KINEMATYKA I DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA z
Pojazd kosmiczny
v
B
B
z’
v
Pan X
vimp
Impuls swiatla
x
A
y
Pan Prim
Ziemia
x’
y’
pan X widziany przez pana Prima Transformacja Galileusza i Lorentza x'= x + vt, y' = y, z' = z, t' = t Transformacja Galileusza
+ v
t
(
) x
2
x + vt
x' =
,
y' = y,
z' = z, t'=
c
,
1
2
− β
1
2
− β
Transformacja Lorentza czasoprzestrzeni β = v < 1
c
v
t'−(
) x'
x'
2
−
x =
vt , y = ' y, z = z', t =
c
,
1
2
− β
1
2
− β
Konsekwencje transformacji czasoprzestrzeni: Kontrakcja dlugosci (skrócenie Lorentza)
'
'
'
x + vt
x + vt
l
2
1
0
l = x − x , l = x − x =
−
=
0
2
1
0
2
1
2
2
2
1 − β
1 − β
1 − β
'
2
l = l
1 − β
0
0
y’
y
l ’
0 – dlugosc poruszajacego sie preta, l0 – dlugosc preta w spoczynku v
Pan X
x1
x
2
x
x’
x1’
x2’
1
'
'
∆ t = t − t , ∆ t'= t − t 2
1
2
1
t + v
v
(
) x
t + (
) x
2
2
1
2
t
c
c
− t
∆ t
2
1
∆ t'=
−
=
=
2
2
2
2
1 − β
1− β
1− β
1 − β
'
2
∆ t = ∆ t 1− β
Jednoczesnosc zdarzen
t + v
v
(
) x
t + (
) x
1
2
1
2
2
2
c
'
∆ t' =
i
t =
c
1
2
2
2
1 − β
1 − β
t + v
v
v
(
) x
t + (
) x
t − t +
( x − x )
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
t' − t' =
c
−
c
=
c
= 0
czyli
2
1
1
2
− β
1
2
− β
1
2
− β
v
v
v
( x − x ) = 0
> 0 oraz x ≠ x czyli
( x − x ) ≠ 0
2
2
1
2
1
2
2
1
2
c
c
c
czyli t1=t2, ale t1’ ≠ t2’
Dodawanie predkosci wedlug Einsteina
+ v
dt
(
) dx
2
dx + vdt
dx'=
,
dy' =
,
dy
dz' =
,
dz
dt '=
c
,
1
2
− β
1
2
− β
y‘
y
dx
+
'
v
dx
dx + vdt
dt
=
=
,
'
dt
v
v
dx
dt + (
) dx
1 + (
)(
)
2
2
c
c
dt
v
ux
'
dx
dx
x
'
u =
i
u =
x
x
'
dt
dt
x’
Wzór Einsteina na
Dla ux = c
u + v
dodawanie predkosci
'
c + v
c + v
'
u
x
=
u
=
=
= c
x
vu
x
vc
c + v
1
x
+
1 +
2
c
c 2
c
Ped relatywistyczny
Czas wlasny:
τ
2
2
t =
⇒ τ
v
= t 1− ⇒
dτ
v
= dt 1−
2
c
c
v
1 −
c
dx
dy
dz
p = m
,
p = m
p = m
x
0
y
0
z
0
dτ
dτ
dτ
2
dx dt
dx
1
=
⋅
=
=
vx
2
2
dτ
dt dτ
dt
Ogólnie ped
v
v
1 −
1 −
c
c
r
v
m v
zatem
0
p =
2
v
m v
m v
−
0
1
p x =
x
,
0
py =
y
,....
c
2
2
v
v
1−
1−
c
c
Masa relatywistyczna
m 0
m( )
v =
gdzie m0 – masa spoczynkowa
2
v
1 −
c
dla v? c ped ? 8 ,
m
p
m(v)
0
R
m =
dla v<<c, v/c? 0 i p
2
R = pNR
v
1 −
c
mc
p
m
NR
0
1,0 v/c
1,0 v/c
Druga zasada dynamiki w postaci relatywistycznej r
r
r
dp
r
m v
0
F =
p =
2
dt
v
1 −
c
r
2
r
r
dv
v
r
1
2 v
v
d
m
1 − − m v
−
⋅
0
0
2
2
dt
c
v
c
dt
2 1
r
−
r
d
m v
c
0
F =
=
=
2
2
dt
v
v
1 −
1
c
−
c
2
2
2
2
v
v
v
v
r
r
r
r
1 − +
r
m a
m a
c
m a
c
m a
c
c
m a
0
0
0
0
0
=
+
⋅
=
1 +
=
=
2
2
3
2
2
2
2
2
v
v
v
2
v
v
v
v
1 −
1 −
1
−
1
−
−
1
1
1 −
−
v
1
c
c
c
c
c
c
c
−
c
Dla v<<c ? v/c ? 0
F = ma
3
r
r
dp
d
r
r
F =
=
( mv)
dv
dm
= m
+ v
dt
dt
dt
dt
m
m = m(t),
m = m(v)
i
0
m =
2
v
1 −
c
r
r
r
r
r ds
r
ds
r r
r
r
r
r
F ⋅ ds = mdv
+ vdm
= m ⋅ dv ⋅ v + v ⋅ dm ⋅ v = mv ⋅ dv + v 2 ⋅ dm dt
dt
r
− 2 v r
dv
2
m
c
1
0
dm = d
= − m
0
⋅
=
2
2
2
v
v
v
1 −
2 1 −
c
c
1−
c
r
r
r
r
v ⋅ v
d
m
v
v
d
0
⋅
= m
0
=
⋅
=
3
2
v
v
2
2
v
2
2
1 −
c
1 −
c 1−
c
c
c
r
r
r
r
v ⋅ v
d
v ⋅ v
d
= m
= m
2
2
2
2
c − v
c − v
2
c
2
c
r
mv ⋅ r v
d = ( c 2 − v 2 ) dm r r
2
2
2
2
Fds = ( c − v ) dm + v dm = c dm = d(
2
mc )
dE p
dU
F = −
E
=
p = U,
F
−
ds
ds
= − dU
Fds
ds = d (
2
mc )
ds
− dU = d( 2
mc )
i
d (
2
mc ) + dU = 0
E = mc 2 + U = const v≠0
2
4
m c 2
m c 2
1
1 v
3 v
0
0
R
E =
+ U = const gdzie
= E
= 1+
+
+ ....
2
4
2
2
2
2 c
8 c
v
v
v
1 −
1 −
1 −
c
c
c
2
1
2
3
v 4
E = m c
0
+ m v
0
+ m 0
+ ..+ U = const
2
8
c 2
1
2
2
gdy v<<c E = m c 0
+ m v
0
+ U
2
2
E = mc2
gdy v?0 oraz U=0
E = m c
gdy
v=0
0
+ U
4
E
2
m c
0
ER =
2
v
1 −
c
ER – opisuje relatywistyczna postac energii calkowitej bez pola sil potencjalnych (U=0).
m
0c2
Ek= ½mv2
½ m0c2
1,0
v/c
Energia i ped czastki relatywistycznej 2
m c
0
E =
2
v
1 −
c
2
2
4
2
2
m c
v
v
v
2
0
2
2
4
2
2
2 4
2
2
4
2
E =
⇒ 1
−
E = m c ⇒ E − E
= m c ⇒ E = m c + E
2
0
2
0
0
2
v
c
c
c
1
− 2
c
2
2 4
2
2
2
v
m c
v
m v
2
2 4
2 2
2
0
0
2
2 2
E = m c + p c bo
E
=
⋅
=
⋅ c = p c
0
2
2
2
2
c
v
c
v
1 −
1 −
2
2
c
c
E
m0c2
(energia
(energia
calkowita)
spoczynkowa)
pc (energia kinetyczna)
5