1

Logika matematyczna i rachunek zbiorów

1. Uzupełnij tabelkę:

p

q

∼ p

∼ q

p ∧ q

p ∨ q

p ⇒ q

p ⇔ q

0

0

0

1

1

0

1

1

2. Przy pomocy tabelki zerojedynkowej udowodnij:

a) [∼ (p ∨ q)] ⇔ [(∼ p) ∧ (∼ q)]

b) [∼ (p ∧ q)] ⇔ [(∼ p) ∨ (∼ q)]

c) ∼ (p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ∼ q)

d) [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q

e) [(p ⇒ q)∧ ∼ q] ⇒∼ p

3. Znajdź wartość logiczną zdania p:

∨

x

[∼ (x 6= 0 ⇒ x

2

− x 6= 0)]

4. Wykaż, że działania dodawania i mnożenia zbiorów mają własność rozdzielności mnożenia względem doda-

wania.

5. Narysuj dwie proste k i l przecinające się dokładnie w jednym punkcie. Niech prosta k oznacza zbiór punktów

A, a prosta l – zbiór punktów B. Wyznacz graficznie:

a) A ∪ B

b) A ∩ B

c) A\B

d) B\A

6. Niech A będzie zbiorem dzielników naturalnych liczby 100, a B zbiorem parzystych dzielników tej liczby.

Znaleźć dopełnienie zbioru B do zbioru A.

7. Dane są zbiory: A = {1, 2, 4, 8, 16, 32},

B = {4, 8, 12, 16},

C = {1, 5, 8, 9, 13, 17}. Korzystając z symboli

A, B, C, ∪, ∩ uzupełnić prawe strony równości:

a) {1, 2, 4, 8, 16, 32} =?

b) {4, 8, 16} =?

c) {1, 2, 4, 5, 9, 13, 16, 17, 32} =?

d) {1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16, 17} =?

e) {8} =?

8. Niech W będzie zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny (W = R

2

). Niech A = {(x, y) : x

2

+ y

2

¬

4, x, y ∈ R} (koło o promieniu 2 i środku w punkcie (0, 0), zaś B – zbiorem punktów prostokąta określonego
nierównościami: 0 < x < 3 ∧ 0 < y < 3. Zaznacz na płaszczyźnie:

a) A ∪ B

b) A ∩ B

c) A

0

(A

0

= W \A)

d) B

0

2

Indukcja matematyczna

1. Udowodnij, że dla n ­ 1, n ∈ N:

a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) = n

2

b)

1

1·4

+

1

4·7

+ · · · +

1

(3n−2)·(3n+1)

=

n

3n+1

c) 3 | 4

n

+ 5 (3 jest dzielnikiem 4

n

+ 5)

d) 133 | 11

n+2

+ 12

2n+1

e) 2

n

­ n

2

(dla n ­ 4)

f) 3 | n

3

+ 2n

g) 3 | 10

n

+ 4

n

− 2

1

3

Wzór dwumianowy Newtona

1. Udowodnij:

n
k

+

n

k+1

=

n+1
k+1

2. Dla jakich n ∈ N 5 ·

n+2

2

− 14 ·

n+1

1

+ 12 ¬ 0

3. Znaleźć 29 wyraz rozwinięcia dwumianu (

√

x + 1)

30

4. Suma współczynników trzeciego i czwartego wyrazu rozwinięcia (x − 1)

n

wynosi 120. Wyznaczyć ósmy wyraz

tego rozwinięcia.

5. Znaleźć taki wyraz rozwinięcia dwumianu (

3

√

x +

2

x

)

12

, w którym nie występuje x.

4

Funkcje elementarne

1. Wykonaj działanie:

3a

a

3

− 8

:

a

2

− 4

4(a

2

+ 2a + 4)

2. Uprość wyrażenie:

a

2

+ a + 2

a

n+1

− 3a

n

·

"

(a + 2)

2

− a

2

4a

2

− 4

−

3

a

2

− a

#

3. Przedstaw w najprostszej postaci:

a

−1

+ b

−1

+ 2(

√

a +

√

b)

−1

· (a

−

1
2

+ b

−

1
2

)

ab−a

√

ab

a+

√

ab

−1

4. Usuń niewymierność:

1

2 +

√

5 + 2

√

2 +

√

10

5. Uprość:

x

2

+

1

x

x +

1

x

− 1

6. Zapisz wyrażenie

81 ·

1
9

· 27

1
2

(

3

√

3)

6

· 9

−2

jako potęgę o podstawie 3.

2

7. Usuń niewymierność:

a)

1

3

√

2

b)

1

√

5+

√

2

c)

1

√

5−1

d)*

1

√

2+

√

7+

√

11

e)*

1

3

√

2+1

f)*

1

3

√

3−

√

5

5

Wartość bezwzględna

1. Rozwiąż równanie: |x + 1| + 2 · |x + 3| = 2

2. Wyznacz x spełniające nierówności:

a) |4 − x| > 1

b) |3x − 1| ¬ 1

c) |x − 3| < 4x

d) |2 − x| − |2x + 3| ­ −4

e) 3 · |x + 1| + 2 < |2x − 1|

f) |x + 1| − |2x − 2| ¬ 3x − 1

3. Narysuj wykres funkcji:

f (x) =

p(x − 1)

2

x − 1

4. Wyznacz x spełniające równanie:

|x + 1| − 2

= 0

6

Funkcje liniowe. Układy równań liniowych

1. Zaznacz na układzie współrzędnych punkty spełniające warunek:

a) y = 2x + 1

b) y > 2x + 1

c) y ¬ 2x + 1

2. Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie układu

2x + 3y = 4
4x + my = 2m

jest parą liczb dodatnich?

3. Dla jakiego m układ jest oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny?

(m − 1)x + 2y = 1
x + my = 1

4. Rozwiązać graficznie:







x + 3y < 1
x − y ­ −2
2x − 3y + 1 < 0

5. Naszkicować wykres funkcji y =

|x + 1| − 2

6. Wyznaczyć zbiór pnktów płaszczyzny spełniający równanie |x + y| = |y| − x

7. Rozwiązać równanie:

x+a

b

−

b

a

=

x−b

a

+

a

b

8. Dwie koparki pracując wspólnie wykonują pewną pracę w ciągu 12 dni. Pierwsza koparka wykonałaby tę

pracę w ciągu 20 dni, gdyby pracowała sama. W ciągu jakiego czasu wykonałaby tę pracę druga koparka,
gdyby pracowała sama?

9. Zmieszano dwa rodzaje roztworów HCl: pierwszy o stężeniu 10%, drugi o stężeniu 25% i otrzymano 12 litrów

roztworu HCl o stężeniu 15%. Obliczyć, ile litrów każdego z dwóch rodzajów roztworów użyto do mieszaniny.

10. Rozwiąż:

3x−5

2

>

x+4

5

− 2x

11. Rozwiąż:

3x − 10 > 5 − 2x
1 − 2x ¬ 3

12. Rozwiąż:

|x + 1| + |y − 5| = 1
y = 5 + |x + 1|

3

7

Funkcja kwadratowa

1. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji y = 2x

2

+ 2x − 4 w przedziale < 0;

1
2

>

2. Wyznaczyć współczynniki a, b, c trójmianu kwadratowego f (x) = y = ax

2

+ bx + c wiedząc, że dla x = 1

funkcja f (x) osiąga największą wartość y = 4 oraz że do jej wykresu należy punkt A(2, −6).

3. Dany jest trójmian kwadratowy y = x

2

− 2

√

3x + 1. Obliczyć sumę kwadratów odwrotności miejsc zerowych

tego trójmianu.

4. Rozwiąż równania dwukwadratowe:

a) x

4

− 6x

2

− 7 = 0

b) x

4

− 13x

2

+ 36 = 0

c) x

4

+ 5x

2

+ 6 = 0

d) x

4

− 5x

2

+ 3 = 0

5. Wyznacz dziedzinę, a następnie rozwiąż:

a) x +

√

x + 2 = 1

b) 4x −

√

x − 3 = 26

c)

√

x + 10 + 1 = 3x

d*)

√

x

2

+ 4x + 4 ¬ −x

2

+ 4

6. Znajdź liczbę rozwiązań równania (m

2

− 1)x

2

+ (m + 1)x + 1 = 0 z parametrem m. Narysuj wykres funkcji

y = g(m), która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań tego równania.

Wielomiany jednej zmiennej

1. Dane są wielomiany:

W (x) = x

4

+ 6x

3

+ 2x

2

− 18x − 15

V (x) = 12x

3

− 8x

2

− 3x + 2.

a) rozłóż W (x) oraz V (x) na czynniki pierwsze (tzn. przedstaw w postaci iloczynowej),

b) rozwiąż nierówność W (x) ¬ 0

c) rozwiąż V (x) > 0

2. Dane są wielomiany

P (x) = x

5

− 8x

4

+ 16x

3

+ 2x

2

− 7x − 1

Q(x) = x

2

− 4x + 1.

Wykonaj dzielenie

P (x)
Q(x)

.

3. Wykonaj dzielenie: (x

3

− 14x − 15) : (x + 3)

4. Oblicz resztę ilorazu (4x

3

− 12x

2

+ 11x − 8) : (2x − 3) nie wykonując dzielenia.

5. Oblicz pierwiastki wielomianu W (x) wiedząc, że jest on podzielny przez dwumian V (x):

W (x) = x

3

+ 6x

2

+ 6x + 5

V (x) = x + 5

6. Rozwiąż nierówność: 3x

4

+ 2x

3

− 13x

2

− 8x + 4 ¬ 0

7. Dla jakiego a i b liczby 1 i −2 są pierwiastkami wielomianu

W (x) = x

4

− 2x

3

+ x

2

+ ax + b?

8. Rozwiąż równanie: 3x

3

− 10x

2

− 5x + 2 = 0

8

Funkcja potęgowa

1. Wyznacz dziedzinę, a następnie rozwiąż:

a) x

5

> x

3

b) x

−2

­ x

−3

c) −1 ¬ x

3

< 8

d) x

−2

­ x

−1

2. Rozwiąż równanie

p

x + 3 +

√

2x + 9 = 4 metodą analizy starożytnych.

4

3. Rozwiąż nierówność 3x − 2

√

x − 1 ¬ 0

4. * Wyznacz dziedzinę i rozwiąż:

a)

√

25 − x

2

+

√

x

2

+ 7x > 3

b)

√

x + 24 >

√

x + 4 +

√

2x − 20

5. Rozwiąż równanie

p

x + 4 − 2

√

x + 3 +

p

x + 7 − 4

√

x + 3 = 1

korzystając z podstawienia

√

x + 3 = t.

9

Trygonometria

1. Sprawdzić tożsamość: sin 2x =

2

tg x+ctg x

2. Obliczyć sin 2x jeśli ctg x = −

8

15

,

x ∈ (

3
2

π; 2π).

3. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f (x) = log(

√

3 − tg x)

4. Obliczyć: cos

2

105

◦

− sin

2

105

◦

5. Rozwiązać graficznie: | sin x| ¬ | cos x|

6. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji danej wzorem

f (x) = sin 2x − cos

π

6

+ 2x

7. Rozwiązać równanie:

2

cos

2

x

2

sin

2

x

=

√

2

8. Wyznacz k, dla których istnieje rozwiązanie równania sin 2x =

2k−3

k−4

9. Naszkicuj wykres funkcji f (x) =

| cos x|

2 cos x

10. Zbadaj okresowość funkcji f (x) = sin 3x

11. Uprościć wyrażenie:

q

sin

2

α(1 + ctg α) + cos

2

α(1 + tg α)

12. *Wyznaczyć związek między a i b, jeżeli

a = sin x + cos x
b = sin

3

x + cos

3

x.

10

Funkcja wykładnicza

1. Rozwiąż równania:

a) 4

x−5

· 16

x+3

= 64

b) 2

x−4

= (

√

2)

2−3x

c) 2

2x

+ 4

x

= 2 · 5

x

d) 2

3x

· 7

x−2

= 4 · 4

x

e) 7 · 3

x+1

− 5

x+2

= 3

x+4

− 5

x+3

f) 8

1
4

x

2

−

2
3

x−

7
6

=

√

2

2. Rozwiąż układ równań:

2

2x

+ 3

y

= 13

2 · 4

x

− 3

y

= −1

3. Określ liczbę pierwiastków równania: (

1
2

)

x

= x + 3

4. Sporządź wykres funkcji f (x) =

(

1
3

)

x+2

5

5. Wyznacz dziedzinę, a następnie rozwiąż:

a) (

1
2

)

2−3x

x+1

=

√

32

b) (0, 125)

x

· (

4

√

2

)

3−x

= 8

1−x

c) 3 · 4

x

+

1
3

· 9

x+2

= 6 · 4

x+1

−

1
2

· 9

x+1

d)

1

2

x

−1

=

1

2−4

x−1

e) 2

4

√

3

x

+ 5

√

3

x

= 51

f) 3

x−3

3x−2

<

1
3

g)

1

2

x

−1

­

1

1−2

x−1

h) (

5
3

)

x

2

−3x

< (0, 6)

x

2

+2x−6

i) (

1
2

)

x

2

−3

· 2

2x+1

­ 4

3−x

j)* (x − 1)

x

4

−4x

3

+3x

2

< 1

11

Funkcja logarytmiczna

1. Oblicz: log 5 · log 20 + log

2

2

2. Wyznacz dziedzinę funkcji:

a) f (x) =

2

x

log(2−x)

b) f (x) = [log

2
3

(3 − x) + 1]

