Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 1
'
$
1.
Odpowiedź ci ˛
agłego układu liniowego
na wymuszenie sinusoidalne
G(jω) = G(s)|s=jω
(1)
u(t)
y(t)
-
G(jω)
-
Rys. 1
y(t) = yp(t) + yu(t),
lim yp(t) = 0
(2)
t→∞
u(t) = A sin ωt · (t) ⇒
1
⇒ y(t) = yu(t) = A|G(jω)| sin(ωt + ϕ(ω)) · (t) (3)
1
Przykład
2
2
1
G(s) =
=
=
s2 + 3s + 2
(s + 1)(s + 2)
(s + 1)(0,5s + 1)
u(t) = 8 sin 2t · (t) → wyznaczyć przebieg yu(t) 1
2
2
G(s)|s=j2 =
=
= 0,316 e−j108,4◦
(j2)2 + 3(j2) + 2
−2 + j6
yu(t) = 8 · 0,316 sin(2t − 108,4◦) · (t) =
1
= 2,528 sin(2t − 108,4◦) · (t) 1
T1 = 1[s], T2 = 0,5[s] ⇒ y(t) = yu(t) po ok. 4[s]
yp(t) = (k1e−t + k2e−2t) · (t) → 0 przy t → ∞
1
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 2
'
$
2.
Charakterystyka amplitudowo-fazowa (wykres Nyquista)
b
G(s) = msm + bm−1sm−1 + · · · + b1s + b0 , m 6 n (4) ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0
G(jω) = G(s)|s=jω =
(5)
b
= m(jω)m + bm−1(jω)m−1 + · · · + b1(jω) + b0
an(jω)n + an−1(jω)n−1 + · · · + a1(jω) + a0
G(jω) = P (ω) + jQ(ω) = |G(jω)|ejϕ(ω) (6)
P (ω) = Re[G(jω)],
|G(jω)| = pP 2(ω) + Q2(ω),
Q(ω)
Q(ω) = Im[G(jω)],
ϕ(ω) = arctg
.
P (ω)
Im[ G( j w)]
P(w)
Re[ G( j w)]
wg 8
w=0
j(w )
1
w
| G( j w )|
1
Q(w)
w1
Rys. 2
(0 6 ω < ∞)
u(t) = A sin ω1t ⇒ y(t) = A|G(jω1)| sin(ω1t + ϕ(ω1))
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 3
'
$
a(ω) + jb(ω)
(a + jb)(c − jd)
G(jω) =
=
=
(7)
c(ω) + jd(ω)
c2 + d2
ac + bd
bc − ad
=
+ j
= P (ω) + jQ(ω),
c2 + d2
c2 + d2
a(ω) = b0 − b2ω2 + b4ω4 − b6ω6 + . . . , b(ω) = b1ω − b3ω3 + b5ω5 − b7ω7 + . . . , c(ω) = a0 − a2ω2 + a4ω4 − a6ω6 + . . . , d(ω) = a1ω − a3ω3 + a5ω5 − a7ω7 + . . . , a(ω) − jb(ω)
G(−jω) = P (−ω) + jQ(−ω) =
=
(8)
c(ω) − jd(ω)
ac + bd
ad − bc
=
+ j
= P (ω) − jQ(ω),
c2 + d2
c2 + d2
P (−ω) = P (ω)
− funkcja parzysta,
Q(−ω) = −Q(ω)
− funkcja nieparzysta
Im[ G( j w)]
Re[ G( j )]
w
wg
w
8
g
wg- 8
w=0
w
Rys. 3
(−∞ < ω < ∞)
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 4
'
$
Przykład (element inercyjny 1-go rzędu) k
k(1 − jωT )
G(jω) =
=
=
1 + jωT
1 + ω2T 2
k
kωT
=
− j
= P (ω) + jQ(ω)
1 + ω2T 2
1 + ω2T 2
ω > 0
→
P > 0, Q 6 0
→
IV ćw.
k
k
k − P
P =
→
1 + ω2T 2 =
→
ω2T 2 =
1 + ω2T 2
P
P
k − P
k2ω2T 2
k2
Q2 =
=
P
= P (k − P )
(1 + ω2T 2)2
k2/P 2
k2
k2
Q2 + P 2 − kP = 0 →
P 2 − kP +
+ Q2 =
4
4
k 2
k 2
P −
+ Q2 =
,
Q 6 0
2
2
Im[ G( j w)]
k/2
k
wg 8
w=0
Re[ G( j w)]
w
- k/2
w=1/ T
Rys. 4
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 5
'
$
Q(w)
k
k
Q(w)
3
2
k 1
k
wg 8
P(w)
wg 8
w=0
P(w)
w
w
w=1/ T , 1/ T , 1/ T
1
2
3
(a) k = var, k3 < k2 < k1
(b) T = var
Rys. 5
Przykład (element inercyjny n-tego rzędu) k
G(jω) =
,
n = 1, 2, 3, . . .
(1 + jωT )n
Q( )
w
k
wg 8
w=0
n=3
P( )
w
n=1
w
n=2
Rys. 6
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 6
'
$
Własności charakterystyki a-f b
1.
G(jω) = m(jω)m + · · · + b1(jω) + b0 =
(m 6 n)
an(jω)n + · · · + a1(jω) + a0
b
= m(jω)m−n + · · · + b1(jω)1−n + b0(jω)−n (9)
an + · · · + a1(jω)1−n + a0(jω)−n G(jω) → bm/an + j0 przy jω → ∞ gdy m = n G(jω) → 0 + j0 przy jω → ∞ gdy m < n k(1 + jωT
2.
G(jω) =
a)(1 + jωTb) . . .
(10)
(jω)λ(1 + jωT1)(1 + jωT2) . . .
(a) λ = 0 :
G(j0) = b0/a0 + j0
1
π
(b) λ = 1 :
→ ∆ϕ = −
przy 0 6 ω < ∞
jω
2
1
(c) λ = 2 :
→ ∆ϕ = −π przy 0 6 ω < ∞
(jω)2
Q( )
w
Q(w)
l=2
w=0
w
w
g 8
g 8
P(w)
P(w)
wg0
w
l=1
l=0
wg0
wg0
wg0
(a)
(b)
Rys. 7
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 7
'
$
3.
Charakterystyki logarytmiczne (wykresy Bodego)
Lm(ω) = 20 lg |G(jω)|
[dB = decybel]
(11)
(Lm(ω) = 1[dB] → 20 lg |G(jω)| = 1 →
→ |G(jω)| = 101/20 ≈ 1,22 → ymax/umax ≈ 1,22
ϕ(ω) = arg(G(jω))
(12)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
lg w
-3
-2
2
3
4
w
10
10
0,1
1
10
10
10
10
0
0,3
0,6
0,78 0,9 1
lg w
w
1
2
4
6
8
10
Rys. 8
Lm(w)
lg w
j(w)
lg w
-p
Rys. 9
&
%
Układy regulacji automatycznej 1
http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww