II kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
A7 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Dobrać stałe a i b tak, aby funkcja f określona warunkami f ( x ) = x 2 + b dla −2 ≤ x < 3 oraz f ( x ) = ax dla pozostałych x ∈ R, była ciągła w każdym punkcie. Sporządzić rysunek.
2. Wykorzystując różniczkę podać przybliżoną wartość wyrażenia 1
.
3 27,6
3. Stosując wzór Maclaurina przybliżyć trójmianem kwadratowym w pobliżu punktu x
Odpowiedzi do zestawu A7
0 = 0 funkcję
f ( x ) = e−2 x ln ( 3 x + 1 ).
1. a = 1, b = −6;
134
2.
≈ 0, 330864;
405
4. Wskazać przedziały, na których pochodna funkcji f jest dodatnia, 21
3. 3 x −
x 2 ;
jeżeli
2
π
3cos2 x
4. ( + kπ, π + kπ ), k ∈ Z.
f ( x ) =
2
.
5sin2 x
II kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
B7 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Sformułować twierdzenie Darboux i w oparciu o nie uzasadnić, że równanie
3 x + x 2 = 250
ma dokładnie jedno dodatnie rozwiązanie x 0 . Podać jego część całkowitą.
1
2. Napisać równanie stycznej w punkcie o odciętej x 0 = do wykresu 2
funkcji
f ( x ) = arcsin
1 − x 2 .
Odpowiedzi do zestawu B7
3. Oszacować błąd wzoru przybliżonego cos x + 1 ≈ 1 ( x − π )2 na 2
1. część całkowita wynosi 4;
przedziale [ π, 3π ] .
2
2
2 3
π +
3
2. y = −
x +
;
3
3
4. Stosując regułę de L'Hospitala obliczyć granicę π4
3. lepsze oszacowanie R 4
≤
≈ 0, 254, gorsze oszacowanie
384
1
1
π3
lim (
−
).
R 3 ≤
≈ 0, 646;
48
x → 0
x ln 2
2 x − 1
1
4. granica wynosi .
2
II kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
C7 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Uzasadnić, że równanie
x 3 x = 4
1
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wyznaczyć je z dokładnością do .
4
2. Obliczyć z definicji pochodną w punkcie x 0 ∈ R funkcji g ( x ) = sin2 x .
3. Napisać wzór Maclaurina z resztą R 4 dla funkcji f ( x ) =
1 + x .
Odpowiedzi do zestawu C7
Korzystając z niego podać przybliżoną wartość 2 i oszacować błąd 5
1
1.
± ;
bezwzględny tego przybliżenia.
4
4
2. g ( x 0 ) = sin 2 x 0 ; 4. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
23
5
3.
2 ≈
≈ 1, 4375, R 4
<
≈ 0, 039;
16
128
f ( x ) = ln3 x − ln x 12 .
4. f min = f ( e 2 ) = −16, f max = f ( e−2 ) = 16.
II kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
D7 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1
1. Wskazać przedział o końcach wymiernych długości zawierający 8
3 2 . Zastosować twierdzenie Darboux do funkcji
f ( x ) = x 3 − 2.
2. Przez punkt A = ( −1, −4 ) poprowadzono wszystkie styczne do wykresu funkcji
g ( x ) = 9 x − x 3 .
Napisać równania tych stycznych.
Odpowiedzi do zestawu D7
3. Stosując wzór Maclaurina podać wartość 5
11
1.
< 3 2 <
;
4
8
sin2 2
z dokładnością do 10−3 .
5
2. jest jedna taka styczna y = 6 x + 2; 284
3.
≈ 0, 151467;
4. Wykorzystując regułę de L'Hospitala obliczyć granicę 1875
4
4. granica wynosi
.
ln cos 2 x
25
lim
.
x → 0 ln cos 5 x
II kolokwium, semestr zimowy 2007/2008
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
F7 1 2 3 4 Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Uzasadnić, że równanie
9 x − 3 + 22 x − 3 = 5
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wskazać przedział o końcach wymiernych długości 0, 25 zawierający to rozwiązanie.
2. Wykorzystując różniczkę podać przybliżoną wartość wyrażenia ( 0, 995 )2,995 .
Odpowiedzi do zestawu F7
3. Napisać wzór Maclaurina z resztą Lagrange'a Rn dla funkcji
1. przedział ( 2, 5; 2, 75 );
g ( x ) = ln ( 1 + 5 x ).
2. przybliżona wartość wynosi 0, 985 dla funkcji f ( x ) = x 2+ x lub 0, 985025 dla funkcji g ( x ) = x 2,995; 4. Wykorzystując regułę de L'Hospitala obliczyć granicę 25
125
( −1 ) n−2 5 n−1
3. g ( x ) = 5 x −
x 2 +
x 3 + ... +
xn−1 + Rn ,
x 4
2
3
n − 1
lim
.
( −1 ) n−1 5 n
x → 0 x 2 + 2 cos x − 2
gdzie Rn =
xn dla 0 < c < x lub x < c < 0; n ( 1 + 5 c ) n
4. granica jest równa 12 .
.