−

1
2

c) f (x) = log

1

3x−2

d) f (x) = log

2x−1

(x

2

− 7x + 10)

e) f (x) = log(−x

2

+ 4x − 3) +

q

3 −

1
2

x

3. Wyznacz dziedzinę, a następnie rozwiąż:

a) log(

1
2

+ x) = log

1
2

− log x

b) x

log x−1

= 100

c) x log 10 − log 5 = x log 5 + 2 log 2 − log(1 + 2

x

)

d) log

1
2

|x − 1| < 2

e) (

√

x)

2

= x

√

x

f) log

2

(log

1
2

(x − 1)) > 0

g)

2 log x

log(5x−4)

= 1

h) log

x−3

x−2
x−4

­ 1

i) (log x + 6)(2 − log x) = log x

2

+ 5

4. Wyznaczyć na płaszczyźnie zbiór wszystkich punktów, których współrzędne spełniają warunek: − log y

2x

−

log

2

y = x

2

5. Rozwiąż układ równań:

log

x

y

=

4 log

y

x

y

=

x

2

6. Dana jest funkcja f (x) = a

x

2

−x−

5
4

, gdzie a ∈ (0; 1). Dobrać tak wartość a, żeby największa wartość funkcji

f (x) była rozwiązaniem rónania log

2

x + log

2

(x − 2) = 3

7. Zbadać parzystość funkcji f (x) − log

1
2

|x| (funkcja jest parzysta, jeśli f (−x) = f (x), a nieparzysta, jeśli

f (−x) = −f (x)).

6

12

Elementy rachunku macierzowego

1. Pojęcia: macierz, wektor, wyznacznik, minor, minor bazowy, liniowa niezależność wektorów i rząd macierzy

(wierszowy, kolumnowy), dopełnienie algebraiczne, macierz osobliwa i nieosobliwa, transponowana, dołączo-
na, odwrotna, diagonalna (przekątniowa) oraz górno- i dolnotrójkątna (szczególny sposób liczenia wyznacz-
ników), jednostkowa. Metoda Sarrusa obliczania wyznacznika, metoda Kramera rozwiązywania układów
równań, twierdzenie Kroneckera-Capelliego. *Wielomiany charakterystyczne oraz wartości i wektory własne
macierzy.

2. Oblicz: A + B, A · B, B · A, gdzie A =

2

1

3

4

, B =

5

8

7

6

.

Wyniki: A · B =

17

22

43

48

, B · A =

34

37

32

31

3. Oblicz wyznaczniki macierzy:

A =







3

2

1

−1

0

5

2

3

1

2

0

2

0

1

2

4







B =





5

2

3

6

2

4

2

12

8





C =





2

1

3

3

0

1

0

4

3





(det A = −81, det B = 0, det C = 19).

4. Rozwiąż układ równań

2x

−y

= 0

−x

+3y

= 5

wykorzystując fakt, że jeśli A · X = B, to X = A

−1

· B

Rozw. A

−1

=

3
5

1
5

1
5

2
5

, X =

1
2

5. Utwórz macierz dołączoną (transponowaną macierz dopełnień algebraicznych) do macierzy

A =





4

−3

1

1

−5

2

5

2

−3





(rozw.) A

DT

=





11

−7

−1

13

−17

−7

27

23

−17





6. Utwórz macierz odwrotną A

−1

do macierzy A (A

−1

=

1

det A

· A

DT

).

A =





1

2

3

1

3

5

1

5

12





(rozw.) A

−1

=









11

3

−3

1
3

−

7
3

3

−

2
3

2
3

−1

1
3









7. Wyznacz rząd macierzy







2

3

5

1

5

4

2

1

3

7

6

9

15

3

15

8

4

2

6

14







(rozw.) R = 2

8. Rozwiąż układy równań: (met. Cramera)

a)

x

+y

−2z

= 3

2x

+y

+z

= 0

b)

x

−y

+z

= 2

2x

−2y

+2z

= 5

c)

x

−y

−z

= 0

x

+y

−2z

= 0

d)







3x

+4y

+6z

+8t

= 1

2x

+4z

= 2

−7x

+3y

−14z

+6t

= 1

e)







x

−y

+2z

= 1

x

−2y

−z

= 2

3x

−y

+5z

= 3

f)







x

+2y

+3x

= 4

2x

+y

−z

= 3

3x

+3y

+2z

= 7

7

g)







2x

−y

+3z

= 0

x

+2y

−5z

= 0

−6x

+3y

−9z

= 0

Rozw.: a) x = −3 − 3z, y = 6 + 5z, z - dowolne /parametr/, b) sprzeczne, c) x =

3
2

z, y =

1
2

z, d) sprzeczne,

e) x =

10

7

, y = −

1
7

, z = −

2
7

, f) x =

1
3

(5z + 2), y =

1
3

(5 − 7z), g) x = −

1
5

z, y =

12

5

z

9. Rozwiąż równanie*:

det

A − λI

= 0

gdzie A =

2

1

3

4

, I =

1

0

0

1

Rozw.: λ

1

= 1, λ

2

= 5

Komentarz: Powyższe równanie to tak zwany wielomian charakterystyczny macierzy A. Wartości lambda
to wartości własne macierzy A. Z każdą wartością własną jest sprzężony wektor własny (faktycznie to nie-

skończenie wiele wektorów własnych, ale przyjmujemy x = 1), czyli jednokolumnowa macierz

x

y

taka,

że (A − λI) ·

x

y

=

0
0

. W naszym przypadku dla λ = 1 wektor własny to

1

−1

, a dla λ = 5

to

1
3

. Klucz do potęgowania macierzy, rozwiązywania układów równań różniczkowych, wyszukiwania

ogólnej postaci wzorów rekurencyjnych (typu ciąg Fibonacciego). I nie tylko.

13

Ciągi

1. Podstawowe pojęcia: ciąg, podciąg, monotoniczność, ciąg arytmetyczny i geometryczny, własności średniej i

ilorazu ciągów a. i g.

2. Oblicz: a

1

, a

2

, a

3

, a

k+1

, a

2k

, jeśli:

a) a

n

=

2n+1

n+1

,

b) a

n

= (−1)

n

·

1

n

2

+1

3. Współczynniki a, b, c równania ax

2

+ bx + c = 0 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a ich suma

wynosi 24. Jednym z pierwiastków rónania jest liczba x

1

= −3. Wyznaczyć drugi pierwiastek równania.

(Rozw.: x

2

= −5)

4. Wyprowadzić wzór na iloczyn (1 −

1
4

)(1 −

1
9

)(1 −

1

16

) · · · (1 −

1

n

2

), a następnie udowodnić go dla n ­ 2. (Rozw.:

a

n

=

n+1

2n

, dowód indukcyjny).

5. Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Gdy do pierwszej z nich dodamy 8, a drugą i

trzecią pozostawimy bez zmian, to otrzymamy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, których suma wynosi
26. Znaleźć te liczby. (Rozw.: a = −6, b = 6, c = 18 albo a = 10, b = 6, c = 2).

6. Zbadać monotoniczność ciągu:

a) a

n

=

2n+1

n+2

b) a

n

= (−1)

n

·

1

n

c) a

n

=

1

n+1

+

1

n+2

+ · · · +

1

2n

Rozw.: a) rosnący, b) przemienny, c) rosnący.

7. Wyprowadź ogólny wzór na sumę: a

n

= 3 + 33 + 333 + 3333 + · · · +

n

z }| {

3 · · · 3.

(Rozw.: a

n

=

1
3

[

10

9

(10

n

− 1) − n]).

8. Zamień ułamek okresowy na ułamek zwykły:

a) 0, (51)

b) 0, 12(95)

c) 2, 9(372)

d)1, (153846)

(Rozw.:

17
33

,

1283
9900

,

9781
3330

,

15
13

).

8

14

Granice

14.1

Granica ciągu

1. Pojęcia: ciągi wyrażeń wymiernych, analogia do usuwania niewymierności, twierdzenie o trzech ciągach

(”o policjantach i pijaku”), ”specjalna” granica: e = lim

n→∞

(1 +

1

n

)

n

, symbole nieoznaczone:

0
0

,

∞
∞

, ∞ − ∞.

2. Oblicz granice:

a) a

n

=

√

n(n+1)−n

(n+1)−

√

n(n+1)

b) a

n

=

n!

(n+1)!−n!

c) a

n

=

n

√

2

n

+ 3

n

+ 5

n

d) a

n

=

n

2

+4n

2n

2

−n+1

e) a

n

=

√

n

2

+ 4n −

√

n

2

+ 4

f) a

n

=

1−7n

3

2n

4

−5n+2

Rozw.: a: 1 (analog. do usuwania nie-

wymierności), b: 0, c: 5 (tw.
o 3 ciągach), d:

1
2

, e: (usunąć

pierwiastki, skorzystać z fak-
tu: a − b =

(a−b)(a+b)

(a+b)

, f: 0

3. Dla dowolnego ciągu u

n

, takiego, że lim

n→∞

u

n

= ∞ zachodzi własność: lim

n→∞

(1 +

1

u

n

)

u

n

= e. Na podstawie

powyższego faktu oblicz:

a) lim

n→∞

(

n+6

n

)

n

b) lim

n→∞

(

n−2
n+5

)

n

Rozw.: a: e

6

, b:

1

e

7

4. Wyznacz granice

a)

lim

n→∞

2

2n+1

− 7

1 − 5 · 4

n

)

b)

lim

n→∞

2

n

+ 3

2 + 3

n

Rozw.: a: −

2
5

, b: 0

14.2

Granica funkcji

1. Wyznacz granice

a) lim

x→1

x

2

−1

2x

2

−x−1

b) lim

x→2

x

3

−2x

2

−4x+8

x

4

−8x

2

+16

c) lim

x→0

√

1−2x−x

2

−(1+x)

x

d) lim

x→0

sin 5x

3x

e) lim

x→0

1−cos x

x

2

f)

lim

x→

π

3

sin(x −

π

3

)

1 − 2 cos x

Rozw.: a:

2
3

, b:

1
4

, c: −2, d:

5
3

, w

oparciu o lim

x→0

sin x

x

= 1, e:

1
2

, da się przekształcić, ale

proszę poczekać na regułę de
L’Hospitala, f:

1

√

3

, uwaga jak

wyżej.

15

Elementy rachunku różniczkowego

15.1

Funkcja złożona oraz funkcja odwrotna

1. Pojęcia: funkcja różnowartościowa, dziedzina (zbiór argumentów)i przeciwdziedzina (zbiór wartości),funkcja

złożona, wewnętrzna, zewnętrzna, odwrotna, warunek odwracalności (każda funkcja jest odwracalna frag-
mentami na przedziałach, na których jest różnowartościowa; dla każdej funkcji różnej od funkcji stałej istnieje
przedział, na którym jest odwracalna)

2. Określ dziedzinę, przeciwdziedzinę a następnie znajdź funkcję odwrotną do danej funkcji na przedziale, na

którym funkcja odwrotna istnieje:

a) f (x) = 2x + 3

b) f (x) = sin x

c) f (x) = ln x

d) f (x) =

3

√

arccos x

Rozw. a) D = R, D

−1

= R, f

−1

(x) =

1
2

x −

3
2

,

Rozw. b) D = R, D

−1

= [−1; 1], f

−1

(x) = arcsin x,

Rozw. c) D = R

+

, D

−1

= R, f

−1

(x) = e

x

,

Rozw. d) D = [−1; 1], D

−1

= [0;

3

√

π], f

−1

(x) = cos(x

3

)

3. Dane są funkcje: f (x) = 2x + sin(x), g(x) =

3

√

x + 1, h(x) = ln x Oblicz złożenia:

9

a) f (g(x))

b) g(f (x))

c) g(g(x))

d) g(h(f (x))

a) f (g(x)) = 2(g(x)) + sin(g(x)) = 2(

3

√

x + 1) + sin(

3

√

x + 1)

b) g(f (x)) =

3

pf(x) + 1 =

3

p(2x + sin(x)) + 1

c) g(g(x)) =

3

pg(x) + 1 =

3

q

(

3

√

x + 1) + 1

d) g(h(f (x)) =

3

ph(f(x)) + 1 =

3

pln(f(x)) + 1 =

3

pln(2x + sin(x)) + 1

15.2

Pochodna funkcji

1. Pojęcia: pochodna funkcji w punkcie jako granica, pochodna funkcji jako funkcja, oznaczenia

2. Pochodne funkcji elementarnych i funkcji do nich odwrotnych

• c

0

= 0 (pochodna ze stałej)

• x

0

= 1

• [x

α

]

0

= αx

α−1

, α ∈ R \ {0}

• (e

x

)

0

= e

x

• (a

x

)

0

=

a

x

ln a

• (sin x)

0

= cos x

• (cos x)

0

= − sin x

• (ln x)

0

=

1

x

3. Reguły różniczkowania (proszę się nauczyć na pamięć, z wyjątkiem f)* i g)*)

a) pochodna iloczynu stałej i funkcji to iloczyn stałej i pochodnej: (c · f (x))

0

= c · f

0

(x)

b) pochodna sumy (różnicy) to suma (różnica) pochodnych: (f (x) + g(x))

0

= f

0

(x) + g

0

(x)

c) pochodna iloczynu dwóch funkcji: pochodna pierwszej razy druga plus pochodna drugiej razy pierwsza:

(f (x) · g(x))

0

= f

0

(x) · g(x) + g

0

(x) · f (x)

d) pochodna ilorazu: pochodna pierwszej razy druga minus pochodna drugiej razy pierwsza podzielić przez

drugą do kwadratu:

h

f (x)

g(x)

i

0

=

f

0

(x) · g(x) − g

0

(x) · f (x)

[g(x)]

2

e) pochodna złożenia: pochodna zewnętrznej od funkcji wewnętrznej razy pochodna wewnętrznej:

[f (g(x))]

0

= f

0

(g(x)) · g

0

(x)

(tzw. reguła łańcucha)

f)* pochodna funkcji do potęgi innej funkcji: [f (x)

g(x)

]

0

(uwaga 1: ciężko ten wzór znaleźć!; uwaga 2: łatwiej

wyprowadzić niż zapamiętać); najpierw trzeba wykorzystać tożsamość x = e

ln x

i w ten sposób przepisać

f (x)

g(x)

= e

ln(f (x)

g(x)

)

. Następnie, z własności potęgowania logarytmu: ln x

n

= n · ln x wyprowadzamy:

f (x)

g(x)

= e

g(x)·ln(f (x))

i różniczkujemy jako zwykłą pochodną funkcji złożonej: zewnętrzna to e

x

,

wewnętrzna to g(x) · ln(f (x)); ostatecznie po uporządkowaniu:

[f (x)

g(x)

]

0

=

h

g

0

(x) · ln(f (x)) + g(x) ·

f

0

(x)

f (x)

i

· f (x)

g(x)

g)* pochodna funkcji, jeśli znamy pochodną funkcji odwrotnej:

f

0

(x) =

1

(f

−1

)

0

(f (x))

4. Oblicz:

a) (tgx)

0

, (uwaga! tgx =

sin x

cos x

)

b) [(x

2

+ 3)

5

]

0

(skorzystać ze złożenia funkcji)

c) (arcsinx)

0

, (uwaga! znamy pochodną funkcji odwrotnej!)

d) (2x

3

+ 4x

2

− 2x + 1)

0

e) [

1

3

√

x

]

0

f) [ln(sin x)]

0

g) [sin(ln x)]

0

h) [cos

2

x]

0

i) [

2x−1
x

2

+1

]

0

j) [x

x

]

0

k) [

1

e

x

+ln x

]

0

l) [(sin x)

√

x

]

0

10

15.3

Przykłady – do nauczenia się we własnym zakresie

1. Różniczkowanie sum funkcji oraz iloczynów funkcji i stałych

a) (sin x + 2 · ln x)

0

= cos x +

2

x

b) (x

5

+ 3x

4

− 2x

2

− x − 3)

0

= 5x

4

+ 12x

3

− 4x − 1

2. Pochodne typu (x

α

)

0

= αx

α−1

.

a) (

3

√

x)

0

= (x

1
3

)

0

=

1
3

· x

1
3

−1

=

1
3

· x

−

2
3

=

1

3x

2
3

=

1

3

3

√

x

2

b) (

1

x

)

0

= (x

−1

)

0

= −1 · x

−1−1

= −1 · x

−2

= −

1

x

2

c) (

x

4

3

√

x

2

)

0

= (

x

4x

2
3

)

0

= (

1
4

· x

1−

2
3

)

0

=

1
4

· (x

1
3

)

0

=

1
4

· (

1
3

· x

1
3

−1

) =

1

12

· x

−

2
3

=

1

12

3

√

x

2

3. Pochodna iloczynu funkcji (f g)

0

= f

0

g + f g

0

,

dla trzech lub więcej funkcji stosujemy grupowanie: (f gh)

0

= (f · (gh))

0

= f

0

· (gh) + f · (gh)

0

a) (x · sin x)

0

= (x)

0

· sin x + x · (sin x)

0

= sin x + x cos x

b) (ln x · cos x)

0

= (ln x)

0

· cos x + ln x · (cos x)

0

=

1

x

cos x + ln x · (− sin x) =

cos x

x

− ln x · sin x

c) (x

3

· arcsin x)

0

= (x

3

)

0

· arcsin x + x

3

· (arcsin x)

0

= 3x

2

arcsin x +

x

3

√

1−x

2

d) [x

5

·cos x·e

x

]

0

= [x

5

·(cos x·e

x

)]

0

= (x

5

)

0

·(cos x·e

x

)+x

5

·(cos x·e

x

)

0

= 5x

4

cos x·e

x

+x

5

·(− sin x·e

x

+cos x·e

x

)

4. Pochodna ilorazu funkcji ((

f
g

)

0

=

f

0

g−f g

0

g

2

)

a) (tg x)

0

= (

sin x

cos x

)

0

=

(sin x)

0

cos x−sin x·(cos x)

0

(cos x)

2

=

cos x·cos x−sin x·(− sin x)

cos

2

x

=

cos

2

x+sin

2

x

cos

2

x

=

1

cos

2

x

b) [

1

1+ln x

]

0

=

(1)

0

·(1+ln x)−1·(1+ln x)

0

(1+ln x)

2

=

0·(1+ln x)−1·

1

x

(1+ln x)

2

=

−1

x

(1+ln x)

2

= −

1

x·(1+ln x)

2

5. Pochodna złożenia [f (g(x))]

0

= f

0

(g(x)) · g

0

(x), gdzie x jest argumentem.

