈ R
⇔ ad = bc.
(a,b),(c,d)∈Z×N
R ⊂ (Z×N)×(Z×N) (uwaga X = Z×N) jest relacj¡ równowa»no±ci. Ka»d¡ klas¦ abstrakcji tej relacji uto»samiamy z odpowiedni¡ liczb¡ wymiern¡. Zatem Q = Z × N|R.
Okre±lamy dziaªania na klasach abstrakcji w nast¦puj¡cy sposób:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)],
[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac, bd)]
(3) Zbiór liczb rzeczywistych
Denicja. Ci¡g (an)n∈ ⊂
N
Q nazywamy ci¡giem Cauchy'ego (ci¡giem podstawowym), gdy
∀
∃
∀
| am − an |< ε.
ε>0 n0∈N m,n∈N,m,n>n0
Rodzin¦ wszystkich ci¡gów Cauchy'ego oznaczamy przez C(Q).
Okre±lamy relacj¦:
∀
((an), (bn)) ∈ R ⇔
∀
∃
∀
| an − bn |< ε.
(an),(bn)∈C(Q)
ε>0 n0∈N n∈N,n>n0
R ⊂ C(Q)×C(Q) jest relacj¡ równowa»no±ci. Ka»d¡ klas¦ abstrakcji tej relacji uto»samiamy z odpowiedni¡ liczb¡ rzeczywist¡. Zatem R = C(Q)|R.
Okre±lamy dziaªania na klasach abstrakcji w nast¦puj¡cy sposób:
[(an)] + [(bn)] = [(an + bn)],
[(an)] · [(bn)] = [(an · bn)].