Miklyukov V M Pochti resheniya uravnenij v chastnyx proizvodnyx (Volgograd, 2009)(ru)(140s) MCde

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Лаборатория "Сверхмедленных процессов"

В.М. Миклюков

Почти-решения уравнений

в частных производных

Волгоград 2009

Предисловие

Ниже приводится цикл статей, посвященных почти решениям нели-

нейных уравнений с частными производными. В большинстве приложе-
ний дифференциальных уравнений в естествознании на самом деле мы
имеем дело не с (идеальными) решениями уравнений, но с функциями,
"близкими"к истинным решениям. В процессе приближенного вычисле-
ния мы также находим лишь функцию, "близкую"к истинному решению.

Пусть D ⊂ R

– область и пусть k(x) : D → R – измеримая по Лебегу

функция такая, что для всякой подобласти D

⊂⊂ D выполнено

0 < ess inf

k(x) ≤ ess sup

k(x) < ∞ .

Пусть A : D × R

→ R

– отображение, удовлетворяющее следующим

предположениям:

(i) для почти всех x ∈ D отображение ξ ∈ R

→ A(x, ξ) определено и

непрерывно,

(ii) отображение x ∈ D → A(x, ξ) измеримо для всех ξ ∈ R

;

(iii) для почти всех x ∈ D и всех ξ ∈ R

выполняются следующие

структурные ограничения

k(x) |ξ|

≤ hξ, A(x, ξ)i ,

|A(x, ξ)| ≤ µ

k(x) |ξ|

p−1

где µ

, µ

> 0 и p ≥ 1 – некоторые постоянные.

Рассмотрим уравнение

div A(x, ∇h) = 0 .

(∗)

Данное уравнение содержит как частный случай уравнение для p-

гармонических функций, где предполагается p > 1. Допущение p = 1
позволяет включить в рассмотрения уравнение минимальной поверхно-
сти, уравнение максимальной поверхности в пространстве Минковского,
а также уравнение газовой динамики.

Фиксируем ε > 0. Будем говорить, что непрерывная функция h клас-

са W

1,p

loc

(D) является почти-решением уравнения (*), если для всякой

непрерывной функции

ϕ(x) ∈ W

1,q

(D) ,

0 ≤ |ϕ(x)| ≤ 1 ,

с компактным носителем supp ϕ ⊂ D выполнено:

h∇ϕ, A(x, ∇h)i dx

< ε .

Величину ε > 0 будем называть уклонением почти-решения h.

Нетрудно видеть, что всякая C

-функция h : D → R

такая, что

|divA(x, ∇h)| ≤ ε

, является почти-решением (*) с уклонением ε

(D).

Понятие почти-решения было введено в нашей работе "A-решения

с особенностями как почти-решения, Матем. сб., т. 197, вып. 11, 2006,
стр. 31-50"в связи с изучением решений с особенностями уравнения (*).
Показано, что при определенных условиях решение (*), даже имеющее
неустранимые особенности, может являться почти-решением. Даны оцен-
ки его уклонения.

В работе "Почти квазиконформные отображения как почти решения,

в сб. Математический и прикладной анализ, вып. 3, изд-во Тюменск.
гос. ун-та., 2007, 59-70"устанавливаются связи почти-квазиконформных
отображений в смысле Каллендера с почти-решениями уравнений вида
(*).

В работе "Принцип максимума для разности почти-решений нелиней-

ных эллиптических уравнений, Вестник Томского государственного уни-
верситета. Математика и механика, n. 1, 2007, 33-45"нами доказывается
специальная форма принципа максимума для разности почти-решений.

Теорема A. Пусть h

, h

– почти-решения с уклонениями ε

> 0,

> 0 в ограниченной области D ⊂ R

уравнения (*), удовлетворяющие

на границе области предположению

lim sup

x→x0

x∈D, x0∈∂D

(x) − h

(x)) ≤ 0

∀x

∈ ∂D.

Тогда либо h

(x) ≤ h

(x) всюду в D, либо открытое множество

O = {x ∈ D : (h

(x) − h

(x)) > 0}

не пусто и

{|x|<r}∩O

k(x) |∇(h

−h

≤

(ε

+ ε

) ,

M = sup

(x) − h

(x)| .

В работах "Зоны стагнации решений и почти-решений эллиптических

уравнений, Восьмая Казанск. летняя школа-конференция "Теория функ-
ций, ее приложения и смежные вопросы". Труды математического цен-
тра имени Н.И. Лобачевского, т. 35, Казань: Казанское математическое
общество, 2007, 174-181", "О зонах стагнации в сверхмедленных процес-
сах, Докл. Акад. Наук, т. 418, n. 3, 2008, 304-307"и "Оценки размеров

зоны стагнации почти решений уравнений параболического типа, Си-
бирский журнал индустриальной математики, т. XI, n. 3(35), 2008, 96-
101"указываются размеры зон стагнации почти-решений уравнений эл-
липтического и параболического типов.

В работе "К неравенству Гарнака для почти решений эллиптических

уравнений, Изв. РАН, Серия математическая, Т. 73, n. 5, 2009"приво-
дится некоторая специальная версия неравенства Гарнака для почти-
решений. Именно, доказана следующая

Теорема B. Пусть D – область в R

и U, V – ее подобласти, V b

U b D. Пусть h – положительное почти-решение в D уравнения (*) с

k ≡ 1, p > n − 1 и

A(x, λξ) = λ |λ|

p−2

A(x, ξ)

∀x ∈ D и ∀ λ ∈ R

(∗∗)

Тогда

inf

max{h(x) : x ∈ V \O

} ≤ exp{ θ

(V, U, D)} sup

min{h(x) : x ∈ V \O

} ,

где точная нижняя и точная верхняя грани берутся по всевозможным
непустым открытым подмножествам O

⊂ D, D \ O

6= ∅, таким,

что h|

∂O

= C, C = const, и θ

(V, U, D) – некоторая постоянная (вид

которой указывается).

В работе "Решения параболических уравнений как почти решения эл-

липтических, печ. в сб. Математический и прикладной анализ. Тюменск.
гос. ун-т. 2009"устанавливается связь решений уравнений параболиче-
ского типа с почти-решениями подходящих уравнений эллиптического
типа. Именно, доказана

Теорема C.

Пусть h = h(x, t) : D × (τ

, τ

) → R

– обобщенное

решение уравнения

div A(x, ∇h) = B(t, h, h

0
t

) ,

где A(x, ξ) удовлетворяет условию (**),

B(t, h, h

0
t

) = b

(t) |h|

p−2

h + b

(t) |h|

p−2

∂h

∂t

(x, t)

(t) > 0, b

(t) : (τ

, τ

) ⊂ R

→ R

– локально липшицевы на (τ

, τ

) функции.

Тогда h(x, t) является почти-решением некоторого уравнения вида

(*), а уклонение s(τ

, τ

) почти-решения определяется выражением

s(τ

, τ

) =

|h|

p−2

h + b

|h|

p−2

h h

0
t

−

0
t

p−2

0
t

dt .

Близкие утверждения имеют место и для решений уравнений гипер-

болического типа.

Некоторые приложения к вопросам устранения особенностей решений

уравнения газовой динамики и отображений с ограниченным искажени-
ем см. в главе 7 нашей книги "Геометрический анализ. Дифференци-
альные формы, почти-решения, почти квазиконформные отображения,
Волгоград: изд-во ВолГУ. 2007".

Научный руководитель лаборатории

"Сверхмедленные процессы"

д.ф.-м.н. проф. Владимир Михайлович Миклюков

miklyuk@mail.ru

24 февраля 2009

Оглавление

1 A-Решения с особенностями как почти решения

1.1

Почти решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Примеры применения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Лемма о разбиении единицы

. . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Особенности дифференциальных форм . . . . . . . . . . .

1.6

Особенности A-решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7

Решения уравнения газовой динамики . . . . . . . . . . . .

1.8

Приложения к квазирегулярным отображениям . . . . . .

2 Почти квазиконформные отображения

как почти решения

2.1

Основная теорема

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Доказательство основной теоремы . . . . . . . . . . . . . .

3 Принцип максимума для разности почти решений

нелинейных эллиптических уравнений

3.1

Класс уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Почти решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

Ключевое свойство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

Функция I(ξ, η) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5

Принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

Цилиндрические области

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7

Сильно нелинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8

Разности почти решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9

Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 К неравенству Гарнака для почти решений

эллиптических уравнений

4.1

Уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ОГЛАВЛЕНИЕ

4.2

Почти решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

Подготовительное неравенство . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

Емкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5

Принцип ’длины и площади’ . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6

Основная теорема

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7

Монотонные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.8

Почти решения в шаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Решения параболических уравнений как

почти решения эллиптических

5.1

Классы уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

Решения и почти решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

Основная теорема

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4

Применения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 О зонах стагнации в сверхмедленных процессах

104

6.1

Понятие зоны стагнации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2

Почти решения на поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.3

Признаки s-зоны

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4

Оценки почти решения

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.5

Условие нетривиальности почти решения в s-зоне . . . . . 111

7 Оценки размеров зоны стагнации почти решений

уравнений параболического типа

113

7.1

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.2

Уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.3

Почти решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.4

Основная теорема

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.5

Оценки η

p,E

(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8 Некоторые условия дифференцируемости в точке

почти квазиконформных отображений

124

8.1

Предварительные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.2

Модуль семейства кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8.3

Основная теорема. Комментарии . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.4

Доказательство теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

A-Решения с особенностями как
почти решения

В.М. Миклюков

Матем. сб. т. 197. Вып. 11. 2006. с. 31-50.

Вводятся почти решения квазилинейных уравнений с частными произ-
водными эллиптического типа. Рассматриваемый класс уравнений вклю-
чает в себя, в частности, уравнения для p-гармонических функций, урав-
нение газовой динамики и др. Указаны условия, при которых решения с
особенностями являются почти решениями. Даются приложения к про-
блеме устранимых особенностей решений эллиптический уравнений и
квазирегулярных отображений. Доказательства базируются на взаимо-
связях с дифференциальными формами.

1.1

Почти решения

Пусть D ⊂ R

– область и пусть w(x) : D → R – измеримая по Лебегу

функция такая, что

0 < ess inf

w(x) ≤ ess sup

w(x) < ∞ для всякой подобласти D

⊂⊂ D.

(1.1.1)

Пусть A : D × R

→ R

– отображение, удовлетворяющее следующим

предположениям:

1.1. ПОЧТИ РЕШЕНИЯ

(i) для почти всех x ∈ D отображение ξ ∈ R

→ A(x, ξ) определено и

непрерывно,

(ii) отображение x ∈ D → A(x, ξ) измеримо для всех ξ ∈ R

;

(iii) для почти всех x ∈ D и всех ξ ∈ R

выполняются следующие

структурные ограничения:

w(x) |ξ|

≤ hξ, A(x, ξ)i ,

(1.1.2)

|A(x, ξ)| ≤ µ

w(x) |ξ|

p−1

(1.1.3)

где µ

, µ

> 0 и p ≥ 1 – некоторые постоянные.

Удобно обозначить µ = µ

/µ

. Ясно, что всегда µ ≥ 1.

Рассмотрим уравнение

div A(x, ∇h) = 0 .

(1.1.4)

Будем говорить, что непрерывная функция h класса W

p,loc

(D) являет-

ся в D обобщенным решением уравнения (1.1.4), если для всякой непре-
рывной функции ϕ(x) ∈ W

(D), 1/(p−1)+1/q = 1 (при p = 1 величина

q = ∞), с компактным носителем supp ϕ ⊂ D выполнено:

h∇ϕ, A(x, ∇h)i dx = 0 ,

(1.1.5)

где dx = dx

. . . dx

– элемент объема.

Предположения (i) и (ii) гарантируют измеримость отображения x ∈

D → A(x, g(x)) для произвольного измеримого на D векторного поля
g. Предположения (1.1.2), (1.1.3) говорят об эллиптичности (1.1.4) (дета-
ли см. в [13], раздел 3). Обобщенные решения всевозможных уравнений
описанного вида будем называть A-решениями. Множество A-решений
содержит, в частности, класс p-гармонических функций и при p = 2 —
гармонических. Отметим, что при определении A-решений в [13] пред-
полагается, что p > 1, и класс A-уравнений не содержит, к примеру,
уравнения газовой динамики (см. ниже раздел 1.7).

Фиксируем ε > 0. Будем говорить, что непрерывная функция h класса

p,loc

(D) является почти решением уравнения (1.1.4), если для всякой

непрерывной функции

ϕ(x) ∈ W

(D) ,

0 ≤ ϕ(x) ≤ 1 ,

A-Решения с особенностями

с компактным носителем supp ϕ ⊂ D выполнено:

h∇ϕ, A(x, ∇h)i dx

< ε .

(1.1.6)

Величину ε > 0 будем называть уклонением почти решения h.

В большинстве приложений дифференциальных уравнений в естество-

знании на самом деле мы имеем дело не с (идеальными) решениями, но с
почти решениями. Ниже устанавливается, что при определенных услови-
ях всякое A-решение с особенностями является почти решением. Даются
оценки его уклонения.

1.2

Примеры применения

Один из ключевых вопросов, возникающих при анализе перспективно-
сти приложений теории "почти решений"в практических разработках —
это вопрос об объеме информации, содержащихся в неравенствах вида
(1.1.6) по сравнению с соотношениями (1.1.5). Мы проиллюстрируем со-
держательность неравенств (1.1.6) на примере стандартного принципа
максимума – минимума.

Итак, пусть D — область в R

, пусть h ∈ W

p,loc

(D) ∩ C

(D) – почти

решение уравнения (1.1.4), удовлетворяющего предположениям (1.1.2) —
(1.1.3) в D. Пусть ε > 0 — его уклонение.

Пусть h|

∂D

< 0. Предположим, что множество

O = {x ∈ D : h(x) > 0}

не пусто. В силу условия h|

∂D

< 0, имеем

O ∩ ∂D = ∅ .

Положим

M = sup

x∈D

h(x) .

Зафиксируем произвольно функцию ψ ∈ W

(D) со свойствами:

0 ≤ ψ(x) ≤ 1 ,

supp ψ − компакт .

(1.2.7)

1.2. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ

Функция

h(x) =











h(x)

при

x ∈

O ,

при

x ∈ D \

имеет носителем O, принадлежит классу W

p,loc

(D) и удовлетворяет усло-

вию

0 ≤ e

h(x) ≤ 1 .

Указанными свойствами обладает функция ϕ = ψ

h причем ее носитель

компактен и содержится в D. Тем самым, на основании (1.1.6), мы можем
записать

h∇ϕ, A(x, ∇h)idx

< ε .

Так как

∇ϕ = pψ

p−1

h∇ψ +

∇h

при

x ∈ O ,

∇ϕ = 0

при

x ∈ D \ O ,

отсюда находим

h∇h, A(x, ∇h)i dx ≤ p

p−1

h| |h∇ψ, A(x, ∇h)i| dx + ε .

Пользуясь предположениями (1.1.2), (1.1.3), получаем

w(x) |∇h(x)|

dx ≤ pµ

p−1

w(x)|∇ψ(x)| |∇h(x)|

p−1

dx + ε .

Пусть p > 1. В силу неравенства

ab ≤

p − 1

(δb)

p/(p−1)

a, b > 0 ,

A-Решения с особенностями

где δ > 0 – произвольная постоянная, данное соотношение переписываем
в виде

w(x) |∇h(x)|

dx ≤ δ

p/(p−1)

(p − 1)µ

w(x)|∇h(x)|

dx+

+δ

−p

w(x) |∇ψ(x)|

dx + ε

или,

w(x) |∇h(x)|

dx ≤ δ

p/(p−1)

(p − 1)µ M

w(x)|∇h(x)|

dx+

+δ

−p

µ M

w(x) |∇ψ(x)|

dx +

Выберем δ > 0 столь малым, чтобы (p − 1)M µ δ

p/(p−1)

= 1/2. Тогда

выполнено

w(x) |∇h(x)|

dx ≤

ε+

(1.2.8)

p−1

(p − 1)

p−1

w(x) |∇ψ(x)|

dx .

Пусть 0 < r < R < ∞. В частности, выбирая в (1.2.8) функцию ψ ≡ 1
на {|x| < r} ∩ O и ψ ≡ 0 при {|x| > R} ∩ O, приходим к соотношению

{|x|<r}∩O

w(x)|∇h|

dx ≤ 2ε

≤ +2

p−1

(p − 1)

p−1

O∩{r<|x|<R}

w(x) |∇ψ(x)|

dx .

1.2. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ

Если обозначить через

cap

p,w

(A, L) = inf

w(x) |∇u|

dx,

≡ 0,

≡ 1 ,

взвешенную p-емкость конденсатора (A, L; D) и через

p,w

(O) = inf

w(x) |∇u|

w(x) u

u ∈ C

(O) ∩ C

(O),

∂O

= 0,

основную частоту порядка p ≥ 1 открытого множества O ⊂ R

, то в

описанных предположениях имеем

p,w

(O)

w(x) h

(x) dx ≤

w(x) |∇h(x)|

dx ,

и, в силу (1.2.8), мы получаем

{|x|<r}∩O

w(x) |∇h(x)|

dx ≤

ε+

p−1

(p − 1)

p−1

cap

p,w

, O \ O

) ,

(1.2.9)

где O

= {|x| < t} ∩ O.

Будем говорить, что неограниченная область D ⊂ R

является (p, w)-

узкой в окрестности бесконечно удаленной точки R

, если при всяком

r > 0 выполнено

lim

R→∞

cap

p,w

, D \ D

) = 0 .

Тем самым, приходим к следующей форме принципа максимума для

почти решений.

Теорема 1.2.1. Пусть h – почти решение с уклонением ε > 0 в обла-
сти D ⊂ R

уравнения (1.1.4) с ограничениями (1.1.2) – (1.1.3), удо-

влетворяющее на границе области предположению h|

∂D

≤ 0. Тогда либо

A-Решения с особенностями

h ≤ 0 всюду в D, либо для всякой функции ψ ∈ W

(D) со свойствами

(1.2.7) выполнено (1.2.9) и, в частности, если D ограничена или явля-
ется узкой на бесконечности, то для любого r > 0 выполнено

{|x|<r}∩O

w(x) h

(x) dx ≤

2εM

p,w

(O)

(1.2.10)

В случае, когда h есть обобщенное A-решение, т.е. уклонение ε = 0,

мы имеем

w(x) h

(x) dx = 0 .

Отсюда, h(x) ≡ 0, что противоречит предположению h

∂D

< 0 и мы при-

ходим к стандартной форме принципа максимума для A-гармонических
функций. Другими словами, свойство (1.2.10) для почти решений пред-
ставляет собой специальную форму обобщеного принципа максимума
для A-гармонических функций.

Соотношение (1.2.10) дает оценку размеров открытого множества O =

{x ∈ D : h(x) > 0} и характеризует насколько почти решение h уравне-
ния A-гармонических в области D функций со свойствами:

∂D

< 0 ,

max

x∈D

h(x) = M ,

отличается от 0 на нем.

Величина λ

p,w

(O) невозрастает с расширением множества O и потому

p,w

(D) ≤ λ

p,w

(O) .

Пусть D ⊂ R

– область и u : D → R – некоторая функция. Пусть

s > 0 – некоторое число. Подобласть ∆ ⊂ D называется s-зоной (зоной
стагнации) функции u, если существует постоянная C такая, что эта
функция отличается (в каком-либо смысле) от C в ∆ не более, чем на s.

К примеру, можно положить

sup

x∈∆

|u(x) − C| ≤ s

(см. [23], [24]), или

ku(x) − Ck

(∆)





∆

|u(x) − C|





1/p

≤ s .

1.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Соотношения (1.2.7), (1.2.10) служат также источниками оценок раз-

меров областей стагнации почти решений h. Именно, имеет место

Следствие 1.2.1. В условиях теоремы 1 выполнено

w(x) h

(x) dx ≤

2εM

p,w

(D)

(1.2.11)

В частности, если величина ε > 0 столь мала, что

2εM

p,w

(D)

≤ s ,

то

w(x) h

(x) dx ≤ s

и множество O является s-зоной.

1.3

Дифференциальные формы

Обозначим через Q(x, t) куб в R

с центром в точке x и длиной ребра

t. Пусть ω : [0, ∞) → [0, ∞) – калибровочная функция, т.е. непрерыв-
ная неубывающая функция, обладающая свойством: для всякого k ≥ 1
найдется постоянная c(k, ω), такая что при всех t ≥ 0 выполнено

ω (kt) ≤ c(k, ω) ω(t) .

(1.3.12)

Символом C

(D) мы обозначаем множество всевозможных функций

ϕ : D → R, для которых для всякого компактного множества A ⊂ D и
произвольного куба Q(x, r) со свойствами

Q(x, r) ⊂ D ,

x ∈ A ,

(1.3.13)

выполнено

|ϕ(x

) − ϕ(x

)| ≤ c(r, A) ω(|x

− x

при всех

, x

∈ Q(x, r) .

Здесь c(r, A) > 0 – некоторая постоянная.

Напомним некоторые факты теории дифференциальных форм. Ниже

мы следуем обозначениям, используемым в [11] и [20]. Пусть x

, . . . , x

–

A-Решения с особенностями

координаты в R

. Каждая дифференциальная форма α степени deg α =

k, 1 ≤ k ≤ n, в D ⊂ R

может быть записана в координатах x

, . . . , x

виде линейной комбинации

α =

1≤i

<...<i

≤n

...i

∧ . . . ∧ dx

Внутреннее (скалярное) произведение форм α и β одной и той же

степени есть величина

hα, βi = α ∨ β = ∗

−1

(α ∧ ∗β) = ∗(α ∧ ∗β).

(1.3.14)

Скалярное произведение форм обладает обычными свойствами скаляр-
ного произведения. Мы полагаем

|α| =

phα, αi .

Форма α степени k называется простой, если найдутся 1-формы α

. . . , α

такие, что

α = α

∧ . . . ∧ α

Отметим следующее полезное свойство евклидовой нормы: если α, β ∈
V

∗

), то

|α ∧ β| ≤ |α| |β|,

в случае, когда хотя бы одна из форм α, β простая. Если формы α и β
обе простые и ненулевые, то равенство имеет место тогда и только тогда,
когда ассоциированные с α и β подпространства R

ортогональны.

