id4046500 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com 2 . Dziaùania na wektorach
suma wektorów
Suma wektorów u u ,u ,u i v v ,v ,v to wektor okreœlony wzorem x
y
z
x
y
z
u v u v ,u v ,u v .
x
x
y
y
z
z
Z
u v
v
u
Y
X
iloczyn wektora
Iloczyn wektora u u ,u ,u przez liczbê to wektor okreœlony wzorem i liczby
x
y
z
u u , u , u .
x
y
z
Wùasnoœci dziaùañ na wektorach
Niech
u , v , w bêd¹ dowolnymi wektorami, , dowolnymi liczbami.
Wtedy:
1. u v v u
2. u v
w u
v w
3. u 0 u
4. u u
0
5. 1 u u
6. u v
u
v
7. u u u
8. u
u
..........................................................................................
Dane s¹ wektory u 0 2
, , 2
, v 3 4
,
,
1 , w AB , gdzie (
A 2 , ,
1 3 ) , B 1 2
,
,
1 .
Obliczy
ã 3 u v 2 w .
Rozwi¹zanie
Najpierw wyznaczamy kolejne wspóùrzêdne wektora w AB : w x x
1 2 3
x
B
A
w y y 2
y
B
A
1 3
w z z
1 3 4
z
B
A
Czyli w 3 3
,
, 4.
Nastêpnie obliczamy wspóùrzêdne szukanego wektora
3 u v 2 w
3 0 2
, , 2
3 4
, ,
1
2 3 3
, , 4
0 3
, , 6
3 , 4 ,
1 6 , 6
,
8 9 , 7
,
3
Ostatecznie mamy 3 u v 2 w 9 , 7
,
3 .
.........................................................................................
Kombinacj¹
liniow¹
wektorów
u
1 , u 2 ,...,u n
nazywamy
wektor kombinacja
liniowa wektorów
u 1
gdzie
.
1
u 2
2
... u n
1 , 2 ,..., R
n
n
Ka¿dy wektor w ukùadzie wspóùrzêdnych mo¿na przedstawiã w postaci liniowej
kombinacji wersor
ów i , j , k w nastêpuj¹cy sposób
u u ,u ,u
.
x
y
z u
i u
j u k
x
y
z
..........................................................................................
PRZYK£AD
Wektor
u 31
,
, 2 mo¿emy zapisaã w postaci u 3 i 1 j 2 k , ale tak¿e
u 1 j 3 i 2 k .
Wektor w j 2 i 5 k mo¿emy zapisaã w postaci w 2 1
, ,
5 .
.........................................................................................
wektory liniowo
Wektory u 1 , u 2 ,...,u n nazywamy liniowo niezale¿nymi, je¿eli jedyn¹ kombinacj¹ niezale¿ne liniow¹ daj¹c¹ wektor zerowy jest kombinacja ze wszystkimi wspóùczynnikami
i .
równymi 0, tzn. jeœli u 1 u 2 ... u
, to ,
...
.
n 0
1
2
n 0
n
1
2
Wektory, które nie s¹ liniowo niezale¿ne nazywamy liniowo zale¿nymi.
wektory liniowo
zale¿ne
Je
¿eli wektory u 1 , u 2 ,...,u s n
¹ liniowo zale¿ne, to jeden z nich jest kombinacj¹
liniow
¹ pozostaùych.
.........................................................................................
PRZYK£AD
Dane s
¹ wektory u 4 3
, ,
5 , v 1 0
, 2
, w 3 3
, ,
3 . Zbadaã, czy wektory u, v , w s¹
liniowo niezale¿ne. W przypadku odpowiedzi negatywnej przedstawiã jeden z nich jako kombinacjê liniow¹ pozostaùych.
Rozwi¹zanie
Rozwa¿my zeruj¹c¹ siê kombinacjê liniow¹ wektorów u , v , w
14 3
, ,
5 2 1 0
, 2
, 33 3
, ,
3 0 0
, ,
0
Wykonuj¹c dziaùania po lewej stronie powy¿szej równoœci otrzymujemy,
4 3 3
, 3 5
, 2 3
1
2
3
1
3
1
2
3 0 0
, ,
0
Nastêpnie porównuj¹c odpowiednie wspóùrzêdne wektorów, otrzymamy ukùad równañ
41 2 33 0
3
1 3 3 0
5
2
3
0
1
2
3
Ukùad ten, co nietrudno sprawdziã, ma nieskoñczenie wiele rozwi¹zañ.
Wyznaczamy dowolne z nich (byle niezerowe) w tym celu przyjmujemy za
1
dowoln¹ liczbê np. 1 i wyliczamy z powy¿szego ukùadu równañ , .
1
2
3
Otrzymamy 1
. Mo¿emy wiêc napisaã u v w 0
, co oznacza, ¿e dane
2
3
wektory s¹ liniowo zale¿ne. Aby zakoñczyã zadanie, z ostatniego zwi¹zku
wyznaczamy np. u v w .
.........................................................................................