Sterowanie Procesów Przemysłowych Modelowanie układu dynamicznego
1
Katedra Automatyki i Metrologii P o l i t e c h n i k a L u b e l s k a Modelowanie układu dynamicznego.Suwnica Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest stworzenie modelu układu dynamicznego w pakiecie Simulink, składającego się z wózka poruszającego się po płaskiej powierzchni.
M
r
F
DANE:
m
g = 9.81 2
s przyspieszenie ziemskie M = 1000 kg masa wózka ϕ
m = 3000 kg
l
masa kuli
l = m
5 długość liny
x – położenie środka wózka
ϕ – wychylenie kuli z położenia równowagi F = 5000 N – siła napędowa wytwarzana m
przez silnik (wymuszenie) - prostokątny r
impuls o amplitudzie wynoszącej i czasie Q
T
= 2 s
trwania imp
x
0
Przyjąć zerowe warunki początkowe (zerowe położenie początkowe i wychylenie jak również prędkości liniową i kątową)
Równania opisujące model.
⎧
2
⎛
2
2
d x
d ϕ
ϕ
⎞
⎪ F =
( M + m)+ ⎜
⎛ d ⎞
ml
cosϕ −
ϕ ⎟
⎪
2
⎜
⎜
⎟ sin
2
⎟
⎨
dt
⎝ dt
⎝ dt ⎠
⎠
⎪
2
2
d ϕ
d x
⎪ ml
+ m
cosϕ + mg sinϕ = 0
⎩
2
2
dt
dt
⎧ 2
⎛
d x
d ϕ
2
ϕ 2
⎞
⎪
( M + m)= F − ⎜
⎛ d ⎞
ml
cosϕ −
sinϕ ⎟
⎪ 2
⎜
⎜
⎟
2
⎟
⎨ dt
⎝ dt
⎝ dt ⎠
⎠
⎪
d ϕ
2
2
d x
⎪ ml
= − m
cosϕ − mg sinϕ
⎩
2
2
dt
dt
Sterowanie Procesów Przemysłowych Modelowanie układu dynamicznego
2
⎧
⎛ ϕ
2
ϕ 2
⎞
⎪
F −
⎜ d
⎛ d ⎞
ml
cosϕ −
sinϕ ⎟
⎜
⎟
⎪ 2
⎜
2
⎟
d x
⎝ dt
⎝ dt ⎠
⎠
⎪
=
⎨ dt 2
M + m
⎪
d 2 x
⎪
2
cosϕ + g sinϕ
d ϕ
2
⎪
= − dt
⎩ dt 2
l
Równania opisujące model są równaniami nieliniowymi (pierwsza pochodna ϕ jest podnoszona do kwadratu, ϕ jest również argumentem funkcji sin i cos). Dlatego układu tego nie można bezpośrednio rozwiązać stosując metodę zmiennych stanu, nie można również wyznaczyć transmitancji. Można go natomiast łatwo rozwiązać tworząc odpowiedni model w Simulinku Układ ten można jednak poddać pewnemu uproszczeniu (linearyzacji). W tym celu wykorzystane zostaną następujące zmienne stanu:
⎡ x 1 ⎤ ⎡ x⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ x 2 ⎥ = ⎢ & x⎥
⎢ x ⎥ ⎢ϕ⎥
⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥
⎣ x 4 ⎦ ⎣ϕ&⎦
Należy przyjąć, że układ pracuje przy małych wychyleniach obciążenia oraz małych prędkościach kątowych tego obciążenia:
cos x
2
3 ≈ 1, sin x3 ≈ x3, sin2 x3 ≈ 0, x4 ≈ 0
wówczas:
⎡ x&
0
1
0
0
0
1 ⎤
⎡
⎤⎡ x 1 ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
x&
0
0
a
0
x
b
⎢ 2 ⎥ ⎢
23
⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎥
=
+
F
⎢ x& ⎥ ⎢0 0 0 1⎥⎢ x ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ 3 ⎥ ⎢
⎥⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥
x&
0
0
a
0
x
b
⎣ 4 ⎦ ⎣
43
⎦⎣ 4 ⎦ ⎣ 4 ⎦
m
( M + m) g 1
1
a
=
g
a
= −
b =
b = −
gdzie:
23
43
2
4
M
,
Ml
,
M ,
Ml
Instrukcja wykonania ćwiczenia 1. Utworzyć model suwnicy w diagramie Simulink, 2. Opracować sprawozdanie, podając w nim efekty pracy i wnioski.