В общем случае, если deg α = p, deg β = q, то

|α ∧ β| ≤ (C

p+q

)

1/2

|α||β|

(1.3.15)

(см. [10, §1.7]).

Пусть α, β – дифференциальные формы степени k ≥ 1 в D с коэф-

фициентами α

...i

∈ L

p
loc

(D). Будем говорить, что α и β интегрально

зависимы в D, если

α ∧ ?β = 0.

(1.3.16)

Дифференциальная форма α называется слабо замкнутой в D, ес-

ли α является интегрально зависимой в D от всякой дифференциаль-
ной формы dβ, deg β = deg α − 1, с компактным носителем supp β =

1.4. ЛЕММА О РАЗБИЕНИИ ЕДИНИЦЫ

{x ∈ D : β 6= 0} в D и коэффициентами класса W

q,loc

(D), 1/p + 1/q = 1,

1 ≤ p, q ≤ ∞ .

Для гладких форм α условие слабой замкнутости вполне согласуется

с традиционным условием замкнутости dα = 0.

Пусть ε > 0 – фиксированное число. Будем говорить, что форма α ∈

p
loc

(D), deg α = n − 1, почти замкнута в D с уклонением ε > 0, если

dϕ ∧ α

< ε

(1.3.17)

для всех

ϕ ∈ C

(D) ,

supp ϕ ⊂ D ,

0 ≤ ϕ ≤ 1 .

Легко видеть, что если форма α почти замкнута со сколь угодно ма-

лым уклонением, то α слабо замкнута.

1.4

Лемма о разбиении единицы

Пусть k ≥ 0 и p

, . . . , p

– целые. Рассмотрим в R

семейство всевозмож-

ных замкнутых кубов

Q = [p

−k

, (p

+ 1)2

−k

] × . . . × [p

−k

, (p

+ 1)2

−k

] .

Каждый из кубов Q имеет стороны длины 2

−k

, параллельные осям ко-

ординат R

, и вершины вида 2

−k

, . . . , p

). Такие кубы далее будем

называть бинарными. Два бинарных куба считаются разъединенными,
если их пересечение не содержит внутренних точек.

Пусть E ⊂ R

и h – произвольная калибровочная функция. Для про-

извольного > 0 полагаем

(E) = inf

∞

i=1

h(s

) ,

где точная нижняя грань берется по всем покрытиям E счетными семей-
ствами бинарных кубов {Q

} с ребрами длины s

≤ . Положим

(E) = lim

→0

(E) .

A-Решения с особенностями

Заметим, что семейство {Q

} может быть выбрано состоящим из попарно

разъединенных кубов, поскольку непустота внутренности пересечения
двух бинарных кубов влечет, что один из них содержит другой. Величину
D

(E) будем называть бинарной h-мерой множества E.

Ясно, что бинарная h-мера D

(E) сравнима с мерой Хаусдорфа H

(E).

Именно, существуют постоянные C

= C

(n, h), C

= C

(n, h), 0 < C

≤

< ∞, такие что для всякого компактного множества E ⊂ R

выпол-

нено

(E) ≤ D

(E) ≤ C

(E) .

В частности, D

(E) = 0 тогда и только тогда, когда H

(E) = 0 .

Для произвольного куба Q со стороной s пусть λQ (λ > 0) означает

куб стороны λs и тем же самым центром.

Следующее утверждение представляет собой специальную модифика-

цию леммы 3.1 из работы Харви и Полкинга [12].

Лемма 1.4.1. Пусть {Q

} (1 ≤ i ≤ N ) – конечное семейство попарно

разъединенных бинарных кубов с ребрами длины s

, s

≥ s

≥ . . . ≥ s

и пусть λ > 1 – некоторое произвольным образом фиксированное число.
Для всякого i найдется функция ϕ

∈ C

∞

), 0 ≤ ϕ

≤ 1, с носителем

supp ϕ

⊂ λQ

такая, что

i=1

(x) = 1

при всех

x ∈ ∪

N
i=1

(1.4.18)

При этом, для любых i = 1, . . . , N , k = 1, . . . , n и произвольной посто-
янной c(n, λ), удовлетворяющей условию

c(n, λ) > 2

n+2

λ − 1

(1.4.19)

выполнено

(x)| ≤

c(n, λ)

при всех

x ∈ R

(1.4.20)

Здесь обозначено D

= ∂/∂x

Доказательство. Существование разбиения единицы, подчиненного

семейству {Q

}, с оценкой вида (1.4.20) для λ = 3/2 следует из [12]. Для

наших целей важен конкретный вид постоянной c(n, λ) в неравенстве
(1.4.20), поэтому мы приводим здесь самостоятельные построения.

1.4. ЛЕММА О РАЗБИЕНИИ ЕДИНИЦЫ

Выберем ψ ∈ C

∞

) так, чтобы

ψ(x) = ψ(x

, . . . , x

) ≡ 1

при

| ≤ 1

для всех i = 1, . . . , n и

ψ(x) = ψ(x

, . . . , x

) = 0

при

| ≥ λ ,

хотя бы для некоторого i.

Пусть

(x) = ψ(2(x − a

)/s

) ,

где a

есть центр куба Q

. Пусть ϕ

= ψ

и пусть

= ψ

l−1
j=1

(1 − ψ

)

для всякого

l = 2, . . . , N .

Тогда ϕ

∈ C

∞

) и при любом 1 ≤ k ≤ N выполнено

supp ϕ

⊂ supp ψ

⊂ λQ

По построению функций ϕ

ясно, что 0 ≤ ϕ

≤ 1 при всех 1 ≤ k ≤ N .

Пользуясь индукцией, выводим

j=1

= 1 − Π

k
j=1

(1 − ψ

)

(k = 1, 2, . . . , N ) .

Поскольку ψ

= 1, то Π

k
j=1

(1 − ψ

) = 0 при x ∈ ∪

N
j=1

и, тем самым,

j=1

(x) = 1

при

x ∈ ∪

N
j=1

Нам осталось найти оценку на производные функций ϕ

. Уточним сна-

чала выбор функции ψ. Введем в рассмотрение C

∞

-функцию ξ(t) : R →

R со свойствами:

|ξ(t)| ≤ 1

при всех

t ∈ R ,

ξ(t) ≡ 1

при

t ∈ [−1, 1],

ξ(t) ≡ 0

при

t ∈ R \ [−λ, λ] .

Выберем

ψ(x) ≡ ψ(x

, . . . , x

) =

k=1

ξ(x

) .

A-Решения с особенностями

Тогда, полагая, что a

= (a

, . . . , a

) есть центр куба Q

, имеем

(x) =

k=1

2(x

− a

)

Отсюда находим, что при любом p = 1, . . . , n выполнено

(x)| =

k=1
k6=p

2(x

− a

)

2(x

− a

)

≤

esssup

t∈R

|ξ

(t)| .

(1.4.21)

Функция ξ может быть выбрана так, чтобы для произвольной, наперед

заданной постоянной µ > 1 выполнено

ess sup

t∈R

|ξ

(t)| ≤

2µ

λ − 1

(1.4.22)

Так как по построению ϕ

= ψ

, то, в силу (1.4.21) и (1.4.22), можем

записать

(x)| ≤

4µ

(λ − 1)

p = 1, 2, . . . , n .

(1.4.23)

При l = 2, 3, . . . и p = 1, . . . , n имеем

| =

l−1
j=1

(1 − ψ

)

l−1
j=1

(1 − ψ

)

l−1
j=1

(1 − ψ

l−1
q=1

)

l−1

j=1
j6=q

(1 − ψ

) − (D

)

l−1
j=1

(1 − ψ

)

(1.4.24)

Нам потребуется следующее простое геометрическое утверждение.

1.4. ЛЕММА О РАЗБИЕНИИ ЕДИНИЦЫ

Лемма 1.4.2. В условиях леммы 1.4.1 для любого 1 ≤ q ≤ N никакая
точка x ∈ R

не может принадлежать одновременно более чем λ 2

попарно разъединенным кубам {λQ

}

q
i=1

со сторонами s

≥ s

Для доказательства достаточно заметить, что точка x может слу-

жить не более чем 2

вершинами бинарных кубов системы {Q

}

q
i=1

Функции

)

l−1

j=1
j6=q

(1 − ψ

) (q = 1, 2, . . . , l − 1)

)

l−1

j=1

(1 − ψ

)

имеют носители, лежащие в λQ

и λQ

, соответственно. Обозначим че-

рез χ

(x) (1 ≤ k ≤ l) характеристическую функцию куба λQ

. В силу

(1.4.24), мы имеем

= −

l−1
q=1

)

l−1

j=1
j6=q

(1 − ψ

) − (D

)

l−1
j=1

(1 − ψ

)

= −

l−1
q=1

(x) (D

)

l−1

j=1
j6=q

(1 − ψ

) − χ

(x) (D

)

l−1
j=1

(1 − ψ

)

и, далее, пользуясь оценками (1.4.21), (1.4.22), находим

| =

l−1

q=1

(x) (D

)

l−1

j=1
j6=q

(1 − ψ

) − χ

(x) (D

)

l−1

j=1

(1 − ψ

)

≤

q=1

(x) |D

| ≤

4µ

λ − 1

q=1

(x)

На основании леммы 1.4.2 в каждой фиксированной точке y ∈ R

полу-

чаем

(y)| ≤

n+2

λµ

λ − 1

max

, . . . ,

(l = 2, 3, . . .) .

(1.4.25)

A-Решения с особенностями

Объединяя (1.4.23), (1.4.25) и учитывая, что постоянная µ > 1 про-

извольна, убеждаемся в справедливости оценки (1.4.20) с постоянной
c(n, λ), подчиненной ограничению (1.4.19).

1.5

Особенности дифференциальных форм

Пусть D ⊂ R

– область и E ⊂ D – замкнутое относительно D множе-

ство. Рассмотрим дифференциальную форму θ, deg θ = n − 1, с коэффи-
циентами класса L

p
loc

(D \ E), p ≥ 1. Для произвольного куба Q(a, r) ⊂ D

такого, что Q(a, r) ∪ E 6= ∅, полагаем

κ(Q(a, r), θ) = inf

Q(a,r)\E

|θ − θ

| dx ,

где точная нижняя грань берется по всевозможным слабо замкнутым
формам θ

∈ L

(Q(a, r) \ E), supp θ

⊂ Q(a, r) \ E.

Наш результат о почти замкнутых формах состоит в следующем.

Теорема 1.5.1. Пусть D – подобласть R

, пусть ω – калибровочная

функция, обладающая свойством (1.3.12). Пусть E ⊂ D – замкнутое
относительно D множество.

Предположим, что θ, deg θ = n − 1, – дифференциальная форма в

D \ E, почти замкнутая в D \ E с уклонением ε

и такая, что для

всякого куба Q(x, r) ⊂ D выполнено

κ(Q(a, r), θ) ≤ ω(r) .

(1.5.26)

Тогда форма θ почти замкнута в D с уклонением

= ε

+ c(n, λ) c(λ, ω) ε

(1.5.27)

где

= D

(E)

h(t) = ω(t) t

−1

Доказательство. Пусть ϕ ∈ C

∞

(D), supp ϕ ⊂ D. Нам необходимо

доказать, что

dϕ ∧ θ

< ε

(1.5.28)

1.5. ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ

Зафиксируем постоянные λ > 1, ε

> 0, ε

> 0, функцию ω со свой-

ством (1.3.12) и функцию ϕ ∈ C

∞

(D), ,supp ϕ ⊂ D, 0 ≤ ϕ ≤ 1.

Пусть δ

= max

|∇ϕ|. Так как D

(E) = ε

для h(t) = ω(t) t

−1

и мно-

жество E ∩ supp ϕ компактно, то по определению бинарной меры D

(E)

множество E ⊂ D может быть покрыто конечной системой бинарных
кубов

{Q(x

, r

)} ,

≤ δ < δ

1 ≤ l ≤ m ,

так, что

int Q(x

, r

) ∩ int Q(x

, r

) = ∅

при всех

p 6= q

(1.5.29)

l=1

ω(r

) r

−1

< ε

+ ε

(1.5.30)

где δ > 0 и ε

> 0 – произвольные числа.

По лемме 1.4.1 найдется семейство функций ϕ

∈ C

∞

) со свойства-

ми (1.4.18) - (1.4.20).

Положим

I[ϕ] ≡

D\E

dϕ ∧ θ .

Мы имеем

I[ϕ] =

l=1

d(ϕ ϕ

) ∧ θ+

d(ϕ (1 −

l=1

)) ∧ θ =

l=1

d(ϕ ϕ

) ∧ (θ − θ

d(ϕ (1 −

l=1

)) ∧ θ .

A-Решения с особенностями

Здесь θ

есть слабо замкнутая в Q(x

, r

) \ E форма, описанного выше

вида, и мы использовали тот факт, что форма d(ϕ ϕ

) ∧ θ

финитна в

Q(x

, r

) \ E и потому

Q(x

)

d(ϕ ϕ

) ∧ θ

∗ 11 =

Q(x

)

d(ϕ ϕ

∧ θ

) ∗ 11 = 0 .

Однако,

supp ϕ

1 −

l=1

⊂ D \ E ,

0 ≤ ϕ

1 −

l=1

≤ 1 .

Форма θ почти замкнута с уклонением ε

> 0 в D \ E. Таким образом,

d(ϕ (1 −

l=1

)) ∧ θ

< ε

и мы получаем

| I[ϕ] | <

l=1

d(ϕ ϕ

) ∧ (θ − θ

)

+ ε

Отсюда,

| I[ϕ] | <

l=1

λQ(x

)

d(ϕ ϕ

) ∧ (θ − θ

)

+ ε

(1.5.31)

Нашей ближней целью теперь является доказательство следующего

утверждения.

Лемма 1.5.1. В предположениях теоремы 1.5.1 для произвольной функ-
ции ϕ ∈ C

∞

(D) и всякого l = 1, . . . , m имеет место соотношение

λB(x

)

d (ϕϕ

) ∧ (θ − θ

)

≤ c(ω, λ, ϕ) ω(r

) ,

(1.5.32)

1.5. ОСОБЕННОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ

где

c(ω, λ, ϕ) = c(λ, ω)

max

|∇ϕ| + c(n, λ)

– постоянная.

Для доказательства достаточно воспользоваться соотношением (1.5.26)

и заметить, что

λQ(x

)

d(ϕ ϕ

) ∧ (θ − θ

)

≤

λQ(x

)

|d(ϕ ϕ

) ∧ (θ − θ

) | dx ≤

≤

λQ(x

)

|d(ϕ ϕ

)| |θ − θ

| dx ≤

≤

λQ(x

)

(|ϕ| |∇ϕ

| + |∇ϕ| |ϕ

|) |θ − θ

| dx ≤

≤

max

λQ(x

)

|∇ϕ

| + max

|∇ϕ|

λQ(x

)

|θ − θ

| dx .

Не ограничивая общности можем считать форму θ

выбранной так,

что

λQ(x

)

|θ − θ

| dx ≤ κ(λQ(x

, r

), θ) .

Поэтому

λQ(x

)

d(ϕ ϕ

) ∧ (θ − θ

)

≤

max

λQ(x

)

|∇ϕ

| + max

|∇ϕ|

ω(λr

) ≤

A-Решения с особенностями

≤ c(ω

, λ) ω(r

)

max

λQ(x

)

|∇ϕ

| + max

|∇ϕ|

≤

≤ c(ω

, λ) ω(r

)

max

|∇ϕ| + c(n, λ)

= c(ω, λ, ϕ)ω(r

) .

Чтобы завершить доказательство теоремы 1.5.1 просуммируем (1.5.32)

по всем l = 1, . . . , m. Тогда имеем

m
l=1

λQ(x

)

d(ϕ ϕ

) ∧ θ

≤ c(ω, λ)

l=1

ω(r

) r

−1

(δ + c(n, λ)) .

Пользуясь (1.5.30), (1.5.31) и, полагая ε

, δ → 0, получаем

| I[ϕ] | ≤ ε

+ c(n, λ) c(λ, ω) lim

δ→0

l=1

ω(r

) r

−1

= ε

+ c(n, λ) c(λ, ω) D

(E) .

Данное соотношение влечет (1.5.27).

Отметим следующий специальный случай доказанной теоремы.

Следствие 1.5.1. Пусть D – подобласть R

, ω – калибровочная функ-

ция, обладающая свойством (1.3.12), и пусть E ⊂ D – замкнутое от-
носительно D множество. Пусть θ, deg θ = n − 1, – слабо замкнутая
в D \ E дифференциальная форма, удовлетворяющая (1.5.26).

Тогда если H

(E) = 0 для h(t) = ω(t) t

−1

, то форма θ слабо замкнута

в D.

Для доказательства достаточно заметить, что предположение об об-

ращении в нуль h-меры Хаусдорфа множества E влечет равенство нулю
бинарной меры D

(E).

1.6

Особенности A-решений

Укажем некоторые применения полученных результатов для A-решений
с особенностями.

1.6. ОСОБЕННОСТИ A-РЕШЕНИЙ

Теорема 1.6.1. Пусть D – подобласть R

и пусть E ⊂ D – замкнутое

относительно D множество. Пусть f – почти решение с уклонением
ε

> 0 в D \ E уравнения (1.1.4), удовлетворяющего предположениям

(1.1.2), (1.1.3).

Предположим также, что для всякого куба Q(x, r) ⊂ D и некоторой

калибровочной функции Ω со свойством (1.3.12) выполнено

Q(x,r)\E

w(x) |∇f (x)|

p−1

dx ≤ Ω(r) .

(1.6.33)

Тогда если D

(E) = ε

< ∞ для h(t) = Ω(t) t

−1

, то f является почти

решением в D уравнения (1.1.4) с уклонением ε

, определенным как в

(1.5.27).

Доказательство. Положим

θ(x) = ∗

i=1

(x, ∇f ) dx

Для произвольной функции ϕ ∈ C

∞

(D \ E), 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, имеем

dϕ ∧ θ = h∇ϕ, A(x, ∇f )i dx

∧ . . . ∧ dx

Тем самым, условие (1.1.6) влечет

D\E

dϕ ∧ θ

< ε

и форма θ почти замкнута в D \ E с уклонением ε

Так как

|θ(x)| = |A(x, ∇f )| ,

то предположение (1.6.33) гарантирует выполнение (1.5.26) с функцией

ω(t) =

Ω(t) .

На основании теоремы 1.5.1 заключаем, что f есть почти решение в об-
ласти D с уклонением ε

A-Решения с особенностями

Следствие 1.6.1. Пусть D – подобласть R

и пусть E ⊂ D – за-

мкнутое относительно D множество. Пусть f – обобщенное решение
в D \ E уравнения (1.1.4), удовлетворяющего предположениям (1.1.2),
(1.1.3).

Предположим также, что для всякого Q(x, r) ⊂ D и некоторой ка-

либровочной функции Ω со свойством (1.3.12) выполнено

Q(x,r)\E

w(x) |∇f (x)|

p−1

dx ≤ Ω(r) .

(1.6.34)

Тогда если H

(E) = 0 для h(t) = Ω(t) t

−1

, то f является обобщенным

решением в D уравнения (1.1.4).

Некоторые весьма тонкие результаты, касающиеся проблемы устра-

нимых особенностей p-гармонических функций, анонсированы А.В. По-
кровским [28]. Относительно других специальных случаев утверждения
об устранимых особенностях решений эллиптических уравнений см. [6],
[7], [4], [18], [14], [15], [32], [31], [8], [22], [26], [17] и др. Постановка за-
дачи о решениях эллиптических уравнений с особенностями, как почти
решениях, кажется, является новой.

1.7

Решения уравнения газовой динамики

Рассмотрим в качестве иллюстрирующего примера обобщенные решения
уравнения вида

i=1

∂

∂x

(σ(q)f

) = 0,

q = |∇f |,

(1.7.35)

где

σ(q) =

1 −

γ − 1

1/(γ−1)

При n = 2 мы имеем классическое уравнение газовой динамики. Данное
уравнение описывает потенциал скоростей плоского установившегося те-
чения идеального газа в адиабатическом режиме; γ, −∞ < γ < +∞,

1.7. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

— постоянная, характеризующая газ (см., например, [19, §15 главы IV]).
Для γ = 1 ± 0 имеем

σ(q) = exp

−

В случае n = 2 данное уравнение имеет эллиптический тип при γ ≤ 1.

Для γ > 1 оно эллиптично при q <

p2/(γ − 1), параболично при q =

p2/(γ − 1) и гиперболично при q > p2/(γ − 1). В общем случае n ≥ 2
мы предполагаем, что











или γ ≤ 1,

или γ > 1 и

ess sup

q(x) <

p2/(γ − 1) для всякой подобласти D

⊂⊂ D .

(1.7.36)

Если решение f фиксировано, то мы можем рассматривать σ как неко-

торую (наперед заданную) измеримую функцию переменной x. Решения
уравнения (1.7.35), в котором весовая функция σ есть функция пере-
менной x, называются σ-гармоническими функциями. Изучению таких
функций посвящено значительное количество работ (см., например, [1],
[9] и цитированную там литературу).

Теорема 1.7.1. Пусть D – подобласть R

и пусть E ⊂ D – замкнутое

относительно D множество. Пусть f – почти решение с уклонением
ε

> 0 в D \ E уравнения (1.7.35), удовлетворяющего предположениям

(1.7.36).

Предположим также, что для всякого Q(x, r) ⊂ D и некоторой ка-

либровочной функции Ω со свойством (1.3.12) выполнено

Q(x,r)\E

σ(|∇f (x)|) |∇f (x)| dx ≤ Ω(r) .

(1.7.37)

Тогда если D

(E) = ε

< ∞ для h(t) = Ω(t) t

−1

, то f является почти

решением в D уравнения (1.7.35) с уклонением ε

, определенным как в

теореме (1.5.27).

Доказательство. Положим

w(x) = σ(|∇f (x)|) .

A-Решения с особенностями

Предположение (1.7.36) влечет выполнение свойства (1.1.1) для весо-
вой функции w. Для нужного заключения достаточно заметить, что из
(1.7.37) следует (1.6.33) и воспользоваться теоремой 1.6.1.

Следствие 1.7.1. Пусть D – подобласть R

и пусть E ⊂ D – за-

мкнутое относительно D множество. Пусть f – обобщенное решение
уравнения (1.7.35) в D\E, удовлетворяющего предположениям (1.7.36).

Предположим, что для всякого куба Q(x, r) ⊂ D и некоторой калиб-

ровочной функции Ω со свойством (1.3.12) выполнено

Q(x,r)\E

σ(|∇f (x)|) |∇f (x)| dx ≤ Ω(r) .

(1.7.38)

Тогда если H

(E) = 0 для h(t) = Ω(t) t

−1

, то f является обобщенным

решением в D уравнения (1.7.35).

1.8

Приложения к квазирегулярным отображениям

Пусть U ⊂ R

– открытое множество. Непрерывное отображение F :

U → R

класса W

p,loc

(U ) называется квазирегулярным

[13, Section 14],

если почти всюду в U выполнено

(x)|

≤ K J

(x) .

(1.8.39)

Здесь F

: R

→ R

– формальная производная F и

(x)| = max

|h|=1

(x)h| .

Символом J

(x) мы обозначаем якобиан F в точке x ∈ U .

Отметим специальный случай теоремы 1.5.1.

Теорема 1.8.1. Пусть D ⊂ R

– область, и пусть E ⊂ D – замкнутое

относительно D подмножество. Пусть F : D \ E → R

– квазирегу-

лярное отображение, имеющее непрерывное продолжение F

∗

на E.

отображением с ограниченным искажением [29, §5 главы II]

1.8. ПРИЛОЖЕНИЯ К КВАЗИРЕГУЛЯРНЫМ ОТОБРАЖЕНИЯМ

Предположим, что для любого куба Q(x, r) ⊂ D и некоторой калиб-

ровочной функции ω со свойством (1.3.12) выполнено

Q(x,r)\E

n−1

dx ≤ ω(r) .

(1.8.40)

Если H

(E) = 0 при h(t) = ω(t) t

−1

, то E устранимо и отображение

∗

квазирегулярно в D.

Доказательство. Рассмотрим дифференциальную форму

θ = dF

∧ . . . ∧ dF

Мы имеем

hdF

, ?θi = J

(x) .

Согласно теореме 6.4 из [11] неравенство (1.8.39) влечет, что

|θ|

n/(n−1)

≤ c(n, K) |F

≤ c(n, K) |dF

На основании теоремы 1.5.1 заключаем, что для всякой неотрицательной
функции ϕ ∈ C

∞

(D), supp ϕ ⊂ D, справедливо соотношение

d(ϕ

) ∧ θ = 0 .

Следовательно,

∧ θ = −

dϕ

∧ θ

(x) dx = n

n−1

dϕ ∧ θ .

Однако, согласно (1.8.39),

dx ≤ K

(x) dx

и потому

dϕ ∧ θ| ≤ |∇ϕ| |F

| |θ| .

A-Решения с особенностями

Отсюда получаем

dx ≤

n−1

|∇ϕ| |F

| |θ| dx .

Легко видеть, что

|θ| ≤ c(n) |F

n−1

Следовательно,

dx ≤ c(n)

n−1

|∇ϕ| |F

| |F

n−1

dx .

На основании неравенства Гельдера можем записать, что

n−1

|∇ϕ| |F

| |F

n−1

dx ≤

≤





|∇ϕ|





1/n









n/(n−1)

Отсюда выводим

dx ≤ c(n)

|F |

|∇ϕ|

dx .

(1.8.41)

Так как H

(E) = 0, то либо |F

| = 0 почти всюду в D, а потому

F ≡ const, либо

lim

t→0

ω(t)

n+1

> 0 .

(1.8.42)

Соотношение (1.8.42) влечет H

(E) = 0. Но F

∗

∈ C

(D) и потому F

принадлежит классу ACL в D. Так как ϕ произвольна, то из (1.8.41)
вытекает F

∈ L

n
loc

(D). Тем самым, мы заключаем, что F

∈ W

n,loc

(D).

Используя те же самые аргументы для каждой функции F

, . . . , F

легко убедиться, что отображение F ∈ W

n,loc

(D) и, следовательно, оно

квазирегулярно в всей области D.

1.8. ПРИЛОЖЕНИЯ К КВАЗИРЕГУЛЯРНЫМ ОТОБРАЖЕНИЯМ

Следствие 1.8.1. Пусть D ⊂ R

– область, пусть E ⊂ D – замкну-

тое относительно D множество, и пусть F : D \ E → R

– квазире-

гулярное отображение.

Если F ∈ Lip(D \ E) и H

(E) = 0, то E устранимо для F .

Для доказательства достаточно заметить, что предположение F ∈

Lip(D \ E) влечет

sup

x∈D\E

| < ∞ .

Утверждение следует из теоремы 1.8.1 при ω(t) = t.

Другие признаки устранимости особого множества для квазирегуляр-

ных отображений см. И.Н. Песин [25], В.М. Миклюков [21], В.В. Асеев,
А.В. Сычев [2], [30, с. 108-113], Кауфман и Ву [16], Мартио, Миклюков,
Вуоринен [20] и др.

Автор признателен А.Н. Кондрашову, прочитавшему статью в руко-

писи и сделавшему ряд полезных замечаний.

Список литературы

[1] Alessandrini G. and Nesi V. Univalent σ-harmonic mappings// Arch.

Ration. Mech. and Anal. 2001. V. 158. P. 155-171.

[2] Асеев В.В., Сычов А.В. О множествах устранимых для простран-

ственных квазиконформных отображений// Сиб. мат. журн. 1974.
Т. 15. n. 6. С. 1213-1227.

[3] Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газо-

вой динамики. М.: ИЛ, 1961.

[4] Carleson L. Removable singularities for continuous harmonic functions

in R

// Math. Scand. 1963. V. 12. P. 15-18.

[5] Долженко Е.П. О "стирании"особенностей аналитических функ-

ций// Успехи матем. наук. 1963. Т. 18. n. 4. С. 135-142.

[6] Долженко Е.П. О представлении непрерывных гармонических функ-

ций в виде потенциалов// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28.
n. 5. С. 1113-1130.

[7] Долженко Е.П. Об особых точках непрерывных гармонических

функций// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28. n. 6. С. 1251-
1270.

[8] David G., Mattila P. Removable sets for Lipschitz harmonic functions in

the plane// Revista Mat. Iberoamericana. 2000. V. 16, P. 137-215.

[9] Faraco D. Beltrami operators and microstructure. Academic dissertation.

Depart. of Math. Faculty of Sci. University of Helsinki. Helsinki. 2002.

[10] Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.: Наука. 1987.

[11] Franke D., Martio O., Miklyukov V.M., Vuorinen M. and Wisk R.

Quasiregular mappings and WT

-classes of differential forms on

Riemannian manifolds// Pacific J. Math. 2002. V. 202. n. 1. P. 73-92.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[12] Harvey R., Polking J.C. Removable singularities of solutions of linear

partial differential equations// Acta math. 1970. V. 125. n. 1/2. P. 39-
56.

[13] Heinonen J., Kilpel¨

ainen T. and Martio O. Nonlinear potential theory

of degenerate elliptic equations. Oxford: Clarendon Press. 1993.

[14] Ищанов Б.Ж. Об устранимых особенностях функций классов BM O

и их обобщений// Вестник Московск. университета. Сер. 1. Матем.,
Мех. 1985. Вып. 5. С. 77-80.

[15] Ищанов Б.Ж. Незамкнутые особые множества для слабых решений

линейных дифференциальных уравнений// Геометрические вопро-
сы теории функций и множеств. 1989. Калинин: Калининский гос.
университет. С. 41-49.

[16] Kaufman R. and Wu J.-M. On removable sets for quasiconformal

mappings// Ark. Mat. 1996. V. 34. P. 141-158.

[17] Kilpel¨

ainen T., Zhong X. Removable sets for continuous solutions of

quasilinear elliptic equations// Proc. Amer. Math. Soc. 2002. V. 130.
n. 6. P. 1681-1688.

[18] Kral J. Removable singularities of solutions of semielliptic equations//

Rendiconti de Matematica. 1973. V. 6. n. 4. P. 763-783.

[19] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их мате-

матические модели. М.: Наука. 1973.

[20] Martio O., Miklyukov V.M. and Vuorinen M. Removable singularities

of WT -differential forms and quasiregular mappings// Reports of the
Depart. of Math., Univ. of Helsinki. 2004. Preprint 382. 13pp.

[21] Миклюков В.М. Об устранимых особенностях квазиконформных

отображений в пространстве// Докл. АН СССР. 1969. Т. 188. n. 3.
С. 525-527.

[22] Миклюков В.М. Множества особенностей решений уравнения мак-

симальных поверхностей в пространстве Минковского// Сиб. матем.
ж.. 1992. Т. 131. n. 6. С. 131-140.

[23] Миклюков В.М. Зоны стагнации гармонической функции на поверх-

ности и предлиувиллевы теоремы// Геометрический анализ и его
приложения. . Тез. докл. междунар. школы-конференции. Май 2004.
Волгоград: изд-во ВолГУ. С. 131-132.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[24] MiklyukovV.M., Chow S.-S. and Solovjov V.P. Stagnation zones of ideal

flows in long and narrow bands// IJMMS. 2004. V. 62. P. 3339-3356.

[25] Песин И.Н. Множества устранимых особенностей аналитических

функций и квазиконформные отображения// Исследования по со-
временным проблемам теории функций комплексного переменного.
1960. М.: ФМ. С. 419-424.

[26] Покровский А.В. Локальные аппроксимации решениями гипоэллип-

тических уравнений и устранимые особенности// Докл. РАН. 1999.
Т. 367. n. 1. С. 15-17.

[27] Покровский А.В. Об устранимых особенностях решений однород-

ных эллиптических уравнений в классах Никольского-Бесова// До-
кл. РАН. 2001. Т. 380. n. 2. С. 168-171.

[28] Pokrovskii A.V. Removable Singularities for p-Harmonic Functions//

Междунар. школа-конф. по геометрии и анализу. Тез. докл. 2004.
Новосибирск: изд-во Института математики СО РАН. С. 201-202.

[29] Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным ис-

кажением. Новосибирск: Наука, 1982.

[30] Сычев А.В. Модули и пространственные квазиконформные отобра-

жения. Новосибирск: Наука, 1983.

[31] Ullrich D.C. Removable sets for harmonic functions// Mich. Math. J.

1991. V. 38. P. 467-473.

[32] Uy N.X. Removable set for Lipschitz harmonic functions// Mich. Math.

J. 1990. V. 37. P. 45-51.

V.M. Miklyukov, A-Solutions with singularities as almost solutions.

Abstract. We introduce almost solutions of quasilinear differential equations

with partial derivatives and bring conditions under which solutions with
singularities are almost solutions.

Почти квазиконформные
отображения
как почти решения

В.М. Миклюков

В сб. Математический и прикладной анализ. Вып. 3. Тюменск. гос.

ун-т. 2007. с. 59-70.

Устанавливаются связи между отображениями класса W

1,n

loc

, почти ква-

зиконформными в смысле Кэллендера, и почти решениями квазилиней-
ных уравнений с частными производными эллиптического типа. В каче-
стве непосредственного применения указанного результата мы приводим
некоторый специальный принцип максимума для почти квазиконформ-
ных отображений, даем оценки размеров зон стагнации таких отображе-
ний.

2.1

Основная теорема

Напомним предварительно некоторые понятия. Пусть x = (x

, . . . , x

) –

точка n-мерного евклидова пространства R

, n ≥ 1,

|x| =

i=1

2
i

1/2

Почти квазиконформные отображения

Через S(a, r) и B(a, r) мы обозначаем соответственно сферу и шар с
центром в точке a ∈ R

и радиусом 0 < r < ∞.

Символом W

1,n

loc

(D) далее обозначется множество функций f , имею-

щих в области D ⊂ R

обобщенные производные в смысле С.Л. Соболева

∂f /∂x

(i = 1, . . . , n), суммируемые локально в D со степенью n. Вектор

- функция f = (f

, . . . , f

) : D → R

принадлежит классу W

1,n

loc

(D), если

каждая из функций f

(i = 1, . . . , m) принадлежит этому классу.

Согласно теореме Радемахера – Степанова всякая локально липшице-

ва функция f : D → R дифференцируема почти всюду [4, 3.1.6] и, как
легко усмотреть, всякое локально липшицево отображение f : D → R

принадлежит классу W

1,n

loc

(D).

Пусть f : D ⊂ R

→ R

– отображение класса W

1,n

loc

(D). Положим

(x) =













∂f

∂x

. . .

∂f

∂x

. . .

∂f

∂x

. . .

∂f

∂x













и, далее,

(x)| =

i=1

j=1

∂f

∂x

(x)

1/2

Следуя Кэллендеру [2] (в указанном виде см. также [9]), будем гово-

рить, что непрерывное отображение f : D ⊂ R

→ R

класса W

1,n

loc

(D)

является почти квазиконформным в D с постоянной K > 0 и локально
интегрируемой функцией σ : D → R, если почти всюду в области D
выполнено

(x)|

≤ K det (f

(x)) + σ(x) .

(2.1.1)

В случае σ ≡ 0 предположение (2.1.1) означает, что отображение f

является отображением с ограниченным искажением [7, §3 глава I] или,
в терминологии [8, раздел 14.1], квазирегулярным отображением.

2.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Следует подчеркнуть, что условие (2.1.1) не влечет постоянства знака

якобиана det (f

(x)). Таким образом, почти квазиконформные отобра-

жения могут менять ориентацию.

Пусть A(x, ξ) : D × R

→ R

– отображение, удовлетворяющее следу-

ющим предположениям:

(i) для почти всех x ∈ D отображение ξ ∈ R

→ A(x, ξ) определено и

непрерывно,

(ii) отображение x ∈ D → A(x, ξ) измеримо для всех ξ ∈ R

;

(iii) для почти всех x ∈ D и всех ξ ∈ R

выполняются следующие

структурные ограничения:

|A(x, ξ)|

n/(n−1)

≤ µ hξ, A(x, ξ)i ,

(2.1.2)

где µ > 0 – некоторая постоянная.

Рассмотрим уравнение

div A(x, ∇h) = 0 .

(2.1.3)

Будем говорить, что непрерывная функция h класса W

n,loc

(D) являет-

ся в D обобщенным решением уравнения (2.1.3), если для всякой функ-
ции ϕ(x) ∈ C

(D) с компактным носителем supp ϕ ⊂ D выполнено:

h∇ϕ, A(x, ∇h)i dx = 0 ,

где dx = dx

. . . dx

– элемент объема.

Предположения (i) и (ii) гарантируют измеримость отображения x ∈

D → A(x, g(x)) для произвольного измеримого на D векторного поля
g (см. в [1], раздел 3). Предположение (iii) означает ’слабую’ эллиптич-
ность (2.1.3).

Следуя [5], определим понятие почти решения уравнения (2.1.3). Фик-

сируем ε > 0. Непрерывная функция h класса W

1,n

loc

(D) называется по-

чти решением уравнения (2.1.3), если для всякой функции

ϕ(x) ∈ C

(D) ,

0 ≤ |ϕ(x)| ≤ 1 ,

с компактным носителем supp ϕ ⊂ D выполнено:

h∇ϕ, A(x, ∇h)i dx

< ε .

(2.1.4)

Почти квазиконформные отображения

Величина ε > 0 называется ε-уклонением почти решения h [5].

Пусть U – открытое множество в R

и пусть z(x) ∈ W

1,n

loc

(U ) – неко-

торая функция. Будем говорить, что z(x) принадлежит классу F

(µ; U ),

если найдутся постоянная µ > 0 и вектор-функция ω(x) = (ω

(x), . . . , ω

(x)) ∈

n−1

loc

(U ), обладающая свойствами:

α)

для произвольной неотрицательной функции ϕ ∈ W

1,n

(U ), supp ϕ ⊂

U , выполнено

i=1

0
x

(x) ω

(x) dx ≤ 0 ;

(2.1.5)

β)

почти всюду на U справедливо неравенство

|ω|

n/(n−1)

(x) ≤ µ h∇z(x), ω(x)i .

(2.1.6)

Будем говорить, что z(x) ∈ W

1,n

loc

(U ) принадлежит классу F (µ; U ), ес-

ли найдутся постоянная µ > 0 и вектор-функция ω(x) = ω

(x), . . . , ω

(x) ∈

n−1

loc

(U ) такие, что выполняется неравенство (2.1.6), а неравенство (2.1.5)

имеет место при любой функции ϕ ∈ W

1,n

(U ).

Наши дальнейшие построения будут базироваться на следующем эле-

ментарном замечании: множество функций z(x) : U → R класса F (µ; U )
(класса F

(µ; U )) совпадает с множеством решений всевозможных урав-

нений (2.1.3) (с множеством субрешений всевозможных уравнений (2.1.3)).

Пусть f : D → R

– почти квазиконформное отображение, осуществ-

ляемое вектор-функцией f = (f

, f

, . . . , f

). Введем обозначение z

(x) =

ln |f (x)| .

В качестве области определения функции z

(x) мы будем полагать

открытое множество U

= D \ E

, где

= {x ∈ D : |f (x)| = 0} .

Основной результат работы доставляет следующее утверждение.

2.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

Теорема 2.1.1. Пусть f : D → R

– почти квазиконформное отоб-

ражение с постоянной K > 0 и функцией σ(x) ∈ L

(D). Предполо-

жим, что существует вектор-функция Π : U

→ R

, Π ∈ W

1,q

loc

= 1, такая, что почти всюду на U

выполнено

|Π(x)|

n/(n−1)

≤ c(n) σ(x) |f (x)|

−n

+ c(n) K hΠ(x), ∇z

i .

(2.1.7)

Тогда функция z

: U

→ R является почти решением некоторого

уравнения вида (2.1.3), удовлетворяющего предположениям (i) – (iii) с
постоянной µ = 2

1/(n−1)

K c(n) и уклонением

ε =

|div Π(x)| dx .

Здесь

c(n) = n

4(n−1)

(n − 1)

−n/4

2.2

Доказательство основной теоремы

Рассмотрим дифференциальную (n − 1)-форму

Ω(y, dy) = |y|

−n

i=1

(−1)

i+n

∧ . . . c

. . . ∧ dy

где знак

b над выражением означает, что оно опускается.

Почти квазиконформные отображения

Легко проверяется, что данная форма замкнута. Именно, мы имеем

dΩ(y, dy) = −n

i=1

−

n+2

i=1

∧

i=1

(−1)

i+n

∧ . . . c

. . . ∧ dy

i=1

−

i=1

(−1)

i+n

∧ dy

∧ . . . ∧ c

∧ . . . ∧ dy

i=1

−

n+2

−n

i=1

(−1)

i+n

∧ dy

∧ . . . ∧ c

∧ . . . ∧ dy

+ n(−1)

n+1

i=1

∧ . . . ∧ dy

i=1

−

n+2

−n

i=1

(−1)

n+1

∧ . . . ∧ dy

+ n(−1)

n+1

(

i=1

) dy

∧ . . . ∧ dy

= 0 .

Поскольку производные функции z

имеют вид

∂

∂x

i=1

(x)

−1

i=1

∂f

∂x

и, согласно определения, отображение f непрерывно, то z

есть функция

класса W

1,n

loc

Индуцированная (n − 1)-форма Ω

∗

= Ω(f (x), df (x)) имеет коэффици-

енты класса L

n
loc

). Покажем, что Ω

∗

является слабо замкнутой [6] в

том смысле, что для произвольной n-формы β с компактным носителем
supp β ⊂ U

и коэффициентом класса W

n−1

) выполнено

Ω

∗

, (−1)

n−1

∗

−1

d∗ β

∧ . . . ∧ dx

= 0 .

(2.2.8)

2.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

Ясно, что в качестве n-форм β достаточно брать C

-формы с компакт-

ными носителями. Аппроксимируем вектор-функцию f : U

→ R

после-

довательностью C

-гладких вектор-функций f

: U

→ R

, сходящейся

по W

1,n

-норме на подобласти U

с компактным замыканием U

⊂ U

supp β ⊂ U

Пусть Ω

∗
k

= Ω(f

(x), d f

(x)). Мы имеем

dΩ

∗
k

∧ ∗β =

d(Ω

∗
k

∧ ∗β) + (−1)

∗

∧ d ∗ β .

Так как форма β имеет компактный носитель, то по формуле Стокса
первый из интегралов в правой части обращается в нуль. Отсюда,

dΩ

∗
k

∧ ∗β = (−1)

Ω

∗
k

∧ ∗ ∗

−1

d ∗ β

= −

Ω

∗
k

∧ ∗(−1)

n−1

∗

−1

d ∗ β = −

hΩ

∗
k

, (−1)

n−1

∗

−1

d ∗ βi dx

. . . dx

Так как d Ω(f

, df

)

= dΩ(f

, df

), то замкнута и каждая из форм Ω

∗
k

Это влечет справедливость соотношения (2.2.8) при всяком k = 1, 2, . . ..
Переходя в нем к пределу при k → ∞ и пользуясь сходимостью f

→ f

по W

1,n

-норме, заключаем о справедливости (2.2.8) для вектор-функции

f и произвольной n-формы β. Тем самым, слабая замкнутость формы
Ω

∗

доказана.

Рассмотрим вектор-функцию ω = (ω

, . . . , ω

), где

(−1)

m+1

|f |

i=1

(−1)

i−1

∆

m = 1, . . . , n .

Ортогональное дополнение к дифференциальной форме

n
m=1

степени 1 имеет вид

∗

m=1

= |f |

n−1

m=1

(−1)

m−1

∧ . . . ∧ d

∧ . . . ∧ df

= Ω

∗

Почти квазиконформные отображения

При этом, как показано выше,

d ∗

m=1

= div ω dx

∧ . . . ∧ dx

= 0 .

В соответствии со сказанным в разделе 1.3, существует вектор-функция

A такая, что

A(x, ∇z

(x)) = ω(x) + Π(x) .

Функция z

удовлетворяет уравнению div (A(x, ∇z

(x)) − Π(x)) = 0.

Для произвольной неотрицательной функции ϕ с компактным носите-
лем supp ϕ ⊂ D и свойствами

ϕ(x) ∈ C

(D) ,

0 ≤ ϕ(x) ≤ 1

выполнено

hA(x, ∇z

), ∇ϕi dx

≤

hω, ∇ϕi dx +

hΠ, ∇ϕi dx

hϕ, ∇Πi dx

≤

|div Π| dx < ε .

Таким образом, функция z = z

является почти решением уравнения

div A(x, z) = 0.

Нам осталось доказать, что имеет место соотношение (2.1.6) и, тем

самым, (2.1.2). Заметим сначала, что

hΩ

∗

, ∇z

i = |f |

−(n+2)

i,j=1

(−1)

i+n

hdf

, ∗(df

∧ . . . ∧ c

∧ . . . df

= |f |

−n

J (x, f )

2.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

и, далее,

hA, ∇z

i = hΩ

∗

, ∇z

i + hΠ, ∇z

= |f |

−n

J (x, f ) + hΠ, ∇z

≥

|f |

−n





i=1

|∇f

n/2

− σ(x)





+ hΠ, ∇z

i .

Тем самым, почти всюду на U

выполняется неравенство

|f |

−n

i=1

|∇f

n/2

+K hΠ, ∇z

i − σ(x)|f |

−n

≤ K hA, ∇z

i .

(2.2.9)

Таким образом, мы имеем

|A(x, ∇z

)| ≤ |Ω

∗

| + |Π| .

Величина

|Ω

∗

|Π|

1/t

является неубывающей функцией переменной t ∈ (−∞, +∞) (см., на-
пример, [1, стр. 30]). Поэтому при любом n > 1 выполнено

|Ω|

∗

|Π|

≤

|Ω

∗

n/(n−1)

|Π|

n/(n−1)

(n−1)/n

и, следовательно,

|A(x, ∇z

n/(n−1)

≤ 2

1/(n−1)

|Ω

∗

n/(n−1)

+ |Π|

n/(n−1)

(2.2.10)

Почти квазиконформные отображения

Нетрудно видеть, что

|Ω

∗

n/(n−1)

= Ω(f (x), df (x)) = |f |

−n

/(n−1)

i=1

(−1)

i+n

∧ . . . c

. . . ∧ df

n/(n−1)

≤ c(n) |f |

−n

i=1

|∇f

n/2

(2.2.11)

где c(n) – некоторая постоянная, которая будет указана ниже.

Поэтому, объединяя (2.2.9) и (2.2.10), приходим к неравенству

|A(x, ∇z

n/(n−1)

≤ 2

1/(n−1)

c(n) |f |

−n

i=1

|∇f

n/2

+ 2

1/(n−1)

|Π|

n/(n−1)

≤ 2

1/(n−1)

|Π|

n/(n−1)

1/(n−1)

c(n) (KhA, z

i − K hΠ, ∇z

i − σ(x) |f |

−n

) .

Предположение (2.1.7) влечет теперь, что

|A(x, ∇z

n/(n−1)

≤ 2

1/(n−1)

K c(n) hA, ∇z

и требование (2.1.2) на символ A действительно выполнено.

Для доказательства теоремы нам осталось оценить постоянную c(n).

Мы имеем

Ω

∗

= (Ω

, . . . , Ω

) ,

где

Ω

(−1)

m+1

|f |

i=1

(−1)

i−1

∆

∂(f

, f

, . . . , b

, . . . , f

)

∂(x

, x

, . . . ,

, . . . , x

)

2.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

Поэтому

|Ω

∗

| ≤ |f |

−n

i=1

m=1

(−1)

i−1

∆

1/2

≤ |f |

−n

i=1

m=1

∆

2
im

1/2

≤ |f |

−n

i=1

m=1

∆

2
im

1/2

≤ |f |

−n

i=1

m=1

∆

2
im

1/4

Однако, при α ≥ 2 выполняется [1, стр. 32]

α
1

+ . . . + a

α
n

)

1/α

≤ a

2
1

+ . . . + a

2
n

1/2

и, следовательно,

i=1

≤

i=1

≤ |f |

Тем самым, мы получаем

|Ω

∗

| ≤ n

1/4

|f |

−n+1





i=1

m=1

∆

2
im





1/4

(2.2.12)

В силу неравенства Адамара для определителей [3, стр. 230] и неравен-

ства между средним геометрическим и средним арифметическим имеем

|∆

≤

p=1

p6=i






q=1

q6=m






≤






n − 1

p=1

p6=i






q=1

q6=m











n−1

Почти квазиконформные отображения

или,

|∆

≤ (n − 1)

1−n

p=1

|∇f

n−1

Тем самым, на основании (2.2.12) находим

|Ω

∗

| ≤ n

3/4

(n − 1)

(1−n)/4

|f |

−n+1

p=1

|∇f

(n−1)/2

(2.2.13)

Неравенство (2.2.13) влечет выполнение соотношения (2.2.11) с посто-

янной c(n), как в теореме 2.1.1.

Список литературы

[1] Э. Беккенбах, Р. Беллман, Неравенства, М: Мир, 1965ю

[2] E.D. Callender, H¨

older-continuity of N -dimensional quasiconformal

mappings, Pacific J. Math., v. 10, 1960, 49-515.

[3] Ф.Р. Гантмахер, Теория матриц, М.: Наука, 1967.

[4] Г. Федерер, Геометрическая теория меры, М.: Наука, 1987.

[5] В.М. Миклюков, Решения с особенностями как почти-решения, ДАН

России, т. 410, n. 6, 2006, 1-3.

[6] D. Franke, O. Martio, V. M. Miklyukov, M. Vuorinen, and R. Wisk:

Quasiregular mappings and WT

-classes of differential forms on

Riemannian manifolds. – Pacific J. Math., v. 202, n. 1, 2002, 73-92.

[7] Yu.G. Reshetnyak, Space Mappings with Bounded Distortion. -

Translations of Mathematical Monographs 73, American Mathematical
Society, Providence, RI, 1989.

[8] J. Heinonen, T. Kilpel¨

ainen and O. Martio, Nonlinear Potential Theory

of Degenerate Elliptic Equations. - Oxford Mathematical Monographs,
Oxford University Press, Oxford, 1993.

[9] V.M. Miklyukov, On maps almost quasi-conformally close to quasi-

isometries. Печатн. Reports of the Depart. of Math., Preprint 425, Dec.
2005, Univ. of Helsinki, 26 pp.

Принцип максимума для разности
почти решений
нелинейных эллиптических
уравнений

В.М. Миклюков

Вестник Томского государственного ун-та.

Математика и механика, N 1, 2007, с. 33-45.

Доказывается принцип максимума для разности почти решений p-

гармонического уравнения, уравнения минимальной поверхности и урав-
нения газовой динамики.

3.1

Класс уравнений

Условимся в обозначениях. Пусть R

– n-мерное евклидово пространство,

n ≥ 1, со стандартным скалярным произведением h·, ·i и модулем |·| =
ph·, ·i.

Пусть D ⊂ R

– область и пусть k(x) : D → R

– измеримая по Лебегу,

неотрицательная и почти всюду конечная функция.

3.2. ПОЧТИ РЕШЕНИЯ

Пусть A : D × R

→ R

– отображение, удовлетворяющее следующим

предположениям:

(i) для почти всех x ∈ D отображение ξ ∈ R

→ A(x, ξ) определено и

непрерывно;

(ii) отображение x ∈ D → A(x, ξ) измеримо для всех ξ ∈ R

;

(iii) для почти всех x ∈ D и всех ξ ∈ R

выполняются следующие

структурные ограничения:

k(x) |ξ|

≤ hξ, A(x, ξ)i ,

(3.1.1)

|A(x, ξ)| ≤ µ

k(x) |ξ|

α−1

(3.1.2)

где α > 1 и µ

, µ

> 0 – некоторые постоянные.

Удобно обозначить µ = µ

/µ

. Ясно, что всегда µ ≥ 1.

Рассмотрим уравнение

div A(x, ∇h) = 0 .

(3.1.3)

Уравнения описанного вида называются A-гармоническими [HKM93].

Следует отметить, однако, что в монографии [HKM93] предполагаются
более жесткие ограничения на весовую функцию k(x). В частности, пред-
полагается, например, чтобы k(x) была ограничена сверху и отграничена
от нуля в существенном на компактных подмножествах области D и др.
[HKM93, стр. 7]. На наш взгляд, подобные ограничения при описании
класса уравнений излишни, поскольку носят во-многом технический ха-
рактер.

Простой пример A-гармонического уравнения доставляет уравнение

div(|∇h|

p−2

∇h) = 0 ,

p > 1.

(3.1.4)

Решения h уравнения (3.1.4) называются p-гармоническими функциями,
а само уравнение – p-гармоническим [HKM93, глава 6].

3.2

Почти решения

Символом C(E) ниже обозначается класс функций, непрерывных на
множестве E, символом C

(D) – множество функций, имеющих про-

изводные порядка k, k = 1, 2, . . ., в области D, символом C

1,1

(D) – мно-

жество функций класса C

(D) с производными первого порядка, удовле-

творяющими условию Липшица локально в D.

Разности почти решений

Функция h принадлежит классу W

1,α

(D), α ≥ 1, если она имеет

обобщенные в смысле С.Л. Соболева частные производные ∂h/∂x

, (i =

1, . . . , n), суммируемые по D со степенью α. Функция h принадлежит
классу W

1,α

loc

(D), если она принадлежит классу W

1,α

) на всякой под-

области D

b D. Последнее означает, что замыкание D

компактно и

содержится в D.

Определение 1. Непрерывная функция h : D → R

класса W

1,α

loc

(D)

является почти решением уравнения (3.1.3) , если для всякой функции

φ ∈ W

1,α

loc

(D) ∩ C(D) ,

0 ≤ φ ≤ 1 ,

supp φ ⊂ D ,

(3.2.5)

выполнено

h∇φ, A(x, ∇h)i dH

≤ ε ,

(3.2.6)

где dH

– элемент n-мерной меры Лебега.

Величина ε ≥ 0 называется уклонением почти решения h [Mikl06a].

Поясним введенное понятие в случае, когда ε = 0. Если множество ∂D

является счетно (H

n−1

, n − 1) – спрямляемым, то оно имеет локально ко-

нечный периметр в смысле Де-Джорджи и H

n−1

– почти всюду на ∂D

существует единичный вектор нормали n [Fed69, §3.2]. Простые сообра-
жения, опирающиеся на обобщенную формулу Остроградского - Гаусса
для C

1,1

-функций в областях с (H

n−1

, n − 1) – спрямляемыми границами

(см. [Mikl06b, теорема 2.6.2]), показывают, что принадлежность h классу
C

1,1

(D) и выполнение (3.2.6) с указанным произволом на функцию φ

влекут выполнение соотношения (3.1.3) в стандартном смысле.

3.3

Ключевое свойство

Пусть D ⊂ R

– область и

A(x, ξ) : D × R

→ R

– измеримая в смысле Лебега вектор-функция.

3.3. КЛЮЧЕВОЕ СВОЙСТВО

Пусть h : D → R

– непрерывная функция класса W

1,α

loc

(D), являюща-

яся почти решением уравнения

div e

A(x, ∇h) = 0 .

(3.3.7)

Определение 2. Будем говорить, что вектор-функция e

A(x, ξ) удо-

влетворяет условиям (3.1.1) – (3.1.2) на почти решении h, если вектор-
функция

A(x, ∇h(x)) : D → R

обладает свойствами (3.1.1) – (3.1.2), т.е. почти всюду в D выполнено

k(x) |∇h(x)|

≤ h∇h(x), e

A(x, ∇h(x))i ,

(3.3.8)

| e

A(x, ∇h(x))| ≤ µ

k(x) |∇h(x)|

α−1

(3.3.9)

Ключевым в нашем подходе является следующее утверждение.

Лемма 1.

Пусть h

, h

: D → R

– почти решения уравнения

(3.1.4). Тогда функция h = h

− h

является почти решением уравнения

(3.3.7), где

A(x, ξ) = |∇h

(x)|

p−2

(∇h

(x) + ξ) − |∇h

(x)|

p−2

(∇h

(x) − ξ) , (3.3.10)

удовлетворяющего условиям (3.1.1) – (3.1.2) на почти решении h c α =
2.

При этом можно положить

k(x) =

|λ ∇h

(x) + (1 − λ) ∇h

(x)|

p−2

dλ ,







при p ≥ 2 ,

p − 1

при 1 < p < 2 ,

= 1 + |p − 2| при p > 1 ,

и если уклонения h

, h

суть ε

> 0 и ε

> 0 соответственно, то

уклонение почти решения h равно ε

+ ε

Разности почти решений

Доказательство. Так как h

(i = 1, 2) суть почти решения уравнения

(3.1.4), то для всякой функции ϕ со свойствами (3.2.5) выполнено

h∇ϕ, |∇h

p−2

∇h

i dH

≤ ε

i = 1, 2 .

Отсюда, для всякой функции ϕ указанного вида имеет место соотноше-
ние

h∇ϕ, |∇h

p−2

∇h

− |∇h

p−2

∇h

i dH

≤ ε

+ ε

(3.3.11)

Выполнение (3.3.11) означает, что функция h = h

−h

является почти

решением уравнения (3.3.7) с e

A вида (3.3.10) и уклонением ε = ε

+ ε

Нам необходимо проверить, что e

A(x, ξ) удовлетворяет условиям (3.3.8)

– (3.3.9) при h = h

− h

c α = 2.

Мы воспользуемся подходом, использованным в [MV00] при доказа-

тельстве теоремы 1.1. Положим

Φ(λ) = |∇(λh

+ (1 − λ)h

p−2

∇(λh

+ (1 − λ)h

) ,

λ ∈ [0, 1] .

Мы имеем

Φ(0) = |∇h

p−2

∇h

Φ(1) = |∇h

p−2

∇h

Отсюда находим

|∇h

p−2

∇h

− |∇h

p−2

∇h

= Φ(1) − Φ(0) =

(λ) dλ =

(3.3.12)

(∇h

− ∇h

)|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−2

+ (p − 2)∇(λh

+ (1 − λ)h

)×

× |∇(λh

+ (1 − λ)h

p−4

h∇h

− ∇h

, ∇(λh

+ (1 − λ)h

dλ

h∇h

− ∇h

, |∇h

p−2

∇h

− |∇h

p−2

∇h

i =

(3.3.13)

3.3. КЛЮЧЕВОЕ СВОЙСТВО

= |∇h

− ∇h

|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−2

dλ+

+(p − 2)

|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−4

h∇h

− ∇h

, ∇(λh

+ (1 − λ)h

dλ .

Если p ≥ 2, то

h∇h

− ∇h

, |∇h

p−2

∇h

− |∇h

p−2

∇h

i ≥

(3.3.14)

≥ |∇h

−∇h

|∇(λh

+(1−λ)h

p−2

dλ = |∇h

−∇h

k(x) .

Пусть 1 < p ≤ 2. Заметим сначала, что

|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−4

h∇h

− ∇h

, ∇(λh

+ (1 − λ)h

dλ ≤

≤ |∇h

− ∇h

|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−2

dλ

|∇h

− ∇h

|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−2

dλ+

+(p − 2)

|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−4

h∇h

− ∇h

, ∇(λh

+ (1 − λ)h

dλ ≥

≥ (p − 1)|∇h

− ∇h

|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−2

dλ .

Разности почти решений

Тем самым, соотношение (3.3.13) при 1 < p ≤ 2 влечет

h∇h

− ∇h

, |∇h

p−2

∇h

− |∇h

p−2

∇h

i ≥ (p − 1)|∇h

− ∇h

k(x) .

(3.3.15)

Соотношения (3.3.14), (3.3.15) означают справедливость (3.3.8).
Проверим выполнение неравенства (3.3.9) при h = h

− h

и α = 2.

Предположим сначала, что p ≥ 2. Здесь (3.3.12) приводит к оценке

|∇h

p−2

∇h

− |∇h

p−2

∇h

≤

(∇h

− ∇h

)|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−2

dλ

+(p − 2)

∇(λh

+ (1 − λ)h

)|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−4

×h∇h

− ∇h

, ∇(λh

+ (1 − λ)h

)i dλ

|∇h

p−2

∇h

− |∇h

p−2

∇h

≤

≤ (p − 1)|∇h

− ∇h

|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−2

dλ =

= (p − 1)|∇h

− ∇h

| k(x) .

(3.3.16)

В случае 1 < p ≤ 2 имеем

|∇h

p−2

∇h

− |∇h

p−2

∇h

≤

(∇h

− ∇h

)|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−2

dλ

+(2 − p)

∇(λh

+ (1 − λ)h

)|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−4

3.4. ФУНКЦИЯ I(ξ, η)

×h∇h

− ∇h

, ∇(λh

+ (1 − λ)h

)i dλ

|∇h

p−2

∇h

− |∇h

p−2

∇h

≤

≤ (1 + |p − 2|)|∇h

− ∇h

|∇(λh

+ (1 − λ)h

p−2

dλ =

= (1 + |p − 2|)|∇h

− ∇h

k(x) .

(3.3.17)

Оценки (3.3.16), (3.3.17) обеспечивают выполнение (3.3.9) с α = 2 и

заявленной постоянной µ

3.4

Функция I(ξ, η)

Если положить,

(ξ, η) =

|λ ξ + (1 − λ) η|

p−2

dλ ,

то определенная в лемме 1 функция k(x) имеет вид

k(x) = I

(∇h

(x), ∇h

(x)) .

(3.4.18)

Укажем некоторые свойства функции I

(ξ, η). Прежде всего мы заме-

тим, что для любого λ ∈ [0, 1] выполнено

| λ|ξ| − (1 − λ)|η| | ≤ |λξ − (1 − λ)η| ≤ λ|ξ| + (1 − λ)|η| .

(3.4.19)

Пусть p ≥ 2. Предположим, что |ξ| > |η|. Пользуясь (3.4.19), имеем

(ξ, η) ≤

(λ(|ξ| − |η|) + |η|)

p−2

dλ =

(3.4.20)

Разности почти решений

|ξ| − |η|

|ξ|

|η|

p−2

dτ =

p − 1

|ξ|

p−1

− |η|

p−1

|ξ| − |η|

С другой стороны, на основании (3.4.19) находим

(ξ, η) ≥

|λ|ξ| − (1 − λ)|η||

p−2

dλ =

|λ(|ξ| + |η|) − |η||

p−2

dλ =

|λ(|ξ| + |η|) − |η||

p−2

dλ +

||η| − λ(|ξ| + |η|)|

p−2

dλ ,

где

s =

|η|

|ξ| + |η|

(3.4.21)

Вычисляя последние два интеграла, получаем

(ξ, η) ≥

p − 1

|ξ|

p−1

+ |η|

p−1

|ξ| + |η|

p ≥ 2.

(3.4.22)

Пусть 1 < p < 2. Как и выше, предположим, что |ξ| > |η|. В соответ-

ствии с (3.4.19) можем записать

(ξ, η) ≤

|λ|ξ| − (1 − λ)|η||

p−2

dλ =

|λ(|ξ| + |η|) − |η||

p−2

dλ =

||η| − λ(|ξ| + |η|)|

p−2

dλ +

|λ(|ξ| + |η|) − |η||

p−2

dλ ,

где величина s > 0 определена равенством (3.4.21). Таким образом, на-
ходим

(ξ, η) ≤

p − 1

|ξ|

p−1

+ |η|

p−1

|ξ| + |η|

1 < p < 2 .

(3.4.23)

3.4. ФУНКЦИЯ I(ξ, η)

Наконец, вычисляя как в (3.4.20), получаем

(ξ, η) ≥

p − 1

|ξ|

p−1

− |η|

p−1

|ξ| − |η|

1 < p < 2 .

(3.4.24)

Лемма 2. Имеют место соотношения:

(p)

|ξ|

p−1

− |η|

p−1

|ξ| − |η|

≤

|ξ|

p−1

+ |η|

p−1

|ξ| + |η|

≤ c

(p)

|ξ|

p−1

− |η|

p−1

|ξ| − |η|

p > 1 ,

(3.4.25)

(p) (|ξ|

p−2

+ |η|

p−2

) ≤

|ξ|

p−1

− |η|

p−1

|ξ| − |η|

≤ c

(p) (|ξ|

p−2

+ |η|

p−2

) ,

p ≥ 2 ,

(3.4.26)

(p)

|ξ|

2−p

+ |η|

2−p

≤

|ξ|

p−1

− |η|

p−1

|ξ| − |η|

≤

(p)

|ξ|

2−p

+ |η|

2−p

1 < p < 2 , (3.4.27)

где

(p) =

inf

1<x<∞

(x) ,

(p) = sup

1<x<∞

(x) ,

(p) =

inf

1<x<∞

(x) ,

(p) = sup

1<x<∞

(x) ,

(p) =

inf

1<x<∞

(x) ,

(p) = sup

1<x<∞

(x) ,

(x) =

p−1

+ 1)(x − 1)

p−1

− 1)(x + 1)

(x) =

p−1

− 1)

(x − 1)(x

p−2

+ 1)

(x) =

x − 1

p−1

− 1)(x

2−p

+ 1) .

Разности почти решений

Доказательство. В случае (3.4.25) имеем

lim

x→1

(x) =

p − 1

lim

x→∞

(x) = 1 .

Функция λ

(x) непрерывна на (1, ∞) и не обращается в нуль. Тем самым,

0 < c

(p) ≤ c

(p) < ∞

(p)

p−1

− 1

x − 1

≤

p−1

+ 1

x + 1

≤ c

(p)

p−1

− 1

x − 1

при всех x ∈ (1, ∞) .

Это влечет справедливость (3.4.25).

В точности так же проверяются оценки (3.4.26), (3.4.27) .
Подробности см. в [MRV07], леммы 3.5 и 3.6.

Замечание. В общем случае постоянные c

(p) − c

(p) присутствуют

в оценках весовой функции k(x) (см. соотношение (3.4.18) и лемму 3
ниже) и потому было бы желательно знать их точные значения, как это
сделано в [By05] в близких целях.

Объединяя найденные выше оценки (3.4.20), (3.4.22) — (3.4.24) для

(ξ, η) и (3.4.25) — (3.4.27), приходим к высказыванию:

Лемма 3. Имеют место оценки

(p) (|ξ|

p−2

+ |η|

p−2

) ≤ I

(ξ, η) ≤ c

(p) (|ξ|

p−2

+ |η|

p−2

) , p ≥ 2 , (3.4.28)

(p) (|ξ|

2−p

+ |η|

2−p

)

−1

≤ I

(ξ, η) ≤ c

(p) (|ξ|

2−p

+ |η|

2−p

)

−1

, 1 < p ≤ 2 ,

(3.4.29)

где

(p) =

p − 1

(p) c

(p) ,

(p) =

p − 1

(p) ,

(p) =

p − 1

(p) ,

(p) =

p − 1

(p) c

(p) .

3.5. ПРИНЦИП МАКСИМУМА

3.5

Принцип максимума

Напомним необходимые понятия из [Mikl06a]. Пусть D – область в R

и A, B – непустые, замкнутые относительно D, непересекающиеся под-
множества. Обозначим через

cap

(A, B) = inf

k(x) |∇u|

u ∈ C

(D) ,

≡ 0,

≡ 1 ,

взвешенную k-емкость конденсатора (A, B; D) и через

(O) = inf

k(x) |∇u|

k(x) u

u ∈ C

(O) ∩ C

(O),

∂O

= 0,

(3.5.30)

взвешенную основную частоту открытого множества O ⊂ R

Будем говорить, что неограниченная область D ⊂ R

является k-узкой

в окрестности бесконечно удаленной точки R

, если при всяком r > 0

выполнено

lim

R→∞

cap

, D \ D

) = 0 ,

где D

= {|x| < t} ∩ D.

Теорема 7.1.1 из [Mikl07] и лемма 1 влекут справедливость следующего

утверждения.

Теорема 1. Пусть h

, h

– почти-решения с уклонениями ε

> 0,

> 0 в области D ⊂ R

p-гармонического уравнения (3.1.4), удовле-

творяющие предположению

lim sup

x→x

(x) − h

(x)) ≤ 0 ,

x ∈ D, x

∈ ∂D.

(3.5.31)

Тогда либо h

(x) ≤ h

(x) всюду в D, либо открытое множество

O = {x ∈ D : (h

(x) − h

(x)) > 0}

не пусто и

{|x|<r}∩O

k(x) |∇(h

− h

≤

(ε

+ ε

(3.5.32)

Разности почти решений

+2µ

cap

, O \ O

) ,

где M = sup

(x) − h

(x)|.

В частности, если D ограничена или является k-узкой на бесконеч-

ности, то для любого r > 0 выполнено

{|x|<r}∩O

k(x) (h

(x) − h

(x))

≤

2(ε

+ ε

(O)

3.6

Цилиндрические области

Мы ограничимся иллюстрацией разрабатываемых методов на примере
p-гармонических функций в цилиндрических областях. В конических и
других, достаточно "правильных" областях R

могут быть использова-

ны близкие конструкции. Рассмотрение же общего случая требует тех-
ники, достаточно далеко отстоящей от развиваемой в этой работе (см.,
например, [Mikl07, разделы 1.1 и 1.2]) и требует самостоятельного иссле-
дования.

Пусть ∆ – ограниченная область в R

n−1

и D = ∆ × (0, +∞) – полуци-

линдр. Выясним условия, при которых область D является k-узкой.

Будем предполагать, что ∆ лежит в гиперплоскости x

= 0 так, что

x = (x

, x

) ∈ D, тогда и только тогда, когда x

∈ ∆ и x

> 0. Положим

(r) = max{x

: x ∈ D ∩ Σ(0, r)} ,

Σ(0, r) = {x ∈ R

: |x| = r} .

Пусть

D(t) = {x = (x

, x

) ∈ D : x

= t} ,

t > 0 ,

и пусть D

−

(t), D

(t) означают соответственно ограниченную и неогра-

ниченную компоненты связности множества D \ D(t). Зафиксируем 0 <
r < R < ∞ так, чтобы цилиндрическая область D

r,R

, заключенная меж-

ду плоскими сечениями D(x

(r)) и D(x

(R)) была непустой. Так как

область D

r,R

лежит в D между D

и D \ D

, то имеет место следующее

соотношение между k-емкостями

cap

, D \ D

) ≤ cap

−

(r)), D

(R))) .

(3.6.33)

Обозначим через ˜

k(t) величину ess sup

x∈D(t)

k(x) . Нетрудно видеть, что

cap

−

(r)), D

(R))) ≤ cap

−

(r)), D

(R))) .

(3.6.34)

3.6. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ

Пусть u(x) – произвольная функция, допустимая при вычислении ˜

емкости конденсатора (D

−

(r)), D

(R))). В силу интегрального нера-

венства Коши, при любом x

∈ ∆ имеем

1 ≤






(R)

(r)

|∇ϕ(x

, x

)| dx






≤

(R)

(r)

k(x

) |∇ϕ(x

, x

(R)

(r)

k(x

)

Отсюда,

n−1

(∆)






(R)

(r)

k(x

)






−1

≤

∆

n−1

(R)

(r)

k(x

) |∇ϕ(x

, x

r,R

k(x

) |∇ϕ(x

, x

и переходя в правой части к точной нижней грани по всем допустимым
функциям ϕ, находим

n−1

(∆)






(R)

(r)

k(x

)






−1

≤ cap

−

(r)), D

(R))) .

Найденая оценка является точной и достигается на функции

ϕ(x

, x

) =











при

≤ x

(r) ,

(R)

k(x

)






(R)

(r)

k(x

)






−1

при

(r) < x

< x

(R) ,

при

≥ x

(R) .

Разности почти решений

Тем самым, мы получаем

n−1

(∆)






(R)

(r)

k(x

)






−1

= cap

−

(r)), D

(R))) .

(3.6.35)

Сопоставляя (3.6.33), (3.6.34) и (3.6.35), приходим к высказыванию:

Лемма 4. Если весовая функция k удовлетворяет условию

+∞

k(t)

= +∞ ,

k(t) = ess sup

x∈D(t)

k(x) ,

(3.6.36)

то цилиндрическая область D является k-узкой в окрестности беско-
нечно удаленной точки R

Пусть h

, h

– почти-решения в

D = ∆ × (0, +∞)

некоторого p-гармонического уравнения. Положим

q(x) =











|∇h

(x)|

p−2

+ |∇h

(x)|

p−2

при

p ≥ 2 ,

(|∇h

(x)|

2−p

+ |∇h

(x)|

2−p

)

−1

при

1 < p < 2 ,

и, далее,

q(t) = ess sup

x∈D(t)

q(x) ,

t > 0 .

Заметим, что в силу соотношений (3.4.28) – (3.5.30) имеем

(p) λ

(O) ≤ λ

(O) ≤ c

(p) λ

(O) ,

где

(p) =











при

p ≥ 2 ,

при

1 < p < 2 ,

(p) =











при

p ≥ 2 ,

при

1 < p < 2 .

3.7. СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Пользуясь леммами 3 и 4, на основании теоремы 1 получаем:

Теорема 2. Пусть h

, h

– ограниченные почти-решения с уклоне-

ниями ε

> 0, ε

> 0 в цилиндрической области D = ∆ × (0, +∞)

некоторого p-гармонического уравнения (3.1.4), причем

+∞

q(t)

= +∞ .

(3.6.37)

Предположим, что всюду на границе D имеет место (3.5.31). Тогда

либо h

(x) ≤ h

(x) всюду в D, либо открытое множество

O = {x ∈ D : (h

(x) − h

(x)) > 0}

не пусто и для любого r > 0 выполнено

{|x|<r}∩O

q(x) (h

(x) − h

(x))

≤

2(ε

+ ε

(p) λ

(O)

(3.6.38)

где

(p) =







при

p ≥ 2 ,

при

1 < p < 2 . .

3.7

Сильно нелинейные уравнения

Пусть D ⊂ R

– область. Пусть A : D × R

→ R

– отображение,

удовлетворяющее предположениям (i), (ii) раздела 1.1. Вместо (iii) мы
будем предполагать, что имеет место свойство:

(iv) для почти всех x ∈ D и любых ξ, η ∈ R

выполнено

ν k(x) |A(x, ξ) − A(x, η)|

≤ hξ − η, A(x, ξ) − A(x, η)i ,

(3.7.39)

где ν > 0 – постоянная и k(x) ≥ 0 – измеримая функция.

В некоторых случаях имеет смысл предполагать, что символ A(x, ξ)

подчинен условию:

A(x, ξ) = A(x, η)

тогда и только тогда, когда

ξ = η .

(3.7.40)

Разности почти решений

Условиям (3.7.39) с ν = 1, k(x) ≡ 1 и (3.7.40) удовлетворяет уравнение

минимальной поверхности

div

∇h(x)

p1 + |∇h(x)|

= 0

(3.7.41)

(см. [Mik79] – [PRS02]).

Другой пример доставляет одно уравнение газовой динамики

div (σ(|∇h(x)|) ∇h(x)) = 0 ,

σ(t) =

1 −

γ − 1

γ−1

(3.7.42)

где γ – постоянная, характеризующая поток субстанции [Bers61, §2],
[LS73, §2].

В [KKM] установлено, что в случае постоянной −∞ < γ ≤ −1 урав-

нение (3.7.42) удовлетворяет (3.7.39) c ν = 1, k(x) ≡ 1 и (3.7.40). При
γ > −1 в [KKM] указаны некоторые оценки множества, на котором вы-
полнено (3.7.39).

3.8

Разности почти решений

Пусть h

и h

– произвольная пара почти решений уравнения (3.1.3) в

области D ⊂ R

такие, что в каждой граничной точке x

∈ ∂D выпол-

нено

lim

x→x0

x∈D

(x) − h

(x)) ≤ 0 .

(3.8.43)

Предположим, что в некоторой точке a ∈ D выполнено h

(a) > h

(a).

Обозначим через O открытое множество

{x ∈ D : h

(x) − h

(x) > 0} ,

содержащую точку a.

Всюду на границе ∂O имеем h

(x) − h

(x) = 0. Рассмотрим функцию

f (x) =











(x) − h

(x)

при

x ∈ O ,

при

x ∈ D \ O .

3.8. РАЗНОСТИ ПОЧТИ РЕШЕНИЙ

Данная функция непрерывна, неотрицательна и принадлежит классу
W

1,p

(D).

Зафиксируем r > 0 так, чтобы пересечение шара

B(0, r) = {x ∈ R

: |x| < r}

с областью O было непусто, и R > r. Пусть ψ(|x|) : R

→ R

– непре-

рывная функция, равная 1 на B(0, r), обращающаяся в 0 на R

\ B(0, R),

принадлежащая классу W

1,2

) и такая, что 0 ≤ ψ(x) ≤ 1.

Не ограничивая общности, можем считать, что функция ϕ(x) = ψ

(x) f (x)

финитна в области D. Если уклонения почти решений h

и h

суть ε

> 0

и ε

> 0, то, в силу (3.2.5), имеем

h∇ϕ, A(x, ∇h

)i dH

−

h∇ϕ, A(x, ∇h

)i dH

≤

h∇ϕ, A(x, ∇h

) − A(x, ∇h

)i dH

≤ (ε

+ ε

) M ,

где

M = max

(x) − h

(x)) .

Отсюда находим

O∩B(0,R)

h∇h

− ∇h

, A(x, ∇h

) − A(x, ∇h

)i dH

≤

O∩B(0,R)

f ψ h∇ψ, A(x, ∇h

) − A(x, ∇h

)i dH

+ (ε

+ ε

) M .

Тем самым, пользуясь (3.7.39), приходим к неравенству

O∩B(0,R)

k(x)|A(x, ∇h

) − A(x, ∇h

≤

Разности почти решений

≤ 2

O∩B(0,R)

f ψ|∇ψ| |A(x, ∇h

) − A(x, ∇h

)| dH

+ (ε

+ ε

) M .

Так как

|a b| ≤

|a|

|b|

p > 1 ,

то для любого s > 0 выполнено

f ψ|∇ψ| |A(x, ∇h

) − A(x, ∇h

)| ≤

2 s

−1

(x) |∇ψ|

k(x) |A(x, ∇h

) − A(x, ∇h

Выберем s > 0 так, чтобы

ν > s

(3.8.44)

Тогда

O∩B(0,R)

k(x) |A(x, ∇h

)−A(x, ∇h

≤ C

(s) (ε

+ε

(s)

O∩B(0,R)

−1

(x) |∇ψ|

где

(s) = M

ν − s

(s) =

ν − s

Учитывая теперь, что ψ(x) ≡ 1 при x ∈ B(0, r), приходим к соотноше-
нию

O∩B(0,r)

k(x) |A(x, ∇h

)−A(x, ∇h

≤ C

(s) (ε

+ε

(s)

O∩{r<|x|<R}

−1

(x) |∇ψ|

3.8. РАЗНОСТИ ПОЧТИ РЕШЕНИЙ

Обозначим через

cap

−1

(P, Q; D) = inf

−1

(x)|∇ψ|

ψ|

≡ 0,

ψ|

≡ 1 ,

взвешенную емкость конденсатора (P, Q; D). Тогда для любого s > 0,
удовлетворяющего (3.8.44), выполнено

O∩B(0,r)

k(x) |A(x, ∇h

) − A(x, ∇h

≤

≤ C

(s) (ε

+ ε

) + C

(s) cap

−1

, O

; D) ,

(3.8.45)

где O

= {|x| < t} ∩ O.

Будем говорить, что неограниченная область D ⊂ R

является k

−1

узкой в окрестности бесконечно удаленной точки R

, если при всяком

r > 0 выполнено

lim

R→∞

cap

−1

, D \ D

) = 0 .

Имеет место следующая форма принципа максимума для разности

почти решений.

Теорема 3.

Пусть h

, h

– почти решения в области D ⊂ R

уравнения (3.1.3) с ограничениями (i) , (ii) и (iv). Предположим, что
h

, h

удовлетворяют условию

lim sup

x→x

(x) − h

(x)) ≤ 0 ,

x ∈ D, x

∈ ∂D ,

и имеют уклонения ε

> 0, ε

> 0 соответственно.

Тогда либо h

≤ h

всюду в D, либо множество O = {x ∈ D : h

(x) >

(x)} не пусто и имеет место (3.8.45). В частности, если область D

ограничена или является k

−1

-узкой на бесконечности, то для любого

r > 0 выполнено

{|x|<r}∩O

k(x) |A(x, ∇h

) − A(x, ∇h

≤

(ε

+ ε

) .

(3.8.46)

Разности почти решений

Для разности решений уравнения газовой динамики близкое утвер-

ждение получено в [KM05], для почти решений A-гармонических урав-
нений — в [Mikl07, раздел 7.1.2].

3.9

Замечания

Положим

(O) = inf

k(x) |A(x, ∇u

) − A(x, ∇u

k(x) |u

− u

(3.9.47)

, u

∈ C

(O) ∩ C

(

O) ,

− u

∂O

= 0 .

В описанных обозначениях имеем

(O)

k(x) |h

(x)−h

(x)|

≤

k(x) |A(x, ∇h

)−A(x, ∇h

и неравенство (3.8.45) принимает вид

(O)

O∩B(0,r)

k(x) |h

− h

≤

≤ C

(s) (ε

+ ε

) + C

(s) cap

−1

, O

; D) .

Если же область D ограничена либо является k

−1

-узкой в окрестности

бесконечно удаленной точки R

, то

O∩B(0,r)

k(x) |h

− h

≤

(ε

+ ε

)

(O) .

3.9. ЗАМЕЧАНИЯ

В случае, когда h

, h

суть решения, т.е. уклонения ε

, ε

= 0, мы

имеем

k(x)|h

(x) − h

(x)|

= 0 .

Отсюда, если k(x) > 0 почти всюду, то h

(x) ≡ h

(x) и мы приходим

к стандартной форме принципа максимума. Другими словами, свойство
(3.8.46) для почти решений представляет собой некоторую специальную
форму принципа максимума.

Эффективные оценки снизу для величины (3.9.47) представляют собой

весьма нетривиальную задачу.

Список литературы

[HKM93] J. Heinonen, T. Kilpel¨

ainen, and O. Martio, Nonlinear potential

theory of degenerate elliptic equations, Clarendon Press, Oxford etc.,
1993, 363 pp.

[Mikl06a] В.М. Миклюков, A-решения с особенностями как почти реше-

ния, Матем. сб., т. 197, вып. 11, 2006, стр. 31—50.

[Fed69] Г. Федерер, Геометрическая теория меры, М: изд-во "Наука",

1969, 760 стр.

[Mikl06b] В.М. Миклюков, Введение в негладкий анализ, Волгоград: изд-

во ВолГУ, 2006, 284 стр.

[MV00] V.M. Miklyukov, M.K. Vuorinen, A generalized maximum principle

for the differences of p−harmonic functions on Riemannian manifolds,
Труды по анализу и геометрии, Новосибирск: Изд-во Института ма-
тематики, 2000, 401–413.

[MRV07] V.M. Miklyukov, A. Rasila, and M.K. Vuorinen, Three spheres

theorem for p-harmonic functions, Houston Journal of Mathematics,
v. 33, n. 4, 2007, 1215–1230.

[By05] J. Bystr¨

om, Sharp constants foe some inequalities connected to

the p-Laplace operator, Journal Inequalities in Rure and Applied
Mathematics, v. 6, n. 2, 2005, 1-8.

[Mikl07] В.М. Миклюков, Геометрический анализ, Волгоград: изд-во

ВолГУ, 2007, 532 стр.

[Mik79] В.М. Миклюков, Об одном новом подходе к теории Бернштей-

на и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности,
Матем. сб., 1979, т. 108(150), 268-289; см. также сборн. статей "Науч-
ные школы Волгоградского государственного ун-та. Геометрический
анализ и его приложения", Волгоград, Изд-во ВолГУ, 1999, 22-51.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[Hw88] J.F. Hwang, Comparison principles and theorems for prescribed mean

curvature equation in unbounded domains, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa,
1988, v. 15, 341-355.

[Hw95] J.F. Hwang, A uniqueness theorem for the minimal surface equation,

Pacific J. Math., 1996, v. 176, 357-364.

[CK91] P. Collin, R. Krust, Le probl´

eme de Dirichlet pour l’equation des

surfaces minimales sur des domaines non born´

es, Bull. Soc. Math.

France, 1991, v. 119, 443-458.

[PRS02] S. Pigola, M. Rigoli and A.G. Setti, Some remarks on the prescribed

mean curvature equation on complete manifolds, Pacific J. Math., 2002,
v. 206, no. 1, 195-217.

[Bers61] Л. Берс, Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой

газовой динамики, Н.:ИЛ, 1961, 208 с.

[LS73] М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат, Проблемы гидродинамики и их ма-

тематические модели, М.: Наука, 1973, 416 с.

[KKM] V.A. Klyachin, A.V. Kochetov, V.M. Miklyukov, Some elementary

inequalities in gas dynamics equation, Reports of the Department of
Mathematics, University of Helsinki, Preprint 402, 2004, 26pp.; Journal
of Inequalities and Applications, 2006, Article ID 21693, 29 pp.

[KM05] А.В. Кочетов, В.М. Миклюков, "Слабая" теорема типа Фрагме-

на – Линделефа для разности решений уравнения газовой динамики,
Сибирск. журн. индустриальной математики, т. IX, n. 3, 2006, с. 90-
101.

V.M. Miklyukov, Maximum principle for difference of almost

solutions of elliptic equations.

Abstract. An analog of the maximum principle is proved for differences

of almost solutions of p-harmonic equations, the minimal surface equation
and the gas dynamics equation.

К неравенству Гарнака для почти
решений
эллиптических уравнений

В.М. Миклюков

В сб. Записки семинара ”Сверхмедленные процессы”.

Вып. 3. Волгоград: изд-во ВолГУ. 2007. с. 30-43ж Изв. РАН, Серия

математическая, Т. 73, n. 5, 2009.

Устанавливается аналог неравенства Гарнака для почти решений
A-гармонических уравнений.

4.1

Уравнения

Условимся в обозначениях. Пусть R

– n-мерное евклидово пространство,

n > 1, со стандартным скалярным произведением h·, ·i и модулем |·| =
ph·, ·i.

Пусть D ⊂ R

– область. Пусть A : D × R

→ R

– отображение,

удовлетворяющее предположениям:

(i) для почти всех x ∈ D отображение ξ ∈ R

→ A(x, ξ) определено и

непрерывно;

(ii) отображение x ∈ D → A(x, ξ) измеримо для всех ξ ∈ R

;

4.2. ПОЧТИ РЕШЕНИЯ

(iii) для почти всех x ∈ D и всех ξ ∈ R

выполняются следующие

структурные ограничения:

A(x, λξ) = λ |λ|

p−2

A(x, ξ) , λ ∈ R

(4.1.1)

|ξ|

≤ hξ, A(x, ξ)i ,

(4.1.2)

|A(x, ξ)| ≤ ν

|ξ|

p−1

(4.1.3)

где ν

, ν

> 0 и p ≥ 1 – некоторые постоянные.

Рассмотрим уравнение

div A(x, ∇h) = 0 .

(4.1.4)

Решения h уравнения (4.1.4) называются A-гармоническими функци-

ями, а само уравнение – A-гармоническим [1, глава 6].

Простейшим уравнением описанного вида является уравнение

div(|∇h|

p−2

∇h) = 0 ,

p > 1 .

4.2

Почти решения

Говорят, что функция h : U ⊂ R

→ R

удовлетворяет условию Липшица

на множестве U , если существует постоянная 0 ≤ C < ∞ такая, что для
произвольной пары точек x

, x

∈ U выполнено

|h(x

) − h(x

)| ≤ C |x

− x

| .

Функция h : U ⊂ R

→ R

называется локально липшицевой, если она

удовлетворяет условию Липшица на всяком компактном подмножестве
F ⊂ U.

Символом C(E) обозначается класс функций, непрерывных на множе-

стве E, символом C

(D), k = 1, 2, . . ., – множество функций, имеющих

производные порядка k в области D.

Функция h принадлежит классу W

1,p

(D), p ≥ 1, если она имеет обоб-

щенные в смысле С.Л. Соболева частные производные

∂h/∂x

i = 1, . . . , n ,

суммируемые по D со степенью p.

К неравенству Гарнака

Функция h принадлежит классу W

1,p

loc

(D), если она принадлежит клас-

су W

1,p

) для всякой подобласти D

b D. Последнее означает, что

замыкание D

компактно и содержится в D.

Пусть D ⊂ R

– ограниченная область, ∂D – ее граница и пусть

A(x, ξ) : D × R

– вектор-функция со свойствами (i) − (iii). Фиксируем

ε > 0.

Определение 1. Будем говорить, что непрерывная функция h клас-

са W

1,p

loc

(D) является почти решением уравнения (4.1.4), если для всякой

функции

ϕ(x) ∈ W

1,p

(D) ∩ C(D) ,

ϕ|

∂D

= 0 ,

0 ≤ ϕ(x) ≤ 1 ,

(4.2.5)

выполнено:

h∇ϕ, A(x, ∇h)i dH

≤ ε

(4.2.6)

(здесь dH

– элемент n-мерной меры Лебега).

Величина ε > 0 называется уклонением почти решения h [2].
Если функция h определена в неограниченной области D, то h есть

почти решение с уклонением ε > 0, если она является таковым в каждой
ограниченной подобласти D

⊂ D. Ниже, если не оговорено противное,

предполагается, что область определения почти решения ограничена.

Носителем supp h функции h : D ⊂ R

→ R

называется множество

{x ∈ D : h(x) 6= 0}.

Функция h финитна в D, если ее носитель компактен и содержится в
D.

Предложение. При определении почти решения достаточно огра-

ничиться финитными в D функциями ϕ со свойствами (4.2.5) и (4.2.6).

Доказательство. Дейстительно, пусть h : D → R

– почти реше-

ние уравнения (4.1.4) в смысле определения 1 в некоторой ограниченной
области D ⊂ R

. Для произвольной неотрицательной функции ϕ со свой-

ствами (4.2.5) и произвольного δ > 0 полагаем

= {x ∈ D : 0 ≤ ϕ(x) ≤ δ}

4.3. ПОДГОТОВИТЕЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО











при

x ∈ D

ϕ(x) − δ

при

x ∈ D \ D

Функции ϕ

финитны в D и обладают свойствами (4.2.5). Тем самым,

h∇ϕ

, A(x, ∇h)i dH

≤ ε .

Замечая, что

lim

δ→0

h∇ϕ

, A(x, ∇h)i dH

h∇ϕ, A(x, ∇h)i dH

легко заключаем нужное.

Отдельные свойства почти решений, а также их связи с почти квази-

конформными отображениями в смысле Кэллендера [3] см. в [4, §8.7]. Ни-
же для почти решений A-гармонических уравнений предлагаются неко-
торые версии неравенства типа неравенства Гарнака. Для решений урав-
нений эллиптического типа различные варианты неравенства Гарнака
см., например, в [5, §3.5 и др.], [1, теорема 6.6], [4, теорема 3.2.3].

4.3

Подготовительное неравенство

Пусть D – область в R

и пусть h : D → R

– почти решение уравне-

ния (4.1.4) с уклонением ε > 0. Предположим, что h > 0 в D. Введем
обозначение u = ln h.

В силу (4.2.6), для произвольной функции ϕ со свойствами (4.2.5) вы-

полнено

h∇ϕ, A(x, ∇e

)i dH

≤ ε .

Для функций ϕ со свойствами:

ϕ(x) ∈ W

1,p

(D) ∩ C(D) ,

ϕ|

∂D

= 0 ,

0 ≤ ϕ(x) < ∞ ,

(4.3.7)

К неравенству Гарнака

имеем

h∇ϕ, A(x, ∇e

)i dH

≤ ε max

x∈D

ϕ(x) .

Пользуясь соотношением (4.1.1), находим

A(x, ∇e

) = e

(p−1) u

A(x, ∇u)

и далее,

h∇ϕ, A(x, ∇e

)i dH

(p−1)u

∇ϕ, A(x, ∇u)i dH

h∇

ϕ e

(p−1)u

, A(x, ∇u)i dH

−(p−1)

ϕ e

(p−1)u

h∇u, A(x, ∇u)i dH

h∇ψ, A(x, ∇u)i dH

− (p − 1)

ψh∇u, A(x, ∇u)i dH

где ψ = ϕ e

(p−1) u

Отсюда,

(p − 1)

ψh∇u, A(x, ∇u)i dH

≤ ε max

x∈D

ϕ(x) +

h∇ψ, A(x, ∇u)i dH

На основании структурных ограничений (4.1.2) и (4.1.3), получаем

(p − 1)ν

ψ |∇u|

≤ ε max

x∈D

ψ(x)

h(x)

p−1

+ ν

|∇ψ| |∇u|

p−1

Удобно положить ψ = η

. В этом случае предыдущее неравенство пере-

писывается в виде

(p − 1)ν

|∇u|

≤ ε max

x∈D

(x)

h(x)

p−1

+ pν

p−1

|∇η| |∇u|

p−1

4.3. ПОДГОТОВИТЕЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО

Пользуясь неравенством

ab ≤

p − 1

p−1

a, b ≥ 0 ,

p > 1 ,

для произвольного δ > 0 имеем

p−1

|∇η| |∇u|

p−1

≤

|∇η|

p − 1

p δ

p−1

|∇u|

Выберем δ > 0 так, чтобы

< δ

p−1

(4.3.8)

Тогда

|∇u|

≤ C

(δ) ε max

x∈D

(x)

h(x)

p−1

+ C

(δ)

|∇η|

(4.3.9)

где

(δ) =

(p − 1)(ν

− ν

−p/(p−1)

)

(δ) =

(p − 1)(ν

− ν

−p/(p−1)

)

Пусть U b D – подобласть. Выберем η = 1 на U . Учитывая, что η ≥ 0

в D, на основании неравенства (4.3.9) приходим к утверждению:

Лемма 1. Пусть D ⊂ R

– область и пусть h – положительное

почти решение в D уравнения (4.1.4) с уклонением ε > 0. Тогда для
всякой подобласти U b D, произвольного δ > 0 со свойством (4.3.8) и

произвольной неотрицительной в D функции η со свойствами:

η(x) ∈ W

1,p

(D) ∩ C(D) ,

η|

∂D

= 0 ,

η|

= 1 ,

выполнено

|∇u|

≤ C

(δ) ε max

x∈D

(x)

h(x)

p−1

+ C

(δ)

D\U

|∇η|

(4.3.10)

К неравенству Гарнака

4.4

Емкость

Оценка (4.3.10) справедлива для произвольной постоянной δ > 0, удо-
влетворяющей (4.3.8). Данная оценка является ключевой в построениях.

Обозначим через E (κ) множество всех функций η(x), допустимых в

(4.3.10) и таких, что

sup

x∈D

(x)

h(x)

p−1

≤ κ < ∞ .

(4.4.11)

Определение 2. Величина

cap

E(κ)

(U, ∂D) = inf

η∈E (κ)

D\U

|∇η|

(4.4.12)

называется E (κ)-емкостью конденсатора (U, ∂D).

Если множество E (κ) пусто, то мы полагаем cap

E(κ)

(U, ∂D) = ∞.

Следует отметить, что в общем случае, в силу специфики условия

(4.4.11), класс функций E (κ) и, следовательно, величина cap

E(κ)

(U, ∂D)

зависят от p и h.

В случае, когда точная нижняя грань в (4.4.12) берется по всем непре-

рывным в области D функциям η ∈ W

1,p

(D), η|

= 1, η|

∂D

= 0, мы име-

ем стандартную p-емкость cap

(U, ∂D) конденсатора, образуемого парой

областей U, D, U b D, т.е.

cap

(U, ∂D) = inf

D\U

|∇η|

(4.4.13)

С использованием введенных величин лемма 1 принимает следующий

вид:

Лемма 2. Если h – положительное почти решение в области D ⊂

уравнения (4.1.4) с уклонением ε > 0, то для всякой подобласти

U b D выполнено

|∇u|

≤ inf

δ,κ

(δ) κ ε + C

(δ) cap

E(κ)

(U, ∂D)

(4.4.14)

4.5. ПРИНЦИП ’ДЛИНЫ И ПЛОЩАДИ’

где точная нижняя грань берется по всем δ > 0, удовлетворяющим
(4.3.8), и всем κ, 0 ≤ κ < ∞.

В случае решений уравнения (4.1.4) величина ε = 0 и оценка (4.4.14)

совпадает с оценкой (5.5) из [6].

4.5

Принцип ’длины и площади’

Нам потребуется специальная форма известного принципа ’длины и пло-
щади’ [7]. Пусть V b U – области в R

, n ≥ 2, и пусть g : U → R

–

липшицева функция, подчиненная условиям:

(a) g|

∂U

= 0 и g|

= 1;

(b) для всякой подобласти F b (U \ V ) выполнено

0 < ess inf

|∇g(x)| ≤ ess sup

|∇g(x)| < ∞ .

Для произвольного t ∈ (0, 1) символом Σ

будем обозначать компо-

ненту связности множества {x ∈ D : g(x) = t}, разделяющую гра-
ницы ∂U и ∂V , символом B

– открытое подмножество D с границей

∂B

= Σ

. Так как функция g липшицева, то почти все ее поверхности

уровня {y : g(x) = t} являются счетно (H

n−1

, n − 1)-спрямляемыми [8,

теорема 3.2.15] и, в частности, на них определена (n − 1)-мерная мера
Хаусдорфа H

n−1

Зафиксируем гиперповерхность Σ

описанного вида. Для произволь-

ной пары точек a, b ∈ Σ

пусть Γ = Γ(a, b) означает семейство локально

спрямляемых дуг γ ⊂ Σ

, соединяющих точки a и b. Определим величину

mod

(g, Γ) = inf

|∇g|

n−1





inf

γ∈Γ

ρ dH





(4.5.15)

где точная нижняя грань берется по всем неотрицательным борелевским
функциям ρ : Σ

→ R

. Если Γ(a, b) = ∅, то мы полагаем mod

(g, Γ) = ∞.

К неравенству Гарнака

Введем обозначение

(t) = inf

a,b∈Σ

mod

(g, Γ) .

(4.5.16)

Функция µ

(t) измерима на (0, 1). Некоторые конкретные примеры

этой функции можно найти в [6, стр. 207].

Имеет место
Лемма 3. Если функция h : U → R

принадлежит классу W

1,p

(U ),

p > n − 1, и osc {h, Σ

} есть колебание h на Σ

, то

osc

{h, Σ

} µ

(t) dt ≤

U \V

|∇h|

(4.5.17)

Доказательство см. в [6, лемма 5.1].

4.6

Основная теорема

Пусть D – область в R

, n ≥ 2, и пусть U, V – ее подобласти, V b U b D.

Положим

(V, U, D) =

inf

δ,κ

(δ) κ ε + C

(δ) cap

E(κ)

(U, ∂D)

1/p





(t) dt





1/p

(4.6.18)

Определение 3. Пусть O – область в R

. Величина

(O) = inf

|∇u|

u ∈ C

(O) ∩ C

(O),

∂O

= 0,

(4.6.19)

4.6. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

называется основной частотой порядка p ≥ 1 открытого множества
O ⊂ R

Следующее утверждение является центральным в работе.

Теорема 1. Пусть D – область в R

и U, V – ее подобласти, V b

U b D. Если h – положительное почти решение уравнения (4.1.4),

p > n − 1, в D, то

inf

max{h(x) : x ∈ V \ O

} ≤

(4.6.20)

≤ exp{ θ

(V, U, D)} sup

min{h(x) : x ∈ V \ O

} ,

где точная нижняя и точная верхняя грани берутся по всевозможным
непустым открытым подмножествам O

⊂ D, D \ O

6= ∅, таким,

что h|

∂O

= C, C = const.

Доказательство. Объединяя оценки (4.4.14) и (4.5.17), находим

osc

{ln h, Σ

} µ

(t) dt ≤ inf

δ,κ

(δ) κ ε + C

(δ) cap

E(κ)

(U, ∂D)

или

inf

t∈(0,1)

osc{ln h, Σ

}

(t) dt ≤ inf

δ,κ

(δ) κ ε + C

(δ) cap

E(κ)

(U, ∂D)

Таким образом, для всякого достаточно малого s > 0 и подходящего
t

> 0:

(osc {ln h, Σ

} − s)

(t) dt ≤ inf

δ,κ

(δ) κ ε + C

(δ) cap

E(κ)

(U, ∂D)

Отсюда получаем

max {ln h(x) : x ∈ Σ

} − min {ln h(x) : x ∈ Σ

} − s =

= osc {ln h(x) : x ∈ Σ

} − s ≤ θ

(V, U, D)

max {ln h(x) : x ∈ Σ

} − min {ln(e

h(x)) : x ∈ Σ

} ≤ θ

(V, U, D) .

К неравенству Гарнака

Потенцируя, находим

max {h(x) : x ∈ Σ

} ≤ exp {θ

(V, U, D)} min {(e

h(x)) : x ∈ Σ

} .

Поскольку s > 0 есть произвольное, сколь угодно малое число, то

max {h(x) : x ∈ Σ

} ≤ exp {θ

(V, U, D)}min {h(x) : x ∈ Σ

} .

Воспользуемся утверждением (следствие 7.1.1 [4]):

Лемма 4. Пусть f – почти решение с уклонением ε > 0 в области

D уравнения (4.1.4) с ограничениями (4.1.1) – (4.1.3), удовлетворяющее
на границе области предположению f |

∂D

≤ C. Тогда либо f (x) ≤ C

всюду в D, либо множество O

= {x ∈ D : f (x) > C} не пусто и

|f (x) − C|

≤

2 f

M ε

(D)

M = sup

x∈D

|f (x) − C| .

Так как h – почти решение с уклонением ε > 0, то −h – также почти

решение. При этом, если множество O

не пусто, то

M = max

x∈D

|h(x) − C| ≤ 2 max

x∈D

h(x) = 2M .

На основании леммы 4 имеем

inf

max {h(x) : x ∈ V \ O

} ≤ inf

max {h(x) : x ∈ B

\ O

} ≤

≤ max {h(x) : x ∈ Σ

}

min {h(x) : x ∈ Σ

} ≤ sup

max {h(x) : x ∈ B

\ O

} ≤

≤ sup

min {h(x) : x ∈ V \ O

} ,

что непосредственно влечет (4.6.20).

4.7. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ

4.7

Монотонные функции

Рассмотрим частный случай. Напомним следующее понятие:

Определение 4.

Функция h : D → R

называется монотонной,

если для всякой подобласти D

⊂ D выполнено

osc(h, D

) ≤ osc(h, ∂D

) .

Так как для монотонной функции открытые множества O

описанно-

го выше вида отсутствуют, то из теоремы 1 вытекает:

Следствие. Пусть D – область в R

и U, V – ее подобласти, V b

U b D. Если h – положительное, монотонное почти решение уравне-

ния (4.1.4), p > n − 1, в D, то

max{h(x) : x ∈ V } ≤ exp{ θ

(V, U, D)} min{h(x) : x ∈ V } .

(4.7.21)

4.8

Почти решения в шаре

Если функция η является экстремальной в вариационной задаче (4.4.13),
то из соотношения (4.4.14) следует

|∇u|

≤ inf

(δ) ε sup

x∈D

(x)

h(x)

p−1

+ C

(δ) cap

(U, ∂D)

(4.8.22)

Пусть D = B(0, r

) – шар радиуса r

> 0 с центром в начале координат

x = 0 и пусть U = B(0, r

), V = B(0, r

), где 0 < r

< r

∞. Несложно проверяется, что экстремальная в вариационной задаче
(4.4.13) для конденсатора (U, ∂D) функция имеет вид

(|x|) =

|x|

n−1

p−1





n−1

p−1





−1

Здесь имеем

cap

(U, ∂D) =

D\U

|∇η

p > 1 ,

К неравенству Гарнака

и оценка (4.8.22) принимает вид

|∇u|

≤

≤ inf






(δ) ε sup

x∈D

(|x|)

h(x)

p−1

+ C

(δ) ω

n−1





n−1

p−1





1−p






(4.8.23)

где ω

n−1

– (n − 1)-мерная площадь единичной сферы в R

Рассмотрим функцию

g(x) =

− |x|

− r

≤ |x| ≤ r

Мы имеем |∇g(x)| ≡ 1. Тем самым, g удовлетворяет условиям (a), (b)
раздела 5. Величина (4.5.15) в данном случае имеет вид

mod

(g, Γ) = inf

n−1





inf

γ∈Γ

ρ dH





Мы имеем

n−1

= ω

n−1

− t(r

− r

)]

n−1

dω

n−1

= [r

− t(r

− r

)] ds

n−1

где dω

n−1

и ds

n−1

– элемент площади и элемент длины на (n − 1)-мерной

сфере в R

единичного радиуса. Тем самым, для функции, определяемой

равенством (4.5.16), и произвольного t ∈ (0, 1) можем записать

(t) = µ

p,n−1

− t(r

− r

)]

n−p−1

где µ

p,n−1

= mod

(g, Γ

) – стандартный p-мерный модуль семейства все-

возможных спрямляемых дуг Γ

на единичной сфере в R

, соединяющих

4.8. ПОЧТИ РЕШЕНИЯ В ШАРЕ

"северный и южный полюсы" сферы. Отсюда получаем

(t) dt =

p,n−1

− r

n−p−1

dτ .

(4.8.24)

Здесь µ

p,n−1

> 0 тогда и только тогда, когда p > n − 1, что непосред-

ственно следует из вида элемента площади dH

n−1

на единичной сфере и

интегрального неравенства Гельдера.

Теорема 2. Предположим, что области V b U b D суть концен-

трические шары в R

радиусов 0 < r

< r

< ∞ соответствен-

но. Тогда, если h – положительное почти решение уравнения (4.1.4),
p > n − 1, с уклонением ε > 0 в D, то имеет место утверждение
теоремы 1 с постоянной θ

(V, U, D) в (4.6.20) равной






inf






(δ) ε sup

x∈D

(|x|)

h(x)

p−1

+ C

(δ) ω

n−1





n−1

p−1





1−p











1/p





p,n−1

− r

n−p−1





1/p

. (4.8.25)

Для доказательства достаточно воспользоваться оценками (4.8.23)

и (4.8.24). Заметим при этом, что точная нижняя грань в (4.8.25) берется
по всем δ > 0, удовлетворяющим неравенству (4.3.8).

Список литературы

[1] Heinonen J., Kilpel¨

ainen T., and Martio O. Nonlinear potential theory of

degenerate elliptic equations. Clarendon Press, Oxford etc., 1993. 363 p.

[2] Миклюков В.М. A-решения с особенностями как почти решения//

Матем. сб. 2006. Т. 197, N. 11. С. 31—50.

[3] E.D. Callender, H¨

older-continuity of N -dimensional quasiconformal

mappings// Pacific J. Math. 1960. V. 10. P. 499-515.

[4] Миклюков В.М. Геометрический анализ. Волгоград: изд-во ВолГУ,

2007. 532 с.

[5] Гилбарг D., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные урав-

нения с частными производным второго порядка. М.: Наука, 1989.
464 с.

[6] Martio O., Miklyukov V.M., and Vuorinen M. Harnack’s inequality

for p−harmonic functions on Riemannian manifolds for different
exhaustion// Комплексный анализ в современной математике. К 80-
летию со дня рождения Бориса Владимировича Шабата, стр. 201-
230, ред. Е.М. Чирка, М.: Фазис, 2001.

[7] Суворов Г.Д. Обобщенный "принцип длины и площади"в теории

отображений. Киев: Наукова думка, 1985. 278 с.

[8] Федерер Г. Геометрическая теория меры. М: Наука, 1969. 760 с.

V.M. Miklyukov, On Harnack inequality for almost solutions of

elliptic equations.

Abstract. An analog of the Harnack inequality is proved for almost

solutions of A-harmonic equations.

Решения параболических уравнений
как
почти решения эллиптических

В.М. Миклюков

Напр. в сб. Математический и прикладной анализ. Тюменск. гос. ун-т.

2009.

Памяти друга -

Виктора Ивановича Кругликова

Устанавливается, что в определенных условиях решения уравнений

параболического типа могут рассматриваться как почти решения эллип-
тических. В качестве приложения указывается некоторая специальная
форма принципа максимума для решений параболических уравнений.

5.1

Классы уравнений

Пусть D ⊂ R

– область и пусть k(x) : D → R

– измеримая по Лебегу

функция такая, что для всякой подобласти D

b D выполнено

0 < ess inf

k(x) ≤ ess sup

k(x) < ∞ .

(5.1.1)

Решения параболических уравнений

Пусть A : D × R

→ R

– отображение, удовлетворяющее предполо-

жениям:

(i) для почти всех x ∈ D отображение ξ ∈ R

→ A(x, ξ) определено и

непрерывно;

(ii) отображение x ∈ D → A(x, ξ) измеримо для всех ξ ∈ R

;

(iii) для почти всех x ∈ D и всех ξ ∈ R

выполняются следующие

структурные ограничения:

A(x, λξ) = λ |λ|

p−2

A(x, ξ) , λ ∈ R

(5.1.2)

k(x) |ξ|

≤ hξ, A(x, ξ)i ,

(5.1.3)

|A(x, ξ)| ≤ µ

k(x) |ξ|

p−1

(5.1.4)

где µ

, µ

> 0 и p ≥ 1 – некоторые постоянные.

Удобно обозначить µ = µ

/µ

. Ясно, что всегда µ ≥ 1.

Пусть −∞ ≤ τ

< τ

≤ +∞ – фиксированные числа. Рассмотрим

уравнение

div A(x, ∇h) = B(t, h, h

0
t

) ,

(5.1.5)

где

h = h(x, t) : D × (τ

, τ

) → R

∇h = (h

0
x

, . . . , h

0
x

) − формальный градиент ,

B(t, h, h

0
t

) = b

(t) |h|

p−2

h + b

(t) |h|

p−2

∂h

∂t

(x, t)

(t), b

(t) : (τ

, τ

) ⊂ R

→ R

– локально липшицевы на (τ

, τ

) функции.

В случае b

, b

≡ 0 простейшим уравнением описанного вида является

уравнение

div(|∇h|

p−2

∇h) = 0 ,

p > 1.

(5.1.6)

Решения h уравнения (5.1.6) называются p-гармоническими функциями,
а само уравнение – p-гармоническим [HKM93, глава 6].

Рассматриваемый в работе класс уравнений включает в себя при b

, b

≡

0 уравнение минимальной поверхности

div

∇h(x)

p1 + |∇h(x)|

= 0 .

(см. [Mikl06a, теорема 6.1.2]).

5.2. РЕШЕНИЯ И ПОЧТИ РЕШЕНИЯ

При определенных γ описанному классу принадлежит также и урав-

нение газовой динамики

div (σ(|∇h(x)|) ∇h(x)) = 0 ,

где

σ(t) =

1 −

γ − 1

γ−1

и γ — постоянная, −∞ < γ < +∞, характеризующая поток субстанции
[Mikl06a, раздел 6.1.4].

В случае p = 2, b

≡ 0, b

≡ 1 и A(x, ξ) = ξ имеем стандартное

уравнение теплопроводности в R

5.2

Решения и почти решения

Пусть D ⊂ R

– область и пусть (τ

, τ

) ⊂ R

Определение 1. Пусть h : D×(τ

, τ

) → R

– непрерывная функция,

принадлежащая классу W

1,p

loc

(D) при каждом t ∈ (τ

, τ

) и имеющая

производную h

(x, t), удовлетворяющую условию Липшица локально на

(τ

, τ

) при каждом x ∈ D. Функция h является обобщенным решением

уравнения (5.1.5) , если для всякой непрерывной функции φ(x) ∈ W

1,p

loc

(D)

с компактным носителем supp φ(x) ⊂ D при каждом t ∈ (τ

, τ

) вы-

полнено

h∇φ, A(x, ∇h)i dH

= −

φ B(t, h, h

0
t

) dH

(5.2.7)

Простые соображения, опирающиеся на обобщенную формулу Остро-

градского - Гаусса для функций с локально липшицевыми производны-
ми (см. [Mikl06a, теорема 2.6.2]) показывают, что выполнение (5.2.7) с
указанным произволом на функцию φ влечет выполнение соотношения
(5.1.5).

Пусть D ⊂ R

– область и A(x, ξ) : D × R

– произвольная вектор-

функция со свойствами (i) − (iii). Фиксируем ε > 0.

Определение 2. Будем говорить, что непрерывная функция h клас-

са W

1,p

loc

(D) является почти-решением уравнения

div A(x, ∇h) = 0 ,

(5.2.8)

Решения параболических уравнений

если для всякой непрерывной функции

ϕ(x) ∈ W

1,p

(D) ,

0 ≤ |ϕ(x)| ≤ 1 ,

(5.2.9)

с компактным носителем supp ϕ ⊂ D выполнено:

h∇ϕ, A(x, ∇h)i dH

< ε .

(5.2.10)

Величина ε > 0 называется уклонением почти-решения h [Mikl06b].

5.3

Основная теорема

Пусть D – область в R

, n ≥ 2, пусть (τ

, τ

) ⊂ R

и пусть

h = h(x, t) : D × (τ

, τ

) → R

— обобщенное решение уравнения (5.1.5), подчиненного условиям (5.1.1)
- (5.1.4).

Положим e

D = D × (τ

, τ

). Пусть ˜

x = (x, t) ∈ e

D. В каждой точке ˜

x ∈

D, где определены формальный градиент ∇h(x) и производная ∂h/∂t
полагаем

∇h(˜

x) =

∇h(˜

x),

∂h

∂t

(˜

Определим вектор-функцию

A(˜

x, e

∇h) = ( ˜

(˜

x, e

∇h), . . . , ˜

(˜

x, e

∇h) , b

(t)|h

0
t

p−2

0
t

) : e

D → R

n+1

где

(˜

x, e

∇h) = A

(x, ∇h) ,

i = 1, 2, . . . , n .

Покажем, что данная вектор-функция удовлетворяет условиям (5.1.2)

– (5.1.4).

Выполнение свойства (5.1.2) очевидно, поскольку

A(˜

x, λ e

∇h) = ( ˜

(˜

x, λ e

∇h), . . . , ˜

(˜

x, λ e

∇h) , b

(t) |λ h

0
t

p−2

λ h

0
t

) =

= λ |λ|

p−2

( ˜

(˜

x, e

∇h), . . . , ˜

(˜

x, e

∇h) , b

(t) |h

0
t

p−2

0
t

) = λ |λ|

p−2

A(˜

x, e

∇h) .

5.3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Чтобы проверить выполнение (5.1.3) и (5.1.4) положим ˜

ξ = (ξ, η), где

ξ ∈ R

и η ∈ R

. Заметим, что

h ˜

A(˜

x, ˜

ξ), ˜

ξi

n+1

= hA(x, ξ), ξi

+ b

(t) |η|

A(˜

x, ˜

ξ)

|A(x, ξ)|

+ |b

(t)|

|η|

2(p−1)

1/2

Тем самым,

h ˜

A(˜

x, ˜

ξ), ˜

ξi

n+1

≥ µ

k(x) |ξ|

+ b

(t) |η|

≥ k

(˜

x) (|ξ|

+ |η|

)

(5.3.11)

A(˜

x, ˜

ξ)

≤

2
2

(x) |ξ|

2(p−1)

+ b

2
1

(t) |η|

2(p−1)

1/2

≤

≤ k

(˜

x) (|ξ|

2(p−1)

+ |η|

2(p−1)

)

1/2

(5.3.12)

где

(˜

x) = min{µ

k(x) , b

(t)} ,

(˜

x) = max{µ

k(x) , b

(t)} .

(5.3.13)

В случае 1 ≤ p ≤ 2 согласно неравенству Иенсена [BB, глава I, §16]

(|ξ|

+ |η|

)

1/p

≥ (|ξ|

+ |η|

)

1/q

(0 < p ≤ q)

имеем

(|ξ|

+ |η|

)

1/p

≥ (|ξ|

+ |η|

)

1/2

а потому

|ξ|

+ |η|

≥ | ˜

ξ|

и соотношение (5.3.11) влечет

h ˜

A(˜

x, ˜

ξ), ˜

ξi

n+1

≥ k

(˜

x) | ˜

ξ|

(1 ≤ p ≤ 2) .

(5.3.14)

В случае 2 < p < ∞ средние

|ξ|

|η|

1/p

монотонно возрастают [BB, глава I, §16], а потому

|ξ|

|η|

1/p

≥

√

|ξ|

+ |η|

1/2

√

| ˜

ξ| .

Решения параболических уравнений

В силу (5.3.11), находим

h ˜

A(˜

x, ˜

ξ), ˜

ξi

n+1

≥ 2

1−

p
2

(˜

x) | ˜

ξ|

(2 < p < ∞) .

(5.3.15)

Аналогично, при 2 < p < ∞ на основании неравенства Иенсена имеем

|ξ|

2(p−1)

+ |η|

2(p−1)

1/2(p−1)

≤ | ˜

ξ|

и потому соотношение (5.3.12) переписывается в виде

A(˜

x, ˜

ξ)

≤ k

(˜

x) | ˜

ξ|

p−1

2 < p < ∞ .

(5.3.16)

При 1 ≤ p ≤ 2 выполняется

|ξ|

2(p−1)

|η|

2(p−1)

1/2(p−1)

≤

|ξ|

|η|

1/2

и потому

A(˜

x, ˜

ξ)

≤ 2

1−

p
2

(˜

x) | ˜

ξ|

p−1

1 ≤ p ≤ 2 .

(5.3.17)

Таким образом, при выполнении условия

ess sup

(˜

≡ ˜

µ < ∞

(5.3.18)

вектор-функция ˜

A(˜

x, ˜

ξ) обладает свойствами (5.1.3) и (5.1.4) в области

D. При этом в качестве весовой функции ˜

k(˜

x) можно положить, напри-

мер, ˜

k(˜

x) = k

(˜

x) и

при

1 ≤ p ≤ 2,

1−p/2

при

2 < p < ∞ ,

при

1 ≤ p ≤ 2,

1−p/2

при

2 < p < ∞ .

Если при этом предполагать, что b

(t) > 0 на (τ

, τ

), то условия (5.1.1)

для весовой функции ˜

k(˜

x) будут выполняться с очевидностью.

Покажем, что h(x, t) является почти решением в e

D эллиптического

уравнения

div ˜

A(˜

x, e

∇h) = 0 .

(5.3.19)

5.3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Зафиксируем произвольно функцию

ϕ(x, t) ∈ W

1,p

( e

D) ,

| ˜

ϕ(x, t)| ≤ 1 ,

supp ϕ ⊂ e

D .

Мы имеем

∇ ˜

ϕ = (∇ ˜

ϕ ,

∂

∂t

ϕ)

и потому

D×(τ

,τ

)

h e

∇ ˜

ϕ, ˜

A(˜

x, e

∇h)i dH

n+1

D×(τ

,τ

)

h∇ ˜

ϕ , A(x, ∇h)i dH

n+1

D×(τ

,τ

)

(t) |h

0
t

p−2

0
t

∂

∂t

ϕ dH

n+1

(5.3.20)

Однако,

D×(τ

,τ

)

h∇ ˜

ϕ , A(x, ∇h)i dH

n+1

h∇ ˜

ϕ , A(x, ∇h)i dH

Функция ˜

ϕ(x, t) финитна в D при каждом t ∈ (τ

, τ

). Пользуясь со-

отношением (5.2.7) определения 1 обобщенного решения, находим

D×(τ

,τ

)

h∇ ˜

ϕ , A(x, ∇h)i dH

n+1

= −

ϕ B(t, h, h

0
t

) dH

(5.3.21)

Проверим выполнение свойства (5.2.10). Объединяя соотношения (5.3.20)

и (5.3.21), получаем

h e

∇ ˜

ϕ, ˜

A(˜

x, e

∇h)i dH

n+1

− ˜

ϕ B(t, h, h

0
t

) + b

0
t

p−2

0
t

Решения параболических уравнений

Заметим, что

0
t

p−2

0
t

dt =

0
t

p−2

0
t

dt−

−

(t) |h

0
t

p−2

0
t

dt = ˜

ϕ(x, t) b

(t) |h

0
t

p−2

0
t

t=τ

−

ϕ(x, t)

0
t

p−2

0
t

dt .

Функция ˜

ϕ(x, t) обращается в нуль при t = τ

, τ

и потому

0
t

p−2

0
t

dt = −

ϕ(x, t)

0
t

p−2

0
t

dt .

Тем самым, мы имеем

h e

∇ ˜

ϕ, ˜

A(˜

x, e

∇h)i dH

n+1

B(t, h, h

0
t

) −

0
t

p−2

0
t

Замечая, что | ˜

ϕ| ≤ 1, получаем

h e

∇ ˜

ϕ, ˜

A(˜

x, e

∇h)i dH

n+1

≤ s(τ

, τ

) ,

(5.3.22)

5.3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

где

s(τ

, τ

) =

|h|

p−2

h + b

|h|

p−2

h h

0
t

−

0
t

p−2

0
t

dt .

(5.3.23)

Оценка (5.3.22) справедлива для любой функции ˜

ϕ описанного вида.

Тем самым, доказана:

Теорема 1. Пусть h(x, t) : D × (τ

, τ

) – обобщенное решение уравне-

ния (5.1.5), подчиненного условиям (5.1.1) - (5.1.4), причем b

(t) > 0 на

(τ

, τ

), и k(x), b

(t) удовлетворяют (5.3.18). Тогда h(x, t) является по-

чти решением уравнения (5.3.19), удовлетворяющего условиям (5.1.1) –
(5.1.4) в D ×(τ

, τ

) с ˜

k(˜

x) = k

(˜

x), определяемым в (5.3.13), и уклонение

s(τ

, τ

) почти решения определяется выражением (5.3.23).

4. (p, k)-Емкость

Нам потребуется понятие взвешенной (p, k)-емкости. Пусть D – откры-
тое множество в R

и пусть A, B ⊂ D – подмножества R

такие, что их

замыкания A, B относительно D не пересекаются. Каждая такая тройка
множеств (A, B; D) образует конденсатор в R

Предположим, что функция k обладает свойствами (5.1.1) и p ≥ 1 –

фиксировано. Определим (p, k)-емкость конденсатора (A, B; D), полагая

cap

p,k

(A, B; D) = inf

k(x) |∇ϕ|

(5.3.24)

где точная нижняя грань берется по всем непрерывным функциям ϕ
класса W

1,p

loc

(D) со свойствами: ϕ|

= 0, ϕ|

= 1.

Легко видеть, что для любой пары конденсаторов

(A, B; D)

, B

; D) ,

удовлетворяющей условиям A

⊂ A, B

⊂ B, выполнено

cap

p,k

, B

; D) ≤ cap

p,k

(A, B; D).

Решения параболических уравнений

В случае p > 1 теория (k, p)-емкости подробно описана в монографии

[HKM93, стр. 27-54].

При p = 2 и k ≡ 1 мы имеем здесь обычную гармоническую емкость

конденсатора, а при p = n, k ≡ 1, – конформную емкость [Sych83, глава
III], [HKM93, глава 2].

Будем говорить, что неограниченная область D ⊂ R

является (p, k)-

узкой в окрестности бесконечно удаленной точки R

, если при всяком

r > 0 выполнено

lim

R→∞

cap

p,k

, D \ D

; D) = 0 .

(5.3.25)

Здесь D

= {x ∈ D : |x| < τ }.

Лемма. Если область D ⊂ R

является (p, k)-узкой в окрестности

бесконечно удаленной точки R

и −∞ < τ

< τ

< +∞, то цилиндри-

ческая область e

D = D × (τ

, τ

) является (p, ˜

k)-узкой в окрестности

бесконечно удаленной точки R

n+1

с ˜

k(x, t) = k(x) при (x, t) ∈ e

Доказательство. Пусть A, B ⊂ D – произвольная пара непустых,

замкнутых относительно D, непересекающихся множеств. Положим

A = {(x, t) ∈ e

D : x ∈ A} ,

B = {(x, t) ∈ e

D : x ∈ B} .

Если функция ϕ(x) допустима в вариационной задаче (5.3.24) при вы-

числении емкости конденсатора (A, B; D), то функция

ϕ(x, t) = ϕ(x) ,

x ∈ D , t ∈ (τ

, τ

) ,

допустима при вычислении емкости конденсатора ( ˜

A, ˜

B; e

D). Тем самым,

мы имеем

cap

p,˜

( ˜

A, ˜

B; e

D) ≤

k(˜

x) | e

∇ ˜

ϕ|

n+1

k(x) |∇ϕ|

= (τ

− τ

)

k(x) |∇ϕ|

Переходя к точной нижней грани по всем допустимым функциям ϕ, по-
лучаем

cap

p,˜

( ˜

A, ˜

B; e

D) ≤ (τ

− τ

) cap

p,k

(A, B; D) .

(5.3.26)

5.4. ПРИМЕНЕНИЯ

Нетрудно видеть, что выполнение свойства (5.3.25) не зависит от вы-

бора начала координат в R

и величины r > 0. Поэтому, не умаляя общ-

ности можно считать, что в данной системе координат τ

= 0, τ

= δ > 0

и 0 < r < δ < R < ∞. В данных условиях мы имеем

⊂ e

∗

⊂ e

где

+ δ

= r

∗

− δ

= R

∗

Таким образом, если r

∗

< R

∗

, то

cap

p,˜

( f

, e

D \ f

; e

D) ≤ cap

p,˜

( e

, e

D \ e

∗

; e

D) .

Пользуясь (5.3.26), заключаем, что

cap

p,˜

( f

, e

D \ f

; e

D) ≤ (τ

− τ

) cap

p,k

, D \ D

∗

; D) ,

и узость D влечет узость e

5.4

Применения

Определим основную частоту открытого множества O ⊂ R

, полагая

p,k

(O) = inf

k(x) |∇u|

k(x) u

u ∈ C

(O) ∩ C

(O),

∂O

= 0 ,

(5.4.27)

(в случае k(x) ≡ 1 см., например, [Band80], [Avkh06]).

Теорема 2. Пусть D ⊂ R

– область и (τ

, τ

) ⊂ R

, где −∞ < τ

< +∞. Пусть e

D = D × (τ

, τ

) – цилиндрическая область в R

n+1

при каждом t ∈ (τ

, τ

) функция h(x, t) : D → R

является обобщенным

решением уравнения (5.1.5) в D, подчиненного условиям (5.1.1) - (5.1.4),
причем b

(t) > 0 на (τ

, τ

) и k(x), b

(t) удовлетворяют (5.3.18). То-

гда если h(x, t) удовлетворяет на границе области e

D предположению

100

Решения параболических уравнений

∂ e

≤ 0, то либо h ≤ 0 всюду в e

D, либо при любых 0 < r < R < ∞

выполнено

{|˜

x|<r}∩O

k(˜

x) | e

∇h(˜

x)|

n+1

≤

s(τ

, τ

)+4˜

cap

p,˜

, O\O

; e

D) ,

(5.4.28)

где O = {(x, t) ∈ e

D : h(x, t) > 0}, M = sup

h(x, t) и s(τ

, τ

) определяет-

ся соотношением (5.3.23).

В частности, если D ограничена или является (p, k)-узкой в окрест-

ности бесконечно удаленной точки R

, то для любого r > 0 выполнено

{|˜

x|<r}∩O

k(˜

x) h

(˜

x) dH

n+1

≤

2s(τ

, τ

µ λ

p,˜

(O)

(5.4.29)

Доказательство первого из утверждений представляет собой пря-

мое следствие доказанной выше теоремы и соответствующего результата
из [Mikl06b]. Чтобы убедиться в справедливости утверждения во второй
части следствия достаточно далее воспользоваться приведенной выше
леммой.

Соотношение (5.4.29) дает оценку размеров открытого множества O

и характеризует насколько решение h, h|

∂ e

≤ 0 , max

(x,t)∈ e

h(x, t) = M ,

уравнения (5.3.19) в области e

D отличается от 0.

Величина λ

p,k

(O) невозрастает с расширением множества O и потому

p,˜

( e

D) ≤ λ

p,˜

(O) .

(5.4.30)

Пусть D ⊂ R

n+1

– область и u : e

D → R – некоторая функция. Пусть

s > 0 – некоторое число. Подобласть ∆ ⊂ e

D называется s-зоной стаг-

нации функции u, если существует постоянная C такая, что эта функ-
ция отличается (в каком-либо смысле) от C в ∆ не более, чем на s (см.
[Zap06], [Zap07]).

К примеру, можно положить

ku(x, t) − Ck ≡





∆

k(˜

x) |u(˜

x) − C|

n+1





1/p

≤ s .

5.4. ПРИМЕНЕНИЯ

101

Соотношения (5.4.28), (5.4.29) служат также источниками оценок раз-

меров областей стагнации решений. Именно, имеет место

Теорема 3. Пусть D ⊂ R

– ограниченная область, e

D = D × (τ

, τ

)

– цилиндрическая область в R

n+1

и при каждом t ∈ (τ

, τ

) функция

h(x, t) : D → R

является обобщенным решением уравнения (5.1.5) в

D. Предположим, что уравнение (5.1.5) подчинено условиям (5.1.1) -
(5.1.4), b(t) > 0 на (τ

, τ

) и k(x), b(t) удовлетворяют (5.3.18). Тогда если

h(x, t) удовлетворяет на границе области e

D предположению h|

∂D

= 0

и O = {x ∈ D : h(x) 6= 0}, то

k(˜

x) h

(˜

x) dH

n+1

≤

2s(τ

, τ

µ λ

p,˜

( e

(5.4.31)

где s(τ

, τ

) определяется формулой (5.3.23).

В частности, если величина s(τ

, τ

) столь мала, что

2s(τ

, τ

µ λ

p,˜

( e

≤ s ,

то множество O является s-зоной стагнации функции h.

Для доказательства достаточно воспользоваться теоремой 2 и оцен-

кой (5.4.30).

Список литературы

[HKM93] J. Heinonen, T. Kilpel¨

ainen, and O. Martio, Nonlinear potential

theory of degenerate elliptic equations, Clarendon Press, Oxford etc.,
1993, 363 pp.

[Mikl06a] В.М. Миклюков, Введение в негладкий анализ, Волгоград: изд-

во ВолГУ, 2006, 284 стр.

[Mikl06b] В.М. Миклюков, A-решения с особенностями как почти реше-

ния, Матем. сб., т. 197, вып. 11, 2006, стр. 31—50.

[BB] Э. Беккенбах, Р. Беллман, Неравенства, М.: Мир, 1965, 276 стр.

[Sych83] А.В. Сычев, Модули и пространственные квазиконформные

отображения, Новосибирск: изд-во "Наука", 1983, 152 стр.

[Band80] C. Bandle, Isoperimetric Inequalities and Applications, Pitman

Advanced Publishing Program, Boston - London - Melbourne, 1980,
228 pp.

[Avkh06] Ф.Г. Авхадиев, Неравенства для интегральных характеристик

областей, изд-во "Казанский гос. ун-т им. В.И. Ульянова-Ленина",
Казань, 2006, 142 стр.

[Zap06] Записки семинара ”Сверхмедленные процессы”, вып. 1, под ре-

дакц. проф. В.М. Миклюкова, Волгоград: изд-во ВолГУ, 2006,
184 стр.

[Zap07] Записки семинара ”Сверхмедленные процессы”, вып. 2, под ре-

дакц. проф. В.М. Миклюкова, Волгоград: изд-во ВолГУ, 2007,
172 стр.

102

V.M. Miklyukov, Solutions of parabolic PDE as solutions of elliptic

equations

Abstract. We state, that solutions of parabolic equations are almost

solutions of some elliptic equations. As an application, we prove a special
form of the maximum principle for solutions of parabolic equations.

О зонах стагнации в сверхмедленных
процессах

В.М. Миклюков

Докл. Акад. Наук, т. 418, n. 3, 2008, с. 304-307.

В заметке приводятся некоторые результаты, касающиеся математиче-
ского описания зон стагнации сверхмедленных процессов.

Под "сверхмедленными" понимаются процессы, текущие величины в

которых меняются столь незначительно, что зафиксировать эти измене-
ния трудно или даже совсем невозможно, ввиду их малости по сравнению
с погрешностью измерений.

6.1

Понятие зоны стагнации

Под "сверхмедленными" далее понимаются процессы, текущие вели-

чины в которых меняются столь незначительно, что зафиксировать эти
изменения трудно или даже совсем невозможно, ввиду их малости по
сравнению с погрешностью измерений. Изменения величин становятся
заметными лишь по прошествию достаточно длительного времени. Ти-
пичные примеры таких процессов доставляет гомеопатия. Однако, cверх-
медленными являются не только, и не столько, физиологические про-
цессы, но и значительный ряд других природных процессов, ввиду их
сверхмедлительности выпадающих за пределы традиционных естествен-
нонаучных исследований.

104

В заметке приводятся некоторые результаты, касающиеся математи-

ческого описания зон стагнации таких процессов. В частности, указыва-
ются размеры зон стагнации решений квазилинейных уравнений парабо-
лического типа. Именно, пусть D ⊂ Ω – область и h : D → R – некоторая
функция. Пусть s > 0 – некоторое число. Подобласть ∆ ⊂ D называется
s-зоной (зоной стагнации) функции h, если существует постоянная C
такая, что эта функция отличается (в каком-либо смысле) от C в ∆ не
более, чем на s. К примеру,

kh(y) − Ck

(∆)





∆

|h(y) − C|

n
Ω





1/p

≤ s .

Случай решений уравнений эллиптического типа рассматривается в

[1] – [5].

6.2

Почти решения на поверхности

Рассмотрим поверхность Ω ⊂ R

, заданную над областью D ⊂ R

по-

средством локально билипшицевой вектор-функции

f = (f

(x), . . . , f

(x)) : D → R

, x = (x

, . . . , x

)

n < m .

Согласно теореме Радемахера – Степанова вектор – функция f (x) имеет
полный дифференциал почти всюду в области D и почти всюду в D
определены измеримые по Лебегу коэффициенты первой квадратичной
формы поверхности Ω

(x) =

∂f

∂x

∂f

∂x

i, j = 1, 2, . . . , n.

Положим

g(x) = det (g

(x)) ,

dΩ =

g(x) dx

∧ . . . ∧ dx

(x) = (g

(x))

−1

i, j = 1, . . . , n ,

Пусть D – область на поверхности Ω, гомеоморфная шару B

(0, 1) в

и пусть g : D → B

(0, 1) – некоторый гомеоморфизм D на шар. За-

фиксируем замкнутые непересекающиеся подмножества P, Q ⊂ ∂B

(0, 1)

и обозначим через P, Q множества всевозможных последовательностей
{x

}, лежащих в D и таких, что g(x

) → P , g(x

) → Q соответственно.

Будем говорить, что подобласть U ⊂ D примыкает к P, если найдет-

ся последовательность {x

} ∈ P, лежащая в U .

Всякую тройку множеств вида (P, Q; D) будем называть конденсато-

ром.

Пусть D ⊂⊂ Ω – область на поверхности и пусть

A :

(T (D)) →

(T (D))

– отображение, определенное почти всюду на слоении

(T (D)) каса-

тельных n-ковекторов.

Предположим, что для почти всех y ∈ D отображение A определено на

пространстве

(D)) касательных n-ковекторов, то есть, для почти

всех y ∈ D отображение

A(y, . ) : ξ ∈

(D)) →

(D))

определено и непрерывно. Мы предполагаем, что отображение

y 7→ A(y, Ψ)

измеримо для всех измеримых n-ковекторных полей Ψ и

A(y, λξ) = λ |λ|

p−2

A(y, ξ) ,

λ ∈ R

(1)

Предположим, что для почти всех y ∈ D и всех ξ ∈

(D)) мы

имеем

|A(y, ξ)|

p/(p−1)
Ω

≤ ν hξ, A(y, ξ)i

Ω

(2)

при p ≥ 1 и с некоторой постоянной ν > 0.

Рассмотрим уравнение

div

Ω

A(y, ∇

Ω

h) = a |h|

p−2

∂h

∂t

(y, t) ,

a = const > 0 .

(3)

В случае p = 2 имеем стандартное уравнение теплопроводности. В слу-

чае a = 0 мы будем называть решения h уравнения (3) A-гармоническими
функциями [11, глава 6].

Для произвольной локально липшицевой функции φ : D ⊂ Ω → R,

мы обозначаем через D

(φ) множество всех точек a ∈ D, в которых φ

не имеет полного дифференциала. Символом D

(Ω) ниже обозначается

множество точек y ∈ Ω, в которых Ω не имеет касательной плоскости.

Пусть U ⊂ D – подобласть и пусть ∂

U = ∂U \ ∂D – ее относительная

граница. Если множество ∂

U является (H

n−1

, n − 1) – спрямляемым, то

оно имеет локально конечный периметр в смысле Де-Джорджи и H

n−1

– почти всюду на ∂U существует единичный вектор нормали n (см. [9],
разделы 3.2.14, 3.2.15).

Определим понятие обобщенного решения уравнения (3) с нулевыми

граничными данными Неймана на некоторых, наперед заданных участ-
ках границы области. Рассмотрим конденсатор (D, P, Q) на поверхности
Ω. Подобласть U ⊂ D назовем допустимой, если U не примыкает ни к
P, ни к Q и имеет (H

n−1

, n − 1) – спрямляемую относительную границу.

Локально липшицева функция h : D → R является обобщенным ре-

шением уравнения (3), если для всякой допустимой подобласти U ⊂ D
и произвольной функции φ ∈ Lip(U ) со свойствами

n−1
Ω

∂

U ∩ ( D

(φ) ∪ D

(Ω)

= 0

выполнено

∂

φhA(y, ∇

Ω

h), ni

Ω

n−1
Ω

(4)

h∇

Ω

φ, A(y, ∇h)i

Ω

n−1
Ω

+ a

φ |h|

p−2

∂h

∂t

n−1
Ω

Простые соображения показывают, что в случае гладкой поверхности

Ω, гладкой границы ∂D, гладких A

(i = 1, . . . , n) и C

-функции h вы-

полнение (4) влечет соотношение (3) с граничным условием

hA(y, ∇h), ni

Ω

= 0

(5)

всюду на ∂D вне граничного множества P ∪Q §7.2.1, [9]. Ниже мы будем
говорить, что данное определение описывает A-гармонические функции
h с граничным условием (5) на указанном множестве.

6.3

Признаки s-зоны

Рассмотрим конденсатор (P, Q; D) на поверхности Ω и обозначим через
F – множество локально липшицевых функций φ(y) : D → (0, +∞),
обладающих свойствами:

lim

}∈P

φ(y

) = 0 ,

lim

}∈Q

φ(y

) = 1

(6)

и таких, что для всякой подобласти D

⊂⊂ D выполнено

0 < ess inf

|∇

Ω

φ(y)|

Ω

< ess sup

|∇

Ω

φ(y)|

Ω

< ∞ .

(7)

Зафиксируем постоянное векторное поле A(y, ξ) и определим A-емкость

конденсатора (P, Q; D), полагая

cap

(P, Q; D) = inf

φ∈F

hA(y, ∇

Ω

φ), ∇

Ω

φi

Ω

(8)

где точная нижняя грань берется по всевозможным функциям φ со свой-
ствами (6), (7).

В частном случае A(y, ξ) = |ξ|

p−2

ξ при p = 2 мы имеем обычную

гармоническую емкость конденсатора на поверхности, а при p = n –
конформную емкость [глава 2, 11].

Пусть D ⊂ Ω – ограниченная область, (τ

, τ ) ⊂ R, и пусть

h = h(y, t) : D × (τ

, τ ) → R

– обобщенное решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям (2).
Мы будем предполагать, что при всех t > 0 выполнено

= 0,

∂h

∂n

∂D\P

= 0 ,

где P – некоторое граничное множество (случай P = ∅ не исключается).

Положим

(D) = inf

|A(y, ∇

Ω

φ)|

p/(p−1)

n
Ω

|φ|

n
Ω

и точная нижняя грань берется по всевозможным функциям φ, удовле-
творяющим условиям

φ|

= 0,

∂φ

∂n

∂D\P

= 0 .

Теорема 1. Если при всех t > t

решение уравнения (3), удовлетво-

ряющего предположениям (2), подчинено условию

= 0,

∂h

∂n

∂D\P

= 0 ,

то при любых τ

, τ

< τ

< τ , выполнено

kh(y, τ

(D)

≤ kh(y, τ

(D)

exp

2a ν

(D) (τ

− τ

)

В частности, если для некоторого s > 0 выполнено

kh(x, τ

(D)

exp

2a ν

(D) (τ

− τ

)

< s ,

(9)

то множество D × [τ

, τ

], t

< τ

< τ , является s-зоной решения

Условию (9) можно удовлетворить, например, если величина τ

− τ

достаточно велика или достаточно мала норма kh(y, τ

(D)

В случае гармонических в R

функций см. [9].

6.4

Оценки почти решения

Если s-зона U ⊂ D определена для некоторой величины s > 0, не

превосходящей ошибки измерения функции f , то ключевой проблемой
становится поиск косвенных методов получения информации об изме-
нении f в U , не использующих прямых измерений. Ниже мы приводим
один из подходов к изучению поведения решений в таких зонах стагна-
ции — мы указываем оценки снизу колебания решения f на подобластях
U . Указанные оценки позволяют, в частности, при некоторых специаль-
ных условиях на решения делать заключения об их нетривиальности в
s-зонах.

Нам потребуется понятие почти-решения A-гармонического уравне-

ния, введенное в [7]. Фиксируем ε > 0. Будем говорить, что непрерывная
функция h класса W

p,loc

(D) является почти-решением A-гармонического

уравнения, если для всякой непрерывной функции

ϕ(y) ∈ W

(D) ,

= 1 ,

|ϕ(y)| ≤ 1 ,

с компактным носителем supp ϕ ⊂ D выполнено:

h∇

Ω

ϕ, A(y, ∇

Ω

h)i dH

≤ ε .

Величина ε > 0 называется уклонением почти решения h (см. [7]).

Пусть Ω ⊂ R

– n-мерная локально билипшицева поверхность и пусть

(P, Q; D) – произвольный конденсатор в Ω. Предположим, что h – ло-
кально липшицево почти-решение уравнения (1) – (3) с a = 0, уклонени-
ем ε > 0 и обобщенным граничным условием (5) на ∂D \ (P ∪ Q).

Пусть Σ

, Σ

∩ Σ

= ∅, – гиперповерхности в D, разделяющие

P, Q, и пусть U – подобласть D, заключенная между Σ

и Σ

. Нетрудно

доказать, что

|I(Σ

) − I(Σ

)| ≤ ε ,

где ε > 0 – уклонение почти-решения h.

Теорема 2. Пусть Ω ⊂ R

– n-мерная локально билипшицева по-

верхность и пусть (P, Q; D) – произвольный конденсатор в Ω. Пусть h
– локально липшицево почти-решение уравнения (1) – (3) с a = 0, укло-
нением s > 0, обобщенным граничным условием (5) на ∂D \ (P ∪ Q),
для которого

I − s ≡ inf

I(Σ) − s > 0 .

Тогда для произвольной пары непересекающихся (n − 1)-мерных поверх-
ностей Σ

и Σ

, лежащих в D и разделяющих P, Q выполнено

I − s

cap

(Σ

, Σ

; U )

1/p

≤ sup{y

∈ Σ

, y

∈ Σ

: |h(y

) − h(y

)|} .

Здесь U – подобласть D, заключенная между сечениями Σ

, Σ

Предположим, что мы находимся в условиях теоремы 1. Пусть D ⊂

– область и Ω ⊂ R

– локально билипшицева поверхность, 1 ≤ n <

m. Положим Σ(t

) = {h(y) = t

}, Σ(t

) = {h(y) = t

}. Пусть

ϕ(y, t) ∈ Lip U,

supp ˜

ϕ(y, t) ⊂ U ,

| ˜

ϕ(y, t)| ≤ 1 ,

и пусть

A(y, ∇h) = (A

(y, ∇h), . . . , A

(y, ∇h) , a |h|

p−2

∂h

∂t

) : D × (τ

, τ

) → R

n+1

Теорема 3.

В предположениях теоремы 1 функция h(y, t) есть

почти-решение в U уравнения

div ˜

A(y, ∇h) = 0

с уклонением ε

= ε (τ

− τ

) + a ε

, где

ε = sup

|ϕ|≤1

h∇

ϕ, A(y, ∇h)i dH

n
Ω

∂

∂t

|f |

p−2

∂f

∂t

dt+

|f (y, τ

p−2

∂f

∂t

(y, τ

)

|f (y, τ

p−2

∂f

∂t

(y, τ

)

n
Ω

6.5

Условие нетривиальности почти решения в s-зоне

На основании теоремы 2 приходим к утверждению:

Теорема 4. Пусть Ω ⊂ R

– n-мерная локально билипшицева по-

верхность и (P, Q; D) – произвольный конденсатор в Ω. Пусть h – ло-
кально липшицево решение уравнения (1) – (3) с обобщенным граничным
условием (5) на ∂D \ (P ∪ Q), для которого

I − s

≡ inf

I(Σ) − s

> 0 .

Тогда для произвольной пары непересекающихся (n − 1)-мерных поверх-
ностей Σ

= Σ(τ

) и Σ

= Σ(τ

), лежащих в D и разделяющих P, Q

выполнено

I − s

cap

(Σ

, Σ

; U )

1/p

≤ sup{y

∈ Σ

, y

∈ Σ

: |h(y

) − h(y

)|} .

Здесь U – подобласть D, заключенная между сечениями Σ

, Σ

Цитированная литература

[1] В.М. Миклюков, Математические Труды, Новосибирск: Институт

математики СО РАН, т. 5, n. 1, 2002, 84-101. [2] В.М. Миклюков, В сб.
Математический и прикладной анализ, вып. 1, Тюменск. гос. ун-т, 2003,
89-118. [3] V.M. Miklyukov, S.-S. Chow and V. P. Solovjov, IJMMS, v. 62,
2004, 3339-3356. [4] В.М. Миклюков, Записки семинара ”Сверхмедлен-
ные процессы”, Волгоград, изд-во ВолГУ, 2006, 52-54. [5] В.М. Миклю-
ков, там же, 40-45. [6] В.М. Миклюков, там же, 58-73. [7] В.М. Миклю-
ков, Матем. сб., т. 197, вып. 11, 2006, 31-50. [8] F. Braudel, Les Jeux de
L’´

echange, Civilisation mat´

erielle, ´

economie et capitalisme, XV - XVII’si´

ecle,

tome. 2, Librairie Armand Colin, Paris, 1979. [9] В.М. Миклюков, Введе-
ние в негладкий анализ, Волгоград, изд-во ВолГУ, 2006, 284 pp.) [10]
H. Federer, Geometric Measure Theory, - Springer-Verlag, Berlin, 1969. [11]
Ю.Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным иска-
жением, Новосибирск: Наука, 1982. [12] J. Heinonen, T. Kilpel¨

ainen, and

O. Martio, Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations,
Clarendon Press, Oxford etc., 1993.

V.M. Miklyukov, On Stagnation Zones in Superslow Processes.

Abstract. We investigate stagnation zones of superslow processes

described by solutions of partial differential parabolic equations and almost
solutions of elliptic equations on bi-Lipschitz surfaces. With the domain
width being much less than its length and special boundary conditions, these
solutions can be almost constant over large subdomains. Such domains are
called stagnation zones (s−zones). We estimate the size, the location of these
s−zones and study behavior of solutions and almost solutions on s−zones.

V.M. Miklyukov, On stagnation zones in superslow processes.

Abstract. We bring some results on mathematical description of stagnation

zones in superslow processes.

Оценки размеров зоны стагнации
почти решений
уравнений параболического типа

В.М. Миклюков

Сиб. журн. индустриальной матем.,

т. XI, n. 3(35), 2008, с. 96-101.

Изучается поведение почти решений нелинейных уравнений парабо-

лического типа. Получены оценки размеров зоны стагнации почти реше-
ний.

7.1

Введение

В работе приводятся оценки размеров зон стагнации почти решений
уравнений параболического типа — задаче, возникающей при исследо-
вании сверхмедленных процессов [1], [2]. Под "сверхмедленными" мы
понимаем процессы, текущие величины в которых меняются столь незна-
чительно, что зафиксировать эти изменения трудно или даже совсем
невозможно, ввиду их малости по сравнению с погрешностью измере-
ний. Изменения величин становятся заметными лишь по прошествию
достаточно длительного времени.

Типичные примеры таких процессов доставляет медицина и, в осо-

бенности, гомеопатия. Однако, cверхмедленными являются не только,

113

и не столько, физиологические процессы, но и значительный ряд дру-
гих природных процессов, ввиду их сверхмедлительности выпадающих
за пределы традиционных естественнонаучных исследований. Нетрудно
указать подобные примеры, имеющие место в физике, механике, эконо-
мике, истории, лингвистике, экологии.

К примеру, при течениях жидкости в тонких и длинных трубках воз-

никают "зоны стагнации" — области, в которых потоки почти неподвиж-
ны. Если отношение длины трубки к ее диаметру велико, то потенциаль-
ная функция и функция тока почти неизменны на весьма протяженных
участках. Подобная ситуация возникает, к примеру, при стационарных
течениях жидкости в длинных трубопроводах или (микро-) наноканалах.

Априорная информация относительно зон стагнации способствует бо-

лее оптимальной организации вычислительного процесса за счет замены
искомых функций соответствующими постоянными в таких зонах.

Получаемые результаты оказываются небесполезными, в частности,

для приложений в экономической географии. В случае, когда функция
характеризует интенсивность товарообмена на том либо ином геогра-
фическом пространстве, теоремы об ее зонах стагнации дают (при над-
лежащих ограничениях на выбираемую модель) оценки геометрических
размеров зоны стагнации мира-экономики [3, стр. 18-19]. К примеру, если
поддуга границы области абсолютно нетранспарентна, а поток векторно-
го поля градиента функции через остальную часть границы достаточно
мал, то область является для этой функции зоной стагнации.

Выяснение параметров влияния на размеры зон стагнации, открывает

возможность практических рекомендаций к целенаправленным измене-
ниям конфигурации и, в частности, уменьшению либо увеличению таких
зон.

Условимся в обозначениях. Пусть R

– n-мерное евклидово простран-

ство, n > 1, со стандартным скалярным произведением h·, ·i и | · | =
ph·, ·i. Пусть D ⊂ R

– область, E ⊂ R

– некоторое множество.

Символом C(E) обозначается класс функций, непрерывных на на мно-

жестве E, символом C

1,1

(E) – множество функций, имеющих производ-

ные, удовлетворяющие условию Липшица на E.

Функция h принадлежит классу W

1,p

(D), p ≥ 1, если она имеет обоб-

щенные в смысле С.Л. Соболева частные производные

∂h/∂x

(i = 1, . . . , n),

суммируемые по D со степенью p или, что то же самое, если h абсолютно
непрерывна внутри почти всех сечений области D прямыми, параллель-

ными осям координат, и ∂h/∂x

∈ L

(D), i = 1, . . . , n. Функция h при-

надлежит классу W

1,p

loc

(D), если она принадлежит классу W

1,p

) для

всякой подобласти D

b D.

7.2

Уравнения

Пусть A : D × R

→ R

– отображение, удовлетворяющее следующим

предположениям:

(i) для почти всех x ∈ D отображение ξ ∈ R

→ A(x, ξ) определено и

непрерывно;

(ii) отображение x ∈ D → A(x, ξ) измеримо для всех ξ ∈ R

;

(iii) для почти всех x ∈ D выполнено:

hξ, A(x, ξ)i > 0

при

ξ ∈ R

ξ 6= 0 .

(7.2.1)

Пусть −∞ ≤ τ

< τ

≤ +∞ – фиксированные числа. Рассмотрим

уравнение

div A(x, ∇h) = B(t, h, h

0
t

) ,

(7.2.2)

где

h = h(x, t) : D × (τ

, τ

) → R

∇h = (h

0
x

, . . . , h

0
x

) − формальный градиент ,

B(t, h, h

0
t

) = b

(t) |h|

p−2

h + b

(t) |h|

p−2

∂h

∂t

(x, t)

(t), b

(t) : (τ

, τ

) ⊂ R

→ R

– локально липшицевы на (τ

, τ

) функции.

В случае b

, b

≡ 0 простейшим уравнением указанного класса явля-

ется уравнение

div(|∇h|

p−2

∇h) = 0 ,

p > 1.

(7.2.3)

Решения h уравнения (7.2.3) называются p-гармоническими функциями,
а само уравнение – p-гармоническим [4, глава 6].

Рассматриваемый в работе класс уравнений включает в себя при b

≡ 0 уравнение максимальной поверхности в пространстве Минковско-

го

div

∇h(x)

p1 − |∇h(x)|

= 0

(7.2.4)

(см., например, [5, раздел 1.5.3]).

В случае p = 2, b

≡ 0, b

≡ 1 и A(x, ξ) = ξ имеем стандартное

уравнение теплопроводности в R

7.3

Почти решения

Пусть D ⊂ R

– область, E ⊂ ∂D – замкнутое множество и пусть

(τ

, τ

) ⊂ R

Определение 1. Непрерывная функция h : D × (τ

, τ

) → R

класса

1,p

loc

(D) является почти решением уравнения (7.2.2) , если для всякой

непрерывной функции

φ ∈ W

1,p

loc

(D) ∩ C(D ∪ E) ,

0 ≤ |φ| ≤ 1 ,

φ|

= 0 ,

при каