15.06.2002
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1
Niech A i B A i B
Pr( B | )
A , Pr( B |
A ) , Pr( A) Pr( B) p .
Oblicz p 1/ 2 i 1/ 3 .
2
(A) p
5
1
(B) p
3
1
(C) p
2
1
(D) p
5
1
(E) p
6
1
15.06.2002
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2
r 25 kul, z których m 15 r m 10 czarnych.
Losujemy bez zwracania najpierw n 6 kul, w urnie,
1
losujemy bez zwracania n 8 kul. Niech 2
S
1
S
2
Oblicz )
Cov( S , S
.
1
2
(A) 48
Cov( S , S ) .
0
1
2
(B) 32
Cov( S , S ) .
0
1
2
m( r m)
(C) Cov( S , S ) n n
48
.
0
1
2
1
2
2
r ( r )
1
(D) 75
Cov( S , S ) .
0
1
2
(E) 1
Cov( S , S )
1
2
2
15.06.2002
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3
! X ,..., X ,...
1
n
"#
R 0 i R max( X ,...., X ) dla n 0 .
0
n
1
n
Zmienne losowe N i M X ,..., X ,...
1
n
obie te zm $ E( N ) i E( M ) .
Oblicz Pr( R R ) .
N M
N
(A) Pr( R
)
1
N M RN
e
(B) Pr( R
R
N M
)
N
1
(C) Pr( R
R
N M
)
N
(D) Pr( R
)
1
N M RN
e
(E) "
Wskazówka: ! % N M 0 & X ,..., X ,..., X
1
N
N M
$ N M 0 mamy
R R .
M N
N
3
15.06.2002
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4
! X ,..., X ,...
1
n
" E( X )
,
2
Var( X )
. Niech N
i
i
X ,..., X ,... , "
1
n
wzorem:
n 1
2
Pr( N n) n 1
( ) , dla n ,
1 ,....
2
.
n
Niech S
X .
n
i
i1
SN
Oblicz Var
.
N
SN
(A) Var
( 2
2
)
N
SN
(B)
2
Var
N
SN 2
(C) Var
N
SN
2
(D) Var
N 1
SN
(E)
2
2
Var
N
4
15.06.2002
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5
! W , W ,..., W ,...
1
2
n
zmienna W ' ( w 0
1
1
f ( w )
exp( w );
1
1
warunkowo, dla danych W , W ,..., W , zmienna W ' (
1
2
n
n 1
w
n
0
1
exp( wn ) gdy w
c
1
n
;
f ( w
n | w ,...., w )
1
1
n
exp( wn ) gdy w c
1
n
;.
Niech c ln 2 , 1 , 2 .
Podaj lim E( W ) .
n
n
(A) 5
lim E( W )
n
3/
n
(B) 5
lim E( W )
n
4 /
n
(C)
1
/ 5
lim E( W )
n
e
n
(D)
1
/ 5
lim E( W )
n
2
n
(E) 4
lim E( W )
n
3/
n
5
15.06.2002
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6
! X ,..., X i Y ,..., Y
1
n
1
m
normalnego )
N (, 2
. Niech
n
1
X
X )
i
n i1
m
1
Y
Y
i
m i1
Oblicz Pr( | X | | Y | ) n 100 i m 385 % **+&
.
.
(A) Pr( | X | | Y | ) 74
.
0
(B) Pr( | X | | Y | ) 94
.
0
(C) Pr( | X | | Y | ) 66
.
0
(D) Pr( | X | | Y | ) 80
.
0
(E) Pr( | X | | Y | ) 70
.
0
6
15.06.2002
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7
Niech W , W ,..., W w 0
1
2
n
wzorem:
f ( )
w
exp( ).
w
# W do
i
,
Z , Z ,..., Z , gdzie 1
2
n
Z W .
i
i
(symbol a k a k ).
Oblicz estymator ˆ nieznanego parametru oparty na obserwacjach Z , Z ,..., Z .
1
2
n
n
ˆ
S
(A) ln
1 , gdzie S Z
n
i
i1
n
n
(B) ˆ
, gdzie S Z
S
i
i1
n
n
(C) ˆ , gdzie S Z
S
i
i1
n
n
(D) ˆ
1
, gdzie S Z
S
i
i1
n
ˆ
n
(E) ln1 , gdzie S Z
S
i
i1
7
15.06.2002
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8
Próbka X , X ,..., X N
2
,
1
2
14
2
. Na podstawie tej próbki zbudowano w standardowy
- 1 0.995 dla :
X S t 14 , X S t 14 .
14
14
Niech X
15
X , X ,..., X .
1
2
14
. " X , na
15
- (
p Pr X S t 14 X X S t 14
14
15
14
% **+&
(A) p 99
.
0
(B) 95
p .
0
(C) 60
p .
0
(D) p 40
.
0
(E) 85
p .
0
8
15.06.2002
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9
Obserwuj ( X , Y ) ! X
N( )
1
, i Y N ( 1
, / )
3 (
X
Y
wariancje, a nie odchylenia standardowe).
/ H : ( , )
przeciwko alternatywie
X
Y
( )
0
,
0
0
H : ( , )
0.1.
X
Y
)
1
,
1
(
1
Wyznacz moc tego testu.
(A) moc 0.83
(B)
moc 0.48
(C)
moc 0.97
(D)
moc 0.91
(E) moc 0.76
9
15.06.2002
r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10
! , zmienne losowe X ,..., X ,....
1
n
"(
Pr( X
, Pr( X
.
i 0 | ) 1
i 1 | )
Zmienna losowa [
]
1
,
0
1 dla
0 ;
1
( )
0 w przeciwnym przypadku.
Niech
N min n : X
.
n
1
Oblicz )
Pr( N n 1 | N n dla n
,
1
,
0
,...
2
n
(A) Pr( N n 1 | N n)
n 2
1
(B) Pr( N n 1 | N n)
n 1
1
(C) Pr( N n 1 | N n)
n 2
1
(D) Pr( N n 1 | N n)
2
1
(E) Pr( N n 1 | N n)
(
2 n )
1
10
15.06.2002
r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2002 r.
Arkusz odpowiedzi*
, .................. K L U C Z O D W I E D Z I ..............................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
. 0 Punktacja
1 A
2 C
3 D
4 B
5 B
6 E
7 E
8 C
9 E
10 C
* Arkuszu odpowiedzi.
W
11