Energia kinetyczna i potencjalna członu sztywnego

- Energia kinetyczna

Dla sformułowania równań Lagrange’a manipulatora jako układu wieloczłonowego, potrzebna jest prosta i wygodna postać lagrangianu zawierającego opis energii kinetycznej i potencjalnej układu. Traktując człon sztywny jako przestrzenny zbiór punktów posiadających masę i połączonych ze sobą nieodkształcalnymi bezmasowymi prętami zawarty w przestrzeni ograniczonej geometrią członu o gęstości rozkładu masy 

(masie jednostkowej odniesionej do jednostki objętości), w obrębie przestrzeni B zajmowanej przez człon o objętości V można napisać:

 x, y z dxdydz  m



,

B

gdzie m jest masą członu. Należy zaznaczyć, że B jest obszarem przestrzeni trójwymiarowej zajmowanej przez człon i oznacza granice obszaru całkowania powyższego wyrażenia. W podobny sposób można wyrazić energię kinetyczną członu:

1

1

K 

vT  x, y, zv x,y,z  x, y, z dxdydz v T  x, y, zv x,y,z dm







2

2

B

B

gdzie dm opisuje elementarny element masowy w punkcie o współrzędnych  x, y, z. Jeśli rozpatrywany człon pozostaje w ruchu ogólnym w przestrzeni, to jego różne punkty z całego obszaru B zazwyczaj poruszają się z różnymi prędkościami, jednak z zachowaniem wzajemnych relacji wynikających z faktu że człon jest sztywny tzn. nieodkształcalny. Chwilowy ruch ogólny ciała sztywnego w przestrzeni trójwymiarowej można rozpatrywać jako chwilowy ruch czystego obrotu względem pewnego chwilowego środka obrotu albo równoważne mu złożenie chwilowego ruchu translacyjnego i chwilowego obrotu względem środka masy członu. Opis matematyczny w tym drugim przypadku jest prostszy i łatwiejszy do interpretacji, gdyż sposób wyprowadzenia równań jest łatwiejszy a uzyskane równania mają prostszą postać i dają się łatwiej analizować.

Wyznaczmy środek masy członu

1

1

1

x 

xdm

y 

ydm

z 

zdm

c



c



c



m

m

m

B

B

B

Co wobec r   x,y,z można wyrazić w postaci: 1

r 

d

r m

c



m B

Albo

r  r

c

 dm  0



B

Załóżmy że rozpatrywany człon pozostaje w ruchu dowolnym. Układ współrzędnych zwiążmy ze środkiem jego masy. W trakcie ruchu prędkość dowolnego punktu członu wyrażą się zależnością: v  v    r

c

Jest to zależność na prędkość punktu względem układu inercjalnego wyrażoną w układzie inercjalnym.

Układ współrzędnych związany ze środkiem masy członu porusza się wraz z członem, więc powyższy wzór należy wyrazić w tym ruchomym układzie współrzędnych. Oznaczając macierz obrotu przekształcenia wektora z tego układu ruchomego do inercjalnego przez R , prędkość punktu o współrzędnych r względem układu ruchomego można wyrazić: R T v    r

T

T

T





 

c

 R vc R

 R r

Warto tu zauważyć, że przy wyznaczaniu energii kinetycznej nie ma znaczenia w jakim układzie został

wyrażony wektor prędkości, gdyż przy zmianie układu moduł (długość) wektora nie ulega zmianie.

Prędkość dowolnego punktu członu w obszarze B można wyrazić v  v  S

c

  r

gdzie

 0

 

 

z

y





S     

0

 

z

x 

 



0 



y

x



jest skośniesymetryczną macierzą przekształcenia wektora prędkości kątowej między układami współrzędnych.

Energię kinetyczną można więc zapisać w postaci:

1

T

K 

v  S 



c

 r v

S

c

 r dm





2 B

Rozwijając iloczyn wewnątrz całki dostaniemy cztery wyrażenia,

-

pierwsze

1

1

v T v dm 

v T

m

v

c

c

c

c



2

2

B

gdyż prędkość v jest niezależna od zmiennej całkowania i może być wyłączona przed całkę. Wyrażenie c

to przedstawia energię kinetyczną punktu materialnego o masie m umieszczonego w punkcie środka masy C i poruszającego się z prędkością v . Jest to część energii kinetycznej członu dotyczącej jego translacji w c

ruchu z chwilową prędkością v ,

c

-

drugie

1

T

v S  d

r m

v S 

d

r m

c

 

1



T

c

 

 0





2

2

B

B

ponieważ

dm

r

 0



, gdyż początek układu współrzędnych przyjęto w środku ciężkości członu C.

B

-

trzecie

1

T

T

r S   v

 0



dm

2

c

B

-

czwarte

1

T

r ST   S   dm : K

4



r

2 B

Teraz wykorzystując związek, że dla dowolnych macierzy A i B zachodzi TrAB  TrBA, gdzie Tr oznacza ślad macierzy, oraz dla dowolnych wektorów a i b zachodzi T

a b  Tr T

ab . Wykorzystując te

zależności możemy przekształcić K :

4

1

1

1

K 

T S

r





,

4

   T T

rr S    dm

TrS  

T

T

rr dmS   

TrS  

T

JS   





2

2

2

B

B

gdzie J jest macierzą o wymiarach 3  3 zdefiniowaną według zależności J  rr T dm

B

Macierz J można przedstawić w postaci pełnej jako

 x 2 dm

xydm

xzdm











J   xydm

y 2 dm

yzdm









2



 xzdm

yzdm

z dm









Wstawiając S   w postaci

 0

 

 

z

y

S  





  

0

 

z

x 

 



0 



y

x



do zależności na K i wyznaczając ślad iloczynu trzech macierzy otrzymamy: 4

1



 T

K

I 

4

2

Wyrażenie to stanowi część energii kinetycznej członu dotyczącą jego obrotu w ruchu z chwilową prędkością kątową  ,

gdzie I jest macierzą wymiarach 3  3 zdefiniowaną następująco:

  y 2  z 2  dm

 xydm

 xzdm













I    xydm

 x 2  z 2  dm

 yzdm











 xzdm

 yzdm

 x 2  y 2  



dm











Wobec tego całkowita energia kinetyczna członu wyraża się zależnością 1

1

K 

v T

m

v   T 

I

c

c

2

2

Pierwszy składnik wzoru stanowi część translacyjną energii kinetycznej członu i jest to energia kinetyczna punktu materialnego o masie m umieszczonego w środku masy poruszającego się z chwilową prędkością v , natomiast drugi stanowi część obrotową energii kinetycznej członu obracającego się względem środka c

ciężkości z prędkością kątową  , przy czym ponieważ iloczyn potrójny  T I  jest taki sam w dowolnym układzie, więc macierz bezwładności I najkorzystniej jest wyznaczać względem układu współrzędnych związanych z członem (jest wtedy niezależna od stanu ruchu), wtedy prędkość kątową 

należy wyznaczać również w tym samym układzie współrzędnych związanych z członem. Jeśli więc człon ma w układzie inercjalnym prędkość kątową  i R jest macierzą obrotu przekształcającą wektory z 0

układu współrzędnych członu do układu inercjalnego, to prędkość kątowa członu w układzie współrzędnych członu wyrazimy zależnością



T

 R 

0

Dla manipulatora o strukturze szeregowej (w tym przegubowego) składającego się z n członów prędkości liniowe i kątowe dowolnego punktu na dowolnym członie można wyrazić z wykorzystaniem jakobianu i pochodnych zmiennych przegubowych. Przyjmując jako współrzędne uogólnione zmienne przegubowe manipulatora i oznaczając odpowiednio macierze jakobianowe dotyczące wektorów prędkości liniowych środków ciężkości członów i ich prędkości kątowych przez J

i J

możemy zapisać:

vci

i



v

 J

 ,

  R T

i

i q J



i qq

ci

v ci q q

w ostatnim wyrażeniu macierz R T

zapewnia opis prędkości w odpowiednim układzie współrzędnych i q

związanych z członem. Znając masę m i-tego członu manipulatora oraz macierz bezwładności I tego i

i

członu wyznaczoną względem układu współrzędnych równoległego do układu i ale o początku w środku masy członu C całkowitą energię kinetyczną manipulatora można określić z zależności i

n

1

T

T

T

K 

q T  m

i J



 

vci q J vci q

J i q Ri qIi R i q J i  q q 2

i 1

A więc energię kinetyczną manipulatora można przedstawić w postaci 1



q T

K



D qq

2

gdzie



D q jest macierzą symetryczną dodatnio określoną, zależna od konfiguracji. Macierz tę nazywamy macierzą bezwładności manipulatora.

- Energia potencjalna

Jeżeli rozpatrywać będziemy dynamikę manipulatora z członami nieodkształcalnymi, tj. sztywnymi w polu grawitacyjnym, to energia potencjalna jest zależna jedynie od siły ciężkości. Oznaczając przez g stałą grawitacji (wektor przyśpieszenia w polu grawitacyjnym) energię potencjalną punktu materialnego o masie elementarnej dm w punkcie opisanym wektorem r można opisać przez T

g

dm

r

. Człon o geometrii B

posiada więc energię potencjalną opisaną wzorem:

V

T

 g

dm

T

r

 g

dm

T

r

g



r m

c





B

B

Jak widzimy energia potencjalna członu o masie m jest zależna od masy i położenia środka ciężkości członu i jest identyczna jak punktu materialnego o takiej samej masie skupionego w środku masy członu.

Energia potencjalna zależy od q i nie zależy od q

 , nie zależy więc bezpośrednio od stanu ruchu członu.

Równania ruchu

Załóżmy, że

- energia kinetyczna jest funkcją kwadratową wektora q

 o postaci:

n

1

1

K 

d

q q :



ij q   

q T

i

j



D qq

2 i, j

2

gdzie macierz



D q jest macierzą bezwładności, symetryczną i dodatnio określoną o wymiarach n  n dla każdego

n

q  R , natomiast

- energia potencjalna V  V q jest niezależna od q .

Mechanizmy manipulatorów robotów spełniają powyższe warunki.

Przy wprowadzonych założeniach lagrangian ma postać:

n

1

L  K  V 

d

q q q

V q

i , j 

 i j

 





2 i, j

Wobec tego

 L



d

q q

kj 







j

q k

j

d

L



d

d

 kj



d

q q

 

d

q q 

d

q q

 

q q



kj 

 j 

kj 

 j  kj   j 

i

j

dt q

 

dt

,

q



k

j

j

j

i j

i

oraz

L



1

 dij

V





q q 



i

j

q



2 ,  q

q



k

i j

k

k

Teraz równania Lagrange’a można zapisać w postaci

  d

1 d





kj

ij

V



d

q q

 





q

 q 

 





,

k  ,

1 ..., n

kj 

 j 

i

j

k



2

,

q



q 



 q

j

i j 

i

k 

k

Zmieniając kolejność sumowania i wykorzystując symetrię zachodzi związek:

  d

1

d

kj 

  kj

 d 



 q q 

ki

 





q q

i

j









 i j

2

,

q

,

q

q

i j   i 

i j  



i

j 

i stąd

  d

1  d

1

d

d

d

kj

ij 

  kj







ij





 q q 

ki

 





q q

i

j

 









 i j

2

2

,

q

q

,

q

q

q

i j  



i

k 

i j

 





i

j

k 

W ostatniej zależności pod znakiem sumy po prawej stronie występują wyrażenia:



1  d

d

d

kj







ij

c



:





ki 



ijk





2   q

 q

 q

i

j

k 

które nazywamy symbolami Christoffela pierwszego rodzaju. Wartości tych symboli przy ustaleniu wskaźnika k spełniają zależność c

 c , co zmniejsza nakład pracy przy ich wyznaczaniu. Jeśli ponadto ijk

jik

zdefiniujemy funkcję:

V



 

,

k

q

 k

to równania Lagrange’a można zapisać w postaci:

d

q q

 

c

q q q  

 



q

,

k  ,

1 ..., n

kj 

 j  ijk   i j

k 



k

j

i , j

Równanie to zawiera trzy rodzaje członów; pierwszy zawiera drugą pochodną współrzędnych uogólnionych, drugi jest formą kwadratową pierwszych pochodnych współrzędnych uogólnionych q której współczynniki mogą zależeć od wektora q, człony zawierające kwadraty współrzędnych uogólnionych są nazywane odśrodkowymi, a zawierające iloczyny różnych współrzędnych uogólnionych q q dla i  j są i

j

nazywane składowymi Coriolisa. Trzeci typ członów jest zależny od wektora współrzędnych uogólnionych q ale nie od jego pochodnych. Powstają one przez różniczkowanie zależności na energię potencjalną.

Ostatnią postać równań Lagrange’a zapisujemy zwykle w postaci macierzowej:



D qq

  

C q, qq  gq  

w której elementy macierzy



C q, q są opisane zależnościami:

n

n



1  d

d

d

kj







ij

c 

c

q q

q

kj

ijk 







i

 



ki 





 i

2

1

1

q

q

q

i

i













i

j

k 