Podstawy Elektrotechniki

MSN0750W

ESN0750W

Równanie Poissona i Laplace’a z

równania

1

divE =

qv

ε0

oraz

E = − gradV

wynika

q

2

v

∇ V = V

∆ = −

Równanie Poissona

ε0

Równanie Poissona i Laplace’a W obszarach w których nie ma ładunków ( q =0) równanie Poissona v

przechodzi w równanie Laplace’a.

2

V

∆ = ∇ V = 0

Ładunek w dowolnej objętości można wyrazić za pomocą potencjału.

Układy dipolowe

Moment elektryczny ładunku punktowego Q

Q

Względem dowolnego punktu M

nazywamy

r

p = Qr

M

p = ∑ pi

i

Moment ładunków zrównoważonych nie zależy od punktu odniesienia M

Dipol elektryczny

p = Qh

Gdy h→0 dipol punktowy ( matematyczny )

Potencjał dipola punktowego

p r

V =

3

4Πε r

Moment mechaniczny działający na dipol

M = p × E

Praca obrócenia dipola

W = pE − p E

Materiały w polu elektrycznym

- Metale

- Dielektryki

polaryzacja elektronowa p=3 10-34 Cm

Polaryzacja kierunkowa ( dipolowa )

H 0 p=6,1 10-30 Cm

2

Ferroelektryki

elektrety

Wektor polaryzacji

∑ p

P = lim V

∆ →∞

V

∆

P = ε χ E

0

Podatność elektryczna

q

= P n = P

spol

n

Gęstość powierzchniowa ładunku polaryzacyjnego Polaryzacja jednorodna

∫ P ds = 0

S ( V )

Polaryzacja

Polaryzacja niejednorodna

∫ P ds + ∫ q dv = 0

vpol

S ( V )

V

∫ =

Z twierdzenia Gauss’a

P d s

∫ divPdv

S ( V )

V

stą d

q

= − divP

vpol

Potencjał bryły dipolowe

1

P d s

1

divP

V ( M ) =

∫

−

∫

dv

4Πε

r

4Πε

r

0 S ( V )

0 V

Dielektryk oddzialywuje tak jak odpowiednio rozmieszczone gęstości ład. polar.

Q

i q

- są to ładunki związane

spol

vpol

Jeżeli w dielektryku są dodatkowo ładunki swobodne q i q s

v

1

q

+ q

q

+ q

spol

s

1

V ( M )

vpol

v

=

∫

ds +

∫

dv

4Πε

r

4Πε

r

0 S ( V )

0 V

Z wzoru na potencjał oraz tw. Gauss’a wynika 1

divE = − divgradV =

( q + q

v

vpol )

ε0

czyli

1

divE =

( q − divP

v

)

ε0

lub

div (ε E + P = q 0

) V

Wektor indukcji elektrycznej Wprowadza się nowy wektor zwany wektorem indukcji elektrycznej D = ε E + P

0

Dla dielektryków liniowych, jednorodnych i izotropowych D = ε 1+ χ E = ε ε E = ε E

0 (

)

0

r

Strumień indukcji elektrycznej

Ψ = ∫ D ds

S

Prawo Gauss’a dla materii

∫ D ds = ∫ q dV

V

S ( V )

v

Właściwości dielektryków

Bursztyn 1018 Ωm ; ε =2,8

r

Olej kondensatorowy 1015 Ωm; ε = 2,3

r

Porcelana 1012 Ωm; ε =6

r

Teflon 10 19 Ωm; ε =2,1

r

Miedź 2 10-8 Ωm

Wytrzymałość elektryczna

•

Zjawisko poświaty i snopienia

•

Wyładowanie zupełne-iskra lub łuk

Największa wartość pola elektrycznego, która nie powoduje jeszcze wyładowania zupełnego nazywa się wytrzymałością elektryczną

•

Bursztyn 20 MV/m

•

Olej kondensatorowy 30 MV/m

•

Porcelana 30 MV/m

•

powietrze 3 MV/m

Warunki graniczne

n

D − D = q

2 n

1 n

s

ε2

α2

2

D

qs

E − E = 0

1 t

2 t

1

D

ε1

α1

Prawo załamania

gdy q =0

s

tgα

ε

1

1

=

tgα

ε

2

2

Pola wybranych rozkładów ładunków Q 1

Q

− 2

Powierzchnia ekwipotencjalna zerowa

sfera

1

r

r 2

P

V( )

P = 0

Powierzchnie ekwipotencjalne są

Powierzchniami cylindrycznymi

ql

q

− l

1

r

r 2

P

V( )

P = const

Pola wybranych rozkładów ładunków R

q 1

q

B

A

2

2

ab = R

a

b

Pola wybranych rozkładów ładunków 1

D

ε

qs

ε

2

D

qs

E = E =

1

1 n

2ε

Metoda obrazów

Q

Q

h

h

V = const

≡

V = const

h

Q

−

R

R

q

q

l

l

q

− l

≡

2

R

b = a

V = const

a

a

b

Pojemność kondensatora

Dwie elektrody ekwipotencjalne połączone ze źródłem napięcia o ładunkach różniących się tylko znakiem stanowią układ naładowany zwany kondensatorem

Q

Q

C =

=

;

[1 C] =1 F

U

V − V

1

2

V

Q

1

∫ D ds

U

S

C = ∫

V

E dl

2

Q

−

L

kondensatory

ε S

Kondensator płaski

C = d

2Πε l

C =

Kondensator walcowy

r 2

ln r 1

 r r 

2 1

= Πε

Kondensator sferyczny

C

4





 r − r 

2

1

Łączenie kondensatorów

Przy zbyt małej pojemności pojedynczego kondensatora łączymy je równolegle Stosowane napięcie w takim układzie , określa najmniej wytrzymały kondensator C

C

C

U

1

2

3

n

C = ∑ Ci

i 1

=

Łączenie kondensatorów

Przy zbyt małej wytrzymałości kondensatora można je łączyć szeregowo C

C

C

1

2

3

U

U

U

1

2

3

U

1

n

1

= ∑

C

= C

i 1

i

Pojemności cząstkowe

Q

V

2

Q

2

n

Q 1

Vn

V 1

Z liniowości pola wynika liniowa zależność pomiędzy ładunkami a potencjałami elektrod n

V = ∑α Q

i

ij

j

j 1

=

Dla elektrod kulkowych

α = α

Wzajemność w polu

ij

ji

elektrostatycznym

1

α =

ij

4Πε rij

Pojemności cząstkowe

Twierdzenie Greena o wzajemności

n

n

'

"

"

'

∑ V Q = ∑ V Q

i

i

i

i

i 1

=

i 1

=

Z zależności potencjałów od ładunków można obliczyć zależność ładunków od potencjałów n

Q = ∑ β V

i

ij

j

j 1

=

β = β

wzajemność

ij

ji

Pojemności cząstkowe

Q = β V + β V + ⋅⋅⋅ + β V

j

j 1 1

j 2

2

jn

n

n

Q = β ( V − V ) + β ( V − V ) + ⋅⋅⋅ + β ( V − V ) + V ∑ β =

j

j 1

1

j

j 2

2

j

jn

n

j

j

ji

i 1

−

n

= (∑ β ) V + −β

V − V + −β

V − V + ⋅⋅⋅ + −β

V − V

ji

j

(

(

)

(

)

(

)

j 1 )

j

1

( j 2) j 2

( jn) j n

i 1

−

n

C

= ∑

= −

= −

=

∞

β ;

C

β

β

C

j

ji

ji

( ji) ( ij) ij

i 1

−

Q = C V + C ( V − V ) + C ( V − V ) + ⋅⋅⋅ + C ( V − V ) =

j

j∞

j

j 1

j

1

j 2

j

2

jn

j

n

= C V + C U + C U + ⋅⋅⋅+ C U

j∞

j

j 1

j 1

j 2

j 2

jn

jn

C – pojemności cząstkowe pomiędzy elektrodami j i ji

C j∞ - Pojemność cząstkowa pomiędzy elektrodą j a ∞

Pojemności cząstkowe

Pojemność kondensatora z uwzględnieniem pojemności cząstkowych

∞

C 1∞

Q = C U + V C

1

12

12

1

1∞

1

=

+

C = C

Q

C U

V C

12

21

2

12

12

2

2∞

2

C 2∞

∞

Ekranowanie elektrostatyczne Q 2

Q = β V + β V

0

01 1

02

2

Q 1

= β

+ β

V

Q

V

V

1

1

11 1

12

2

Q 0

gdy

V = 0 → Q = 0 → β = 0

bo V ≠ 0

1

1

12

2

V = 0

0

stą d

V = α Q → ekranowanie

1

11

1

V niezależne od V i Q

1

2

2

Energia kondensatora

C

2

1

1 Q

2

=

=

Q

Q

−

W

CU

2

2 C

U

1

Dla kondensatora płaskiego

2

W = ε E ( Sd )

2

1

Gęstość przestrzenna energii

ω = E D

2

2

dW

1 D

Siła działająca na elektrodę kond.

F =

=

S

[ N]

dl

2 ε

2

F

1 D

 N 

=

=

Ci

p

śnienie elektrostatyczne

 2 

S

2 ε

 m 

Energia układy ładunków punktowych Q Q r

1

2

=

Q

Q

F

2

1

2

4 ε

Π r r

∞

∞ Q Q

Q Q

1

2

1

2

W = ∫ Fdr = ∫

dr =

= QV = Q V

2

1 1

2

2

praca

4Πε r

4Πε r

r

r

lub

1

W =

( QV + Q V

1 1

2

2 )

2

1 n

W =

∑ QV

Dla układu n ładunków

2

i

i

i 1

=

1

1

1

Przy rozkładach

W =

∫ Vq dv + ∫ Vq ds + ∫ Vq dl 2

V

2

S

2

L

V

S

L

Jest to całkowita energia własna i wzajemna

Energia układy ładunków

1

Praktycznie

W =

∫ Vq dv

2

V

V

Z tożsamości matematycznej

div( V D) = VdivD + D gradV

stąd

Vq = div( V D) + E D

V

1

1

1

W =

∫ Vq dv = ∫ div( V D) dv + ∫ E Ddv =

2

V

2

2

V →∞

V →∞

V →∞

1

1

1

=

∫ V Dds + ∫ E Ddv ≃ ∫ E Ddv 2

2

2

s ( V )→∞

V →∞

V →∞

Energia układy~elektrod

Q

V

2

=

+

2

dW

V dq

V dq

1

1

2

2

Q 1

V = α q + α q ;

V = α q + α q

1

11 1

12

2

2

21 1

22

2

V

1

Q , 2

Q

1

1

1

2

2

W = ∫ dW = α Q + α Q +α Q Q

11

1

22

2

12

1

2

2

2

0

Inny sposób

q = C V + C U ;

q = C V + C V

1

1∞ 1

12

12

2

12 1

2∞ 2

V , V

V , V

1

2

1

2

W = ∫ dW = ∫ V C dV + C dV − C dV + V C dV + C dV − C dV =

1 (

1∞

1

12

1

12

2 )

2 (

2∞

2

12

2

12

1 )

0

0

1

= ( C + C

+

+

+

∞

)

1

2

V

( C

C

∞

) 2

V

C V V

1

12

1

2

12

2

12 1

2

2

2

Własna własna

wzajemna

1

W =

( C

+

+

+

−

=

+

+

+

∞ )

1

1

1

1

1

2

V

( C ∞ ) 2

2

V

C ( V

V )

( C ∞ ) 2

V

( C ∞ ) 2

2

V

C ( U )

1

1

2

2

12

1

2

1

1

2

2

12

12

2

2

2

2

2

2