Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 1
'
$
3.
Charakterystyki logarytmiczne (wykresy Bodego) – c.d.
oktawa
lg
!
lg
!
!
b
a
b
(13)
!
!
=
2!
!
=
3;32
lg
2
1
lg
2
!
a
dekada
lg
!
lg
!
!
b
a
b
(14)
!
!
=
10!
!
=
lg
2
1
lg
10
!
a
Przykład (element inercyjny 1-go rzędu) jk
j
G(j
!
)
=
1
+
j
!
T
jk
j
arctg
p
jG(j
!
)j
=
;
'(!
)
=
(!
T
)
(k
>
0)
2
2
1
+
!
T
p
Lm
jk
j
2
2
p
(!
)
=
20
lg
=
20
lg
jk
j
20
lg
1
+
!
T
2
2
1
+
!
T
8
<
dla
1
!
1=T
2
2
1
+
!
T
=
2
2
:
dla
!
T
!
1=T
8
<
dla
1
!
<
1=T
2
2
1
+
!
T
2
2
:
dla
!
T
!
>
1=T
8
<
dla
20
lg
jk
j
20
lg
1
!
<
1=T
Lm(!)
=
p
:
2
2
dla
20
lg
jk
j
20
lg
!
T
!
>
1=T
8
<
dla
20
lg
jk
j
!
<
1=T
=
:
dla
20
lg
jk
j
20
lg
(!
T
)
!
>
1=T
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 2
'
$
Lm
Lm
Lm
Lm
(!
)
=
(!
)
+
(!
);
(!
)
=
20
lg
jk
j
1
2
1
(
dla
Lm
0
!
<
1=T
(!
)
=
2
dla
20
lg
(!
T
)
!
>
1=T
dla
20
lg
(!
T
)
=
20
lg
!
+
20
lg
(1=T
)
=
0
!
=
1=T
Lm( )
w
3 dB
20 lg|k|
Lm ( )
w
|k|>1
1
lg w
w=1/ T
-20 dB/dek
Lm ( )
w
2
j w
( )
lg w
w=1/(10 T) w=10/ T
w=1/ T
Q(w)
k
P( )
w
-p/4
w
w=1/ T
-p/2
Rys. 10
Lm
Lm
(10!
)
(!
)
=
20
lg
jk
j
20
lg
(10!
T
)
20
lg
jk
j+
x
x
x
dB
dB
!
T
x
+
20
lg
(!
T
)
=
20
lg
=
20
=
6
x
dek
okt
10!
T
x
arctg
dla
'(!
)
=
(!
T
)
k
>
0
'(1=T
)
=
=4;
'(0)
=
0;
'(1)
!
=2
Lm
Lm
Lm
(!
)
=
(!
)
(!
)
dok
l
asy
mpt
p
Lm
2
(1=T
)
=
20
lg
jk
j
20
lg
1
+
(T
=T
)
p
[dB]
20
lg
jk
j
+
20
lg
(T
=T
)
=
20
lg
2
=
3;03
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 3
'
$
0
∆Lm [dB]
−1
−2
−3
1/(10T)
1/(2T)
1/T
2/T
ω [rad/s] 10/T
Rys. 11
Lm
1
[dB]
=
3;03
T
s
2
Lm
1
T
=
20
lg
1
+
+
0
=
2T
2T
p
5
[dB]
=
20
lg
=
0;97
2
s
2
Lm
2
2T
2T
=
20
lg
1
+
+
20
lg
=
T
T
T
p
[dB]
=
20
lg
5
+
20
lg
2
=
0;97
Zalety charakterystyk logarytmicznych G(j
!
)
=
G
(j
!
)G
j
!
)G
(j
!
)
1
(
3
Lm
Lm
Lm
Lm
(j
!
)
=
(j
!
)
+
(j
!
)
+
(j
!
)
1
2
3
'(j
!
)
=
'
(j
!
)
+
'
(j
!
)
+
'
(j
!
)
1
2
3
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 4
'
$
Przykład (element proporcjonalny) G(j
!
)
=
k
=
k
+
j
0
(
dla
Lm
0
k
>
0
(!
)
=
20
lg
jk
j;
'(!
)
=
dla
k
<
0
Q(w)
Lm(w)
20 lg |k|
k
lg w
0
P(w)
k>1
j(w)
k>0
lg w
(a)
(b)
Rys. 12
Przykład (element całkujący idealny) h
i
k
k
G(j
!
)
=
=
j
;
k
>
0;
k
s
j
!
!
G(j
0)
!
0
j
1;
G(j
1)
!
0
+
j
0
Lm(!) =20 lg k
20
lg
!
;
'(!
)
=
=2
Q(w)
Lm(w)
wg 8
k
lg w
P(w)
-20 dB/dek
j(w)
lg w
wg0
-p/2
(a)
(b)
Rys. 13
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 5
'
$
Przykład (element całkujący rzeczywisty) 2
k
k
(
!
T
j
!
)
G(j
!
)
=
=
=
2
2
2
j
!
(1
+
j
!
T
)
!
(1
+
!
T
)
k
T
k
=
+
j
;
k
>
0
2
2
2
2
1
+
!
T
!
(1
+
!
