Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 1
'
$
3.
Charakterystyki logarytmiczne (wykresy Bodego) – c.d.
lg ω
ω
oktawa → ω
b − lg ωa
b
2 = 2ω1 →
= 3,32 lg
(13)
lg 2
ωa
lg ω
ω
dekada → ω
b − lg ωa
b
2 = 10ω1 →
= lg
(14)
lg 10
ωa
Przykład (element inercyjny 1-go rzędu)
|k|
G(jω) = 1 + jωT
|k|
|G(jω)| = √
,
ϕ(ω) = −arctg(ωT ) (k > 0) 1 + ω2T 2
|k|
√
Lm(ω) = 20 lg √
= 20 lg |k| − 20 lg 1 + ω2T 2
1 + ω2T 2
1
dla ω ≪ 1/T
1 + ω2T 2 =
ω2T 2
dla ω ≫ 1/T
1
dla ω < 1/T
1 + ω2T 2 ≈
ω2T 2
dla ω > 1/T
20 lg |k| − 20 lg 1
dla ω < 1/T
Lm(ω) ≈
√
=
20 lg |k| − 20 lg
ω2T 2
dla ω > 1/T
20 lg |k|
dla ω < 1/T
=
20 lg |k| − 20 lg(ωT )
dla ω > 1/T
&
%
Układy regulacji automatycznej http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 2
'
$
Lm(ω) = Lm1(ω) + Lm2(ω),
Lm1(ω) = 20 lg |k|
(
0
dla ω < 1/T
Lm2(ω) =
−20 lg(ωT ) dla ω > 1/T
−20 lg(ωT ) = −20 lg ω + 20 lg(1/T ) = 0 dla ω = 1/T
Lm( )
w
3 dB
20 lg|k|
Lm ( )
w
|k|>1
1
lg w
w=1/ T
-20 dB/dek
Lm ( )
w
2
j w
( )
lg w
w=1/(10 T)
w=10/ T
w=1/ T
Q(w)
k
P( )
w
-p/4
w
w=1/ T
-p/2
Rys. 10
Lm(10ωx) − Lm(ωx) = 20 lg |k| − 20 lg(10ωxT ) − 20 lg |k|+
ω
dB
dB
+ 20 lg(ω
xT
xT ) = 20 lg
= −20
= −6
10ωxT
dek
okt
ϕ(ω) = −arctg(ωT ) dla k > 0
ϕ(1/T ) = −π/4,
ϕ(0) = 0,
ϕ(∞) → −π/2
∆Lm(ω) = Lmdokl(ω) − Lmasympt(ω)
∆Lm(1/T ) = 20 lg |k| − 20 lg p1 + (T/T )2−
√
− 20 lg |k| + 20 lg(T/T ) = −20 lg 2 = −3,03[dB]
&
%
Układy regulacji automatycznej http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 3
'
$
0
∆Lm [dB]
−1
−2
−3
1/(10T)
1/(2T)
1/T
2/T
ω [rad/s] 10/T
Rys. 11
1
∆Lm
= −3,03[dB]
T
s
1
T 2
∆Lm
= −20 lg
1 +
+ 0 =
2T
2T
√5
= −20 lg
= −0,97[dB]
2
s
2
2T 2
2T
∆Lm
= −20 lg
1 +
+ 20 lg
=
T
T
T
√
= −20 lg 5 + 20 lg 2 = −0,97[dB]
Zalety charakterystyk logarytmicznych G(jω) = G1(jω)G(jω)G3(jω)
Lm(jω) = Lm1(jω) + Lm2(jω) + Lm3(jω) ϕ(jω) = ϕ1(jω) + ϕ2(jω) + ϕ3(jω)
&
%
Układy regulacji automatycznej http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 4
'
$
Przykład (element proporcjonalny) G(jω) = k = k + j0
(
0
dla k > 0
Lm(ω) = 20 lg |k|,
ϕ(ω) =
−π dla k < 0
Q(w)
Lm(w)
20 lg |k|
k
lg w
0
P(w)
k>1
j(w)
k>0
lg w
(a)
(b)
Rys. 12
Przykład (element całkujący idealny) k
k
h · i
G(jω) =
= −j ,
k > 0,
k
jω
ω
s
G(j0) → 0 − j∞,
G(j∞) → 0 + j0
Lm(ω) =20 lg k − 20 lg ω,
ϕ(ω) = −π/2
Q(w)
Lm(w)
wg 8
k
lg w
P(w)
-20 dB/dek
j(w)
lg w
wg0
-p/2
(a)
(b)
Rys. 13
&
%
Układy regulacji automatycznej http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 5
'
$
Przykład (element całkujący rzeczywisty) k
k(−ω2T − jω)
G(jω) =
=
=
jω(1 + jωT )
ω2(1 + ω2T 2)
−kT
−k
=
+ j
,
k > 0
1 + ω2T 2
ω(1 + ω2T 2)
G(j0) → −kT − j∞,
G(j∞) → 0 + j0
k
1
G(jω) = G1(jω) · G1(jω) =
·
,
jω 1 + jωT
Lm(ω) = Lm1(ω) + Lm2(ω),
Lm1(ω) = 20 lg k − 20 lg(ω), (
0,
ω < 1/T
Lm2(ω) = −20 lg(1 + ω2T 2) ≈ −20lg(ωT), ω > 1/T
ϕ(ω) = ϕ1(ω) + ϕ2(ω) = −π/2 − arctg(ωT ) Q(w)
Lm(w)
k
lg w
1/ T
- kT
wg 8
Lm2
-20 dB/dek
P(w)
Lm1
-40 dB/dek
j(w)
lg w
j2
-p/2
j1
-3p/4
wg0
-p
(a)
(b)
Rys. 14
&
%
Układy regulacji automatycznej http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 6
'
$
4.
