Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Wydział Elektryczny.

Lista zadań nr 3

25 marca 2006 r.

1. Dobrać stałą A tak, aby funkcja (A (x − 1) dla x ∈ [0, 1], f (x) =

0

dla x /

∈ [0, 1],

była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Znaleźć i narysować dystrybuantę tej zmiennej i obliczyć Pr (0.5 < X < 2).

2. Niech zmienna losowa X ma gęstość (A cos x dla x ∈ (−π/2, π/2), f (x) =

0

dla x /

∈ (−π/2, π/2).

Obliczyć

a) parametr A,

b) Pr(−π/6 < X < π/4), c) EX,

d) D2X.

3. Gęstość zmiennej losowej X wyraża się wzorem:

 α



dla x > 1,

f (x) =

x3

0

dla x ¬ 1.

Obliczyć α, a następnie EX. Czy istnieje D2X?

4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f (x) = αx dla x ∈ [0, π] oraz f (x) = 0 poza tym.

Wyznaczyć α. Dla zmiennej losowej Y = cos X obliczyć EY bez wyznaczania rozkładu zmiennej Y .

5. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [−1, 1] i niech Y = exp (X). Obliczyć EY i EY 2.

6. Niech

f (x) = C exp 4x − x2 .

Wyznaczycć stałą C tak, aby f była gęstością pewnej zmiennej losowej. Nazwać rozkład tej zmiennej.

Wskazówka. Jaka jest postać rozkładu N (m, σ)?

7. Niech X ∼ N (−1.5, 2). Korzystając z tablic rozkładu normalnego N(0, 1) obliczyć prawdopodobieństwa

a) Pr (|X| > 0.5),

b) Pr X2 < 4,

c) Pr eX > 1 .

8. Niech zmienne losowe X i Y będą niezależne. Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 1/5, zaś Y ma rozkład normalny N (−1, 2). Znaleźć wariancję zmiennej losowej Z = 2X − 3Y − 2.

9.

Znaleźć dystrybuantę i gęstość rozkładu zmiennej losowej Y = 3X − 5, jeśli X ma rozkład wy-kładniczy z parametrem µ.

10. Dla jakich wartości parametrtów a i b, funkcja

0

dla x ¬ −1,







F (x) =

a + b arcsin x dla −1 < x ¬ 1,





1

dla x > 1

jest

a) dystrybuantą pewnej zmiennej losowej, b) dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego, c) dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego.

Helena Jasiulewicz