RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENYCH
(w sensie Riemana)
Całka podwójna w prostokącie.
Niech
d
y
c
b
x
a
y
x
P
,
:
,
R
P
f :
f – funkcja ograniczona
a
b
P
c
d
P
2
P
3
P
1
P
k
P
n
y
x
Tworzymy następujący podział prostokąta P i oznaczamy
n
.
•
prostokąt P dzielimy na n prostokatów
k
P
o polach
n
k
k
,...,
1
,
•
w każdym z prostokatów
k
P
wybieramy punkt
k
k
k
k
P
y
x
A
,
•
następnie tworzymy sumę całkową
k
n
k
k
k
n
y
x
f
S
1
,
Wprowadzamy oznaczenia
d
k
– długość przekątnej prostokąta P
k
k
– średnica podziału
n
, gdzie
k
jest największą długością przekątnej;
k
n
k
n
d
1
max
:
Tworzymy ciąg podziałów
N
n
n
prostokąta P.
Definicja
Ciąg
N
n
n
nazywamy
ciągiem normalnym podziałów
, jeśli odpowiadający mu ciąg średnic
dąży do 0, tzn.
0
n
n
Definicja
(całki podwójnej)
Jeśli dla każdego ciągu normalnego podziałów prostokąta P ciąg sum całkowych
N
n
n
S
jest
zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów A
k
, to granicę tę
nazywamy
całką podwójną
funkcji
y
x
f ,
w prostokącie P i oznaczamy
P
d
y
x
f
,
Zatem
n
P
S
d
y
x
f
n
0
lim
:
,
.
Uwaga
Ograniczoność funkcji
y
x
f ,
jest warunkiem koniecznym istnienia całki, lecz nie jest to
warunek wystarczający.
Twierdzenie
(
o całkowalności funkcji dwóch zmiennych
)
Z:
)
,
( y
x
f
– funkcja ograniczona w prostokącie P oraz ciągła poza zbiorem miary 0,
tzn. poza zbiorem punktów, który można pokryć skończoną liczbą prostokątów
o dowolnie małej sumie pól (mniejszej niż ε).
T: f jest całkowalna w prostokącie P.
Wniosek
Z twierdzenia wynika:
1 f – ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem
funkcji
b
a
C
x
y
,
gdzie
),
(
f – całkowalna w P
Uzasadnienie:
zbiór
b
a
x
x
x
,
:
,
jest zbiorem miary
zero (można go pokryć skończoną liczbą
prostokątów o dowolnie małych polach)
2 f – ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem
funkcji
d
c
C
y
x
,
gdzie
),
(
f – całkowalna w P
c
d
x=ψ(y)
P
x
y
Wniosek
Funkcja może nie być ciągła na brzegu prostokąta, a mimo to będzie całkowalna.
a
b
y=φ(x)
P
x
y