Stabilność ci ˛
agłych liniowych układów dynamicznych u(t -
)
-
y(t)
G1(s)
+
6
−
G2(s)
Rys. 15
L
L
G
1(s)
2(s)
1(s) =
,
G
,
M
2(s) =
1(s)
M2(s)
Y (s)
G
G(s) =
=
1(s)
=
(15)
U (s)
1 + G1(s)G2(s)
L
L(s)
=
1(s)M2(s)
=
,
M1(s)M2(s) + L1(s)L2(s)
M (s)
M (s) = 0 − równanie charakterystyczne b
(s − z
G(s) = msm + · · · + b1s + b0 = k 1)(s − z2) . . . (s − zm)
ansn + · · · + a1s + a0
(s − s1)(s − s2) . . . (s − sn) (16)
b
z
m
1, . . . zm − zera transm., s1, . . . sn − bieguny,
k = an
m
k Q (s − zi)
G(s) =
i=1
,
q
(17)
r
Q (s − s Q
j )
[s2 + 2σls + (σ2 + ω2)]
l
l
j=1
l=1
q + 2r = n,
bieguny pojedyncze
"
q
r
#
X
X B
g(t) =
A
l
j esj t +
eσlt sin(ω
(t)
(18)
ω
lt + θl)
1
j=1
l
l=1
Aj, Bl, θl są stałymi zale żnymi od k, zi, sj, σl, ωl
&
%
Układy regulacji automatycznej http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 7
'
$
Im s
g t
( )
g t
( )
j
Im s
l
sl 1
w l
s <0
Re s
j
Re s
s
s
0
t
j
0
l
0
s
-w l
s <0
l 2
l
0
t
g t
( )
j
Im s
Im s
g t
( )
l
s = j w
l 1
l
Re s
Re s
t
s
s =0
0
j
j
0
t
s =0
0
l
s =- j w
l 2
l
g t
( )
j
Im s
Im s
g t
( )
l
sl 1
w l
Re s
Re s
t
0
s
s
0
j
0
l
s >0
j
-w l
sl 2
s >0
0
l
t
Rys. 16
je żeli biegun sj jest p-krotny, to wtedy:
A
A
L
j
j
−1
=
tp−1esjt (t) (ogranicz. ampl. dla s (s − s
j < 0)
1
j )p
(p − 1)!
(19)
u(t) = A sin(ωlt) (t)
1
&
%
Układy regulacji automatycznej http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww
Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 2, str. 8
'
$
Przykład
Y (s)
2
G(s) =
=
→
ω
U (s)
(s + 10)(s2 + 16)
l = 4 [rad/s]
u(t) = sin(4t) (t),
y(t) =?
1
omega = 4; % [rad/s]
G = tf(2,conv([1 10],[1 0 16])); t = 0:0.1:60; u = sin(omega*t); y = lsim(G,u,t); plot(t,y)
1.5
0.05
1
0.5
0
ω=4 [rad/s]
0
ω=5 [rad/s]
−0.5
y(t) dla
y(t) dla
−1
−1.5
−0.05
0
10
20
30
40
50
60 t [s]
0
10
20
30
40
50
60
t [s]
Rys. 17
5.
Redukcja rzędu modelu układu dynamicznego k
T
G(s) =
→ h(t) = k 1 − 1e−t/T1 − T2e−t/T2
(t)
(1 + sT
1
1)(1 + sT2)
T1 − T2
s1 = −1/T1, s2 = −1/T2,
zał. T2 ≪ T1 → s2 ≪ s1
k
h(0) = 0, h(∞) = k → hred(t) = k(1 − e−t/T1) (t) → Gred =
1
1 + sT1
Im s
b
a
Re s
zera i bieguny
zera i bieguny
nieznacz¹ce
dominuj¹ce
|b|=(5...10) |a|
Rys. 18
&
%
Układy regulacji automatycznej http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww