Wioleta Kębłowska

Spis treści

1.Ogólnie o Zbiorach

2.Zbiory Liczbowe

2.1 Zbiór liczb naturalnych

2.2 Zbiór liczb całkowitych

2.3 Zbiór liczb wymiernych

2.4 Zbiór liczb niewymiernych

2.5 Zbiór liczb rzeczywistych

3.Działania i własności działań

4.Przedziały liczbowe

4.1 Przedziały ograniczone

4.2 Przedziały nieograniczone

5.Kolejność wykonywania działań

6.Wykonalność działań

7.Cechy podzielności liczb

8.Ciekawe przypadki zwykłych liczb

9. Ciekawe liczby

9.1 Palidrom

9.2 Liczba doskonała

9.3 Liczby bliźniacze

9.4 Liczby Fibonacciego

10.Literatura

1.Ogólnie o zbiorach

Zbiór –ogół dowolnych, wzajemnie różnych obiektów ,które mają określoną własność V .Zbiór jest określony, jeżeli o każdym obiekcie-elemencie zbioru-można rozstrzygnąć ,czy ma on własność V, czy nie ,tj. czy do rozpatrywanego zbioru należy ,czy nie.

Do oznaczenia zbiorów używamy zwykle dużych liter alfabetu łacińskiego : A ,B ,C ...

Elementy oznaczamy małymi literami: a ,b , c …

Zbiór można określić w dwojaki sposób

a)Wymieniając wszystkie jego elementy. Dotyczy to tylko zbiorów ze skończoną ilością elementów.

A= { 1 ; 2; 3;4;5;6}; B={ a ; b; c; d ; e}; L={świerk , dąb, buk}

b)Podając charakterystyczną własność V , którą mają tylko elementy tego zbioru. Sprawdzanie własności V prowadzimy w przestrzeni U ,która zawiera wszystkie obiekty rozważane w danej sytuacji.

A={ x ∈ U , V(v)} A={ x ∈ N ; x<6 }

Zbiór i należenie do zbioru są pojęciami pierwotnym ,których nie definiuje się .

Zdanie : element a należy do zbioru A zapisujemy : a ∈ A ,

natomiast :Element a nie należy do zbioru A zapisujemy : a ∈ A.

Graficznie przedstawiamy zbiory za pomocą tzw. diagramów ;

najbardziej znane są diagramy Vienna.

Istnieje dokładnie jeden zbiór ,który nie zawiera żadnych elementów ,nazywamy go zbiorem pustym i oznaczamy ⌀ .

Liczby całkowite

Liczby całkowite- Wraz z liczbami naturalnymi (oraz zerem)tworzą zbiór liczby całkowitych rozciągający się od minus do plus nieskończoności. Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera.

Liczbami całkowitymi nazywamy więc wszystkie liczby naturalne, zero oraz wszystkie liczby przeciwne do naturalnych.

Próżno szukać wśród liczb naturalnych takiej ,która jest wynikiem odejmowania liczby większej od mniejszej ,np. 3-5. Można oczywiście uznać, że takie działanie nie ma sensu. Taka była postawa uczonych w starożytnej Grecji. Jeszcze wielki Pascal uważał : „ liczba mniejsza od 0 nie może istnieć”. Dziś liczby ujemne już nie gorszą. Są na skali termometrów i w bilansach księgowych.

2.2 Zbiór liczb całkowitych

Zbiór wszystkich liczb całkowitych liczb całkowitych oznaczamy literą Z Lub C

Z={ …, -5 ,-4 ,-3,-2, -1 , 0 , 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,...}

Zbiór liczb całkowitych jest najmniejszym podzbiorem zbioru wszystkich liczb rzeczywistych spełniających następujące warunki :

1. 0 ∈ Z

2. Jeśli c ∈ Z , to c+1 ∈ Z i c-1 ∈ Z

Liczby wymierne

Liczby wymierne- to liczby rzeczywiste, które można przedstawić w postaci ułamka ,którego licznik i mianownik jest liczbą całkowitą , przy czym n ≠ 0. Każda liczba mająca rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe jest liczbą wymierną.

Jak większość pojęć arytmetycznych, liczby wymierne zostały zdefiniowane dopiero na przełomie XIX i XX wieku. Jedna z definicji( H. G. Grassmanna)opiera się na pojęciu liczb całkowitych ,inna( D. Hilberta )-na pojęciu liczb rzeczywistych.

Rozwinięcie dziesiętne skończone bądź rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe, wyznaczamy ,dzieląc licznik przez mianownik tej liczby wymiernej.

Przykłady :

Liczba $\frac{5}{8}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone równe 0,625. Liczba $\frac{1}{7}$ ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe : 0,142857142857…

2.3 Zbiór liczb wymiernych

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą Q lub W. Każda liczba całkowita i każda liczba naturalna jest liczbą wymierną. W odróżnieniu od liczby całkowitej, liczba wymierna nie jest w zasadzie wielokrotnością jednostek.

W = { $\frac{p}{q}$ : p , q  ∈ Z , n ≠ 0}

Liczby niewymierne

Liczby niewymierne – to liczby rzeczywiste ,które nie są liczbami wymiernymi. Liczbę niewymierną nie można przedstawić w postaci ułamka, a rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Przykłady liczb niewymiernych: π ,$\sqrt{2}$ ,$\ \sqrt{3}$ …

Liczby niewymierne otrzymywane są np. przy pierwiastkowaniu i logarytmowaniu niektórych liczb.

2.4 Zbiór liczb niewymiernych

Zbiór liczb niewymiernych –Są to wszystkie liczby rzeczywiste ,które można zapisać w postaci ułamka zwykłego - gdzie licznik i mianownik jest liczbą całkowitą. Zbiór liczb wymiernych można oznaczyć przez NW lub R \ Q jako ,że zbiór ten można otrzymać przez odjęcie od zbioru liczb rzeczywistych wszystkich liczb wymiernych.

Liczby rzeczywiste

Liczby rzeczywiste- To suma wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt na osi liczbowej. Każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista.

Pojęcie liczb rzeczywistych możliwe jest dzięki osi ukierunkowanej. Zrozumienie ciągłości liczb rzeczywistych, może ułatwić fakt, że wypełniają one całkowicie oś, nie pozostawiając żadnej "dziury". Znak + lub - ma za zadanie wskazać kierunek na osi, liczba bez znaku określa zaś długość.

2.5 Zbiór liczb rzeczywistych

Zbiór wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych nazywa się zbiorem liczb rzeczywistych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem R.

Oznaczenia:

R- liczby rzeczywiste C- liczby całkowite

NW- liczby niewymierne N- liczby naturalne

W- liczby wymierne

3.Działania i własności działań

DODAWANIE
SUMA

ODEJMOWANIE
RÓŻNICA

MNOŻENIE
ILOCZYN

DZIELENIE
ILORAZ

W zbiorze liczb rzeczywistych zachodzą następujące prawa działań :

Przemienność -oznacza, że możemy dowolnie zmieniać kolejność liczb występujących w działaniu.

Przemienność działań stosujemy zawsze, gdy zmiana kolejności ułatwia obliczenia, np.

• zamiast dodawać liczby tak: 11+12+13+14+15+16+17+18+19, dodajemy tak: 11+19+12+18+13+17+14+16+15, bo łatwo obliczyć, że to 30+30+30+30+15, czyli 135,

• zamiast mnożyć liczby tak: 2·7·5·3, mnożymy tak: 2·5·7·3, bo łatwo obliczyć, że to 10·21, czyli 210.

Przemienność

Dodawania mnożenia

(a +b ) +c = a+(b + c) (a • b)• c = a• (b •c )

Nieprzemienność- Oznacza, że nie możemy zamieniać kolejności liczb w działaniu, np.

• odejmowanie jest nieprzemienne, bo nie zawsze a - b = b - a,

• dzielenie jest nieprzemienne, bo nie zawsze a : b = b : a,

• potęgowanie jest nieprzemienne, bo nie zawsze a^b = b^a,

Łączność- Oznacza, że przy działaniach na większej ilości liczb możemy dowolnie łączyć je nawiasami i obliczać wyniki cząstkowe.

