Praca mechaniczna w ruchu obrotowym

F

wektory wielkości kątowych

dΘ

β

mają kierunek osiowy i zwrot

oś

Ÿ

dΘ

dr

α

przed płaszczyznę rysunku

obrotu

r

Ÿ

τ

r

r

praca wykonana przez siłę F przy nieskończenie małym przemieszczeniu liniowym dr –

z definicji:

r

dW =

r

F ⋅ r

d = F dr cos β

r

r

dθ → 0 → dr ⊥ r

→ α + β = 90°

stąd

dW = F dr cos 90

(

° − α) = F dr sin α

(1)

z definicji kąta w mierze łukowej: dr

dθ =

→ dr = r dθ

r

podstawiamy do (1)

dW = F r dθ sin α

(2)

moment siły – z definicji:

r

r

r

τ = r × F

wartość momentu siły:

τ = r F sin α

zapisujemy równanie (2) ze zmianą kolejności czynników po prawej stronie dW = r F sin α θ

d = τ θ

d

= τ r

r

r

r

r

wektory τ r i dθ są równoległe (<) ( τ , θ

d ) = 0) → τ θ

d = τ ⋅ θ

d

(tzn. iloczyn wartości można zastąpić iloczynem skalarnym wektorów); ostatecznie:

r

r

dW = τ ⋅ dθ

tzn. jest to praca wykonana przez moment siły τ r przy nieskończenie małym przemieszczeniu r

kątowym dθ ;

dla dowolnego przemieszczenia kątowego od punktu A do punktu B

B

r

r

W

τ θ

A→ B = ∫

⋅ d

A