Złożenie większej ilości funkcji analogicznie: jeśli f, g, h - funkcje, to (f (g(h)))

0

= f

0

(g(h))·g

0

(h)·h

0

. Tak zwana

”reguła łańcucha”. Pochodna funkcji zewnętrznej od funkcji wewnętrznej razy pochodna funkcji wewnętrznej.

a) (

√

cos x)

0

= [(cos x)

1
2

]

0

=

1
2

· (cos x)

1
2

−1

· (cos x)

0

=

1

2

√

cos x

· (− sin x) = −

sin x

2

√

cos x

b) [(x

2

+ 3x + 5)

30

]

0

= 30(x

2

+ 3x + 5)

29

· (2x + 3).

c) [tg(ln x)]

0

=

pochodna tangensa - zob. wyżej

=

1

cos

2

(ln x)

· (ln x)

0

=

1

cos

2

(ln x)

·

1

x

=

1

x cos

2

(ln x)

d) [arcsin

√

ln x]

0

=

1

√

1−(

√

ln x)

2

· (

√

ln x)

0

=

1

√

1−ln x

·

1

2

√

ln x

· (ln x)

0

=

1

√

1−ln x

·

1

2

√

ln x

·

1

x

=

1

√

1−ln x·2

√

ln x·x

=

1

2x

√

ln x·(1−ln x)

6. Pochodna złożeń funkcji wykładniczej.

Pochodna złożenia, gdzie w podstawie i w wykładniku jest funkcja różniczkowalna. Sama funkcja wykładnicza
jest niezmiennikiem różniczkowania ((e

x

)

0

= e

x

). Przy złożeniach ZAWSZE korzystamy z przekształcenia

(f

g

)

0

= (e

ln f

g

)

0

= (e

g·ln f

)

0

, a to traktujemy jak zwykłe złożenie funkcji e

x

z iloczynem g(x) · ln f (x).

a) (a

x

)

0

=

a jest stałą 6= 0

= [e

ln a

x

]

0

= [e

x ln a

]

0

= e

x ln a

· (x ln a)

0

= a

x

· ln a

b) [x

x

]

0

= [e

lnx

x

]

0

= [e

x·ln x

]

0

= e

x·ln x

· (x · ln x)

0

= x

x

· (1 · ln x + x ·

1

x

) = x

x

· (ln x + 1)

c) [x

sin x

]

0

= [e

ln x

sin x

]

0

= [e

sin x·ln x

]

0

= e

sin x·ln x

· [sin x · ln x]

0

= x

sin x

· (cos x · ln x + sin x ·

1

x

) = x

sin x

· (cos x ·

ln x +

sin x

x

)

7. Reszta to kombinacje powyższych wzorów.

11

15.4

Zastosowania pochodnej funkcji

15.5

Reguła de L’Hospitala

1. Zasada jest prosta: jeżeli w granicy ilorazu funkcji występuje symbol nieoznaczony

0
0

lub

∞
∞

, to można funkcje

w liczniku i mianowniku zamienić na ich pochodne i sprawdzić, czy to się da rozwiązać. Jeśli z pochodnych
też wychodzi symbol nieoznaczony, to próbować do skutku.

lim

x→x

0

f (x)

g(x)

= lim

x→x

0

f

0

(x)

g

0

(x)

UWAGA! TO NIE JEST POCHODNA ILORAZU FUNKCJI, TYLKO POCHODNA LICZNIKA I PO-
CHODNA MIANOWNIKA ODDZIELNIE! PROSZĘ TYCH DWÓCH RZECZY NIE MYLIĆ!!!

2. Przykład: lim

x→0

sin x

x

. Wiadomo, że sin 0 = 0, więc otrzymujemy symbol nieoznaczony

0
0

. Po zróżniczkowaniu

licznika i mianownika dostajemy lim

x→0

(sin x)

0

(x)

0

= lim

x→0

cos x

1

= 1, bo cos 0 = 1.

3. Rozwiązać ponownie zadania z granic funkcji przy pomocy reguły de L’Hospitala.

12