Łączność

dodawania mnożenia

(a + b) +c = a +( b+ c) (a • b ) •c = a • ( b • c )

Rozdzielność mnożenia

względem dodawania Względem odejmowania

a •( b + c ) = a • b + a • c a • (b - c) = a • b – a • c

Ta rozdzielność zachodzi też z lewej strony (bo mnożenie jest przemienne),
(b+c)·a = b·a + c·a

( b - c )•a = b • a – c •a

Rozdzielność dzielenia

Względem dodawania względem odejmowania

(a + b ) : c = a : c + b : c (a – b) : c = a : c – b : c

c ≠ 0 c ≠ 0

4.Przedziały liczbowe

W zbiorze liczb rzeczywistych możemy wyróżnić podzbiory, które nazywamy przedziałami liczbowymi.

Przedziały liczbowe dzielimy na przedziały ograniczone i nieograniczone (nieskończone). Przedziały ograniczone są odcinkami na osi liczbowej natomiast przedziały nieograniczone to półproste lub cała oś liczbowa.

4.1 Przedziały ograniczone:

Zbiór otwarty –To zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek

a < x <b 

Przedział obustronnie domknięty – To zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek

a  ≤   x  ≤   b

Przedział lewostronnie domknięty, prawostronnie otwarty -To zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a  ≤   x < b

Przedział lewostronnie otwarty , prawostronnie domknięty- To zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a< x ≤  b

4.2Przedziały nieograniczone

Przedział lewostronnie nieograniczony , prawostronnie domknięty ( −∞ ,    a ⟩ – To zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek x ≤ a

Przedział lewostronnie domknięty, prawostronnie nieograniczony ⟨ a  , ∞  ) - To zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek x >  a

Przedział lewostronnie otwarty i prawostronnie nieograniczony- To zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek x >  a

Przedział prawostronnie otwarty i lewostronnie nieograniczony ( −∞ ,    a ⟩ - To zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek x < a

5.Kolejność wykonywania działań

Obliczając wartość wyrażeń arytmetycznych , należy przestrzegać reguł właściwej kolejności wykonywania działań.

 

Kolejność wykonywania działań:

- działania w nawiasach

- potęgowanie i pierwiastkowanie

- mnożenie i dzielenie

- dodawanie i odejmowanie

Bezwzględne pierwszeństwo mają działania w nawiasach. Rolę nawiasu może czasem pełnić długa kreska ułamkowa lub długi symbol pierwiastka, np.

$\frac{2 + 3}{11 + 4}$ = $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{\ 3}$

Gdy nie ma nawiasów

• mnożenie i dzielenie wykonujemy  przed dodawaniem i odejmowaniem, np.
  2+3 • 2 = 2+(3•2) = 8,

• dodawanie i odejmowanie wykonujemy od lewej do prawej, np.
  7-3-2+1 = 3

 mnożenie i dzielenie wykonujemy od lewej do prawej,
3• 2 : 3 •2 = 4,

 potęgowanie i pierwiastkowanie wykonujemy przed mnożeniem i dzieleniem, np.
w wyrażeniu 100 :   5² najpierw należy obliczyć    5² =25 ,a następnie 100 : 25 = 4

W wyrażeniu 3 • $\sqrt{16}$ najpierw należy obliczyć $\sqrt{16}$ =4 ,a następnie 3 • 4 =12

 Jeżeli w wyrażeniu arytmetycznym występuje wyłącznie dodawanie i odejmowanie ,

to działanie te wykonujemy zgodnie z kolejnością zapisu. Przykład :

2 - $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = 1 $\frac{2}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = 1$\ \frac{4}{3}$ = 2 $\frac{1}{3}$

6.Wykonalność działań

Dodawanie i mnożenie 

Dodawanie i mnożenie są wykonalne zawsze, dla dowolnych liczb rzeczywistych. Oznacza to, że dowolne dwie liczby można dodać lub pomnożyć i wynik będzie zawsze jednoznacznie określony.

Odejmowanie

• Odejmowanie nie jest wykonalne w zbiorze liczb naturalnych, bo nie każde dwie liczby naturalne można odjąć tak, by otrzymać naturalny wynik, np. nie da się wykonać w liczbach naturalnych odejmowania 2-7,

• Odejmowanie jest zawsze wykonalne w zbiorze liczb całkowitych, wymiernych lub rzeczywistych. Oznacza to, że możemy odjąć dowolne dwie liczby np. całkowite lub wymierne, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie również odpowiednio liczbą całkowitą lub wymierną. 

Dzielenie

• Dzielenie nie jest wykonalne w zbiorze liczb naturalnych lub całkowitych, bo nie każde dwie liczby naturalne lub całkowite można odjąć tak, by otrzymać naturalny lub całkowity wynik,

Dzielenie przez liczby różne od zera jest wykonalne w zbiorze liczb wymiernych lub rzeczywistych. Oznacza to, że możemy podzielić dowolne dwie liczby np. wymierne lub rzeczywiste, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie również odpowiednio liczbą wymierną lub rzeczywistą

Dzielenie liczby zero przez liczbę różną od zera jest wykonalne, a wynikiem tego działania jest zawsze zero, np. 0:3 = 0, bo 0:3 = 0. 

Potęgowanie

Potęgowanie jest wykonalne w zbiorze liczb naturalnych. Oznacza to, że dowolną liczbę naturalną można podnieść dowolnej naturalnej potęgi, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie liczbą naturalną.

Podnoszenie do potęgi całkowitej jest wykonalne w liczbach wymiernych. Oznacza to, że dowolną liczbę wymierną można podnieść dowolnej całkowitej potęgi, a wynik będzie zawsze jednoznacznie określony i będzie liczbą wymierną.

7.Cechy podzielności liczb

Liczby pierwsze- to takie liczby naturalne, które mają tylko dwa dzielniki: 1 i samą siebie.

Liczby złożone-to takie liczby naturalne, które mają więcej niż dwa dzielniki.

Cechy podzielności :

Przez 2 :

Przez 3:

Przez 4:

Przez 5:

Przez 6:

Przez 7:

Przez 8:

Przez 9:

Przez 10:

8.Ciekawe przypadki zwykłych liczb

Liczby mają niezwykłe zwyczaje: w niektórych działaniach pojawia się tajemnicza regularność.

3 x 37 = 111, a  1 + 1 + 1 = 3

6 x 37 = 222, a  2 + 2 + 2 = 6

9 x 37 = 333, a 3 + 3 + 3 = 9

12 x 37 = 444, a 4 + 4 + 4 = 12

15 x 37 = 555, a 5 + 5 + 5 = 15

18 x 37 = 666, a 6 + 6 + 6 = 18

21 x 37 = 777, a 7 + 7 + 7 = 21

24 x 37 = 888, a 8 + 8 + 8 = 24
27 x 37 = 999, a 9 + 9 + 9 = 27

Aby szybko sprawdzić poprawność działania kalkulatora możemy mu zrobić test na następujące mnożenia:
12345679 x 9 = 111111111
12345679 x 18 =222222222
12345679 x 27 =333333333
12345679 x 36 =444444444
12345679 x 45 =555555555
12345679 x 54 =666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 =888888888
12345679 x 81 =999999999
Co dostajemy?
Są wszystkie iloczyny z tych samych cyfr w każdym rządku? Jeśli tak, to w porządku.
Co zauważamy?
Mnożniki sumują się do dziewięciu, a w mnożnej brakuje ósemki.
Ósemka wkurzyła się, że jest pomijana i zemściła się na jedynce. Zemsta polega na tym, że jak
12345679 pomnoży się przez 8 to mamy schody bez jedynki, czyli 98765432

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=12345678987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10 = 1111111111

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1² = 1

11² = 121

111² = 12321

1111² = 1234321

11111² = 123454321

111111² = 12345654321

1111111² = 1234567654321

11111111² = 123456787654321

111111111² = 12345678987654321

1111111111² = 12345678900987654321

9.Ciekawe liczby

9.1 Palidrom – To liczba naturalna , którą czyta się tak samo od początku i od końca. Przykłady liczb palindromicznych to : 22, 55  ,414 474 , 50805 , 1235321.

9.2 Liczba doskonała -To liczba naturalna ,która jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych (czyli mniejszych od wartości danej liczby).

Przykład : 6 , bo D6 ={ 1 ,2 ,3 } ; 1+2+3=6

28 ,bo D28= { 1 ,2 ,4 ,7 ,14 } ; 1+2+4+ 7 +14 =28

Pierwsze liczby doskonałe 6 i 28 znane były w starożytności .Kolejne 2: 496 i 8128 znalazł Euklides.

Dziś znamy zaledwie kilkadziesiąt liczb doskonałych. Nie wiemy czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe. Jeśli tak to są to okazy niezwykle rzadkie i wielkie.

9.3 Liczby bliźniacze – To dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Do chwili obecnej nie wiadomo czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Bliźniaki rekordzistki mają po 11 713 cyfr.

Przykłady 3 i 5 ; 5 i 7 ; 11 i 13 ;17 i 19

9.4 Liczby Fibionacciego

Liczby Fibonacciego - Liczby naturalne tworzące ciąg liczb o takiej własności, że każda kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich.

1,1,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377.. Bo 1+1 =2 1+2=3 3+3=5 5+8=13 itd.

 Te zależności fascynowały także także autora „Kodu Leonarda da Vinci" , Dan’a Browna, który opisał liczbę fi w wyjątkowo ciekawy sposób.

Zaś Leonardo da Vinci na podstawie nielegalnych ekshumacji zwłok i mierzenia kości wykazał, że ludzkie ciało jest dosłownie zbudowane z elementów, których proporcje wymiarów zawsze równają się fi:

-odległość od czubka głowy do podłogi podzielona przez odległość od pępka do podłogi,
- odległość między ramieniem a czubkiem palców podzielona przez odległość między łokciem a czubkiem palców,
- odległość biodra od podłogi podzielona przez odległość od kolana do podłogi,
- również stawy dłoni, palce u nóg, odległość między kręgami.

Niesamowite, prawda? Sceptycy mogą sprawdzić ;), wynik z powodu niedokładnych wymiarów będzie bardzo zbliżony do 1,618.

Nie obeszły się bez fi dzieła Michała Anioła, oraz wspomnianego wyżej Leonarda da Vinci, który to korzystając z niej stworzył "Człowieka witruwiańskiego", nazwanego tak na cześć Marka Witruwiusza - genialnego rzymskiego architekta, sławiącego boską proporcję w dziele "O architekturze".

Liczbę fi, nazywaną również złotą proporcją, znali i cenili architekci, malarze i rzeźbiarze, nawet muzycy. Pojawia się w wymiarach architektury rzymskiego Panteonu, egipskich piramid, a nawet budynku ONZ w Nowym Jorku. Jest obecna w strukturach sonet mozartowskich oraz Piątej Symfonii Beethovena.

Symbolem złotej proporcji jest pentagram, zwany przez starożytnych "pentaculus" - stosunki części linii w nim zawarte równe są fi. Dlatego pięcioramienna gwiazda zawsze kojarzona była z pięknem i doskonałością, dopiero później niesłusznie zaczęto ją uważać za symbol zła i szatana.

Pentagram uznawany był za symbol prawdy. Interesowali się nim m.in. Pitagorejczycy. Uznali go za symbol doskonałości, gdyż odnaleźli w nim złote proporcje, a w czasach gdy musieli się ukrywać używali go jako znaku rozpoznawczego.

10.Literatura

http://matma.prv.pl//cechy.php

www.math.edu.pl

http://www.miasto.zgierz.pl/gim1/uczen/witrynka/matma/liczby.html#zbiory

http://www.matematyka.wroc.pl/book/własności-działań

http://nelsonek.blox.pl/2007/07/Ciekawe-przypadki-zwyklych-liczb.html

http://tfiocredittsuisse.blox.pl/2008/03/Liczby-Fibonacciego-i-gielda.html

www.arim.scholaris.pl/pliki_prezentacje/przedzialy/przedzialy.pps

Adam Tusiński – Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory (prezentacja w PowerPoint)

Francisek Latka – mini leksykon Matematyka

Podręcznik dla klasy I LO – wyd. Krok po kroku

Matura egzamin wstępny Matematyka –wyd. Podsiedlik - Raniowski i Spółka