T
)
G(j
0)
!
k
T
j
1;
G(j
1)
!
0
+
j
0
k
1
G(j
!
)
=
G
(j
!
)
G
(j
!
)
=
;
1
1
j
!
1
+
j
!
T
Lm
Lm
Lm
(!
)
=
(!
)
+
(!
);
1
2
Lm (!) = 20 lg k 20
lg
(!
);
1
(
Lm
0;
!
<
1=T
2
2
(!
)
=
20
lg
(1
+
!
T
)
2
20
lg
(!
T
);
!
>
1=T
arctg
'(!
)
=
'
(!
)
+
'
(!
)
=
=2
(!
T
)
1
2
Q(w)
Lm(w)
k
lg w
1/ T
- kT
wg 8
Lm2
-20 dB/dek
P(w)
Lm1
-40 dB/dek
j(w)
lg w
j2
-p/2
j1
-3p/4
wg0
-p
(a)
(b)
Rys. 14
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 6
'
$
4.
Stabilność ci ˛
agłych liniowych układów dynamicznych u(t)
y
(t)
-
-
G
(s)
1
+
6
G
(s)
2
Rys. 15
L
(s)
L
(s)
1
2
G
(s)
=
;
G
(s)
=
;
1
2
M
(s)
M
(s)
1
2
Y
(s)
G
(s)
1
(15)
G(s)
=
=
=
U
(s)
1
+
G
(s)G
(s)
1
2
L
(s)M
(s)
L(s)
1
2
=
=
;
M
(s)M
(s)
+
L
(s)L
(s)
M
(s)
1
2
1
2
równanie charakterystyczne M
(s)
=
0
m
b
s
+
+
b
s
+
b
(s
z
)(s
z
)
:
:
:
(s
z
)
m
1
0
1
2
m
G(s)
=
=
k
n
a
s
+
+
a
s
+
a
(s
s
)(s
s
)
:
:
:
(s
s
)
n
1
0
1
2
n
(16)
zera transm.
bieguny
b
m
z
;
:
:
:
z
;
s
;
:
:
:
s
;
k
=
1
m
1
n
a
n
m
Q
k
(s
z
)
i
i=1
(17)
G(s)
=
;
q
r
Q
Q
2
2
2
(s
s
)
[s
+
2
s
+
(
+
!
)℄
j
l
l
l
j
=1
l =1
bieguny pojedyncze q
+
2r
=
n;
"
#
q
r
X
X
B
l
s
t
t
j
l
(18)
g
(t)
=
A
e
+
e
sin (!
t
+
)
1(t)
j
l
l
!
l
j
=1
l =1
są stałymi zale żnymi od A
;
B
;
k
;
z
;
s
;
;
!
j
l
l
i
j
l
l
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 7
'
$
Im s
g t
( )
g t
( )
j
Im s
l
sl 1
w l
s <0
Re s
j
Re s
s
s
0
t
j
0
l
0
s
-w l
s <0
l 2
l
0
t
g t
( )
j
Im s
Im s
g t
( )
l
s = j w l 1
l
Re s
Re s
t
s
s =0
0
j
j
0
t
s =0
0
l
s =- j w l 2
l
g t
( )
j
Im s
Im s
g t
( )
l
sl 1
w l
Re s
Re s
t
0
s
s
0
j
0
l
s >0
j
-w l
sl 2
s >0
0
l
t
Rys. 16
je żeli biegun
jest -krotny, to wtedy: s
p
j
A
A
j
j
1
p
1
s
t
j
ogranicz. ampl. dla L
=
t
e
1(t)
(
s
<
0)
j
p
(s
s
)
(p
1)!
j
(19)
u(t)
=
A
sin (!
t)1(t)
l
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 8
'
$
Przykład
Y
(s)
2
[rad/s]
G(s)
=
=
!
!
=
4
l
2
U
(s)
(s
+
10)(s
+
16)
u(t)
=
sin(4t)1(t);
y
(t)
=?
omega = 4; % [rad/s]
G = tf(2,conv([1 10],[1 0 16])); t = 0:0.1:60; u = sin(omega*t); y = lsim(G,u,t); plot(t,y) 1.5
0.05
1
0.5
0
ω=4 [rad/s]
0
ω=5 [rad/s]
−0.5
y(t) dla
y(t) dla
−1
−1.5
−0.05
0
10
20
30
40
50
60 t [s]
0
10
20
30
40
50
60
t [s]
Rys. 17
5.
Redukcja rzędu modelu układu dynamicznego
t=T
t=T
1
2
k
T
e
T
e
1
2
G(s)
=
!
h(t)
=
k
1
1(t)
(1
+
sT
)(1
+
sT
)
T
T
1
2
1
2
zał.
s
=
1=T
;
s
=
1=T
;
T
T
!
s
s
1
1
2
2
2
1
2
1
k
t=T
1
h(0)
=
0;
h(1)
=
k
!
h
(t)
=
k
(1
e
)1(t)
!
G
=
r
ed
r
ed
1
+
sT
1
Im s
b
a
Re s
zera i bieguny
zera i bieguny
nieznacz¹ce
dominuj¹ce
|b|=(5...10) |a|
Rys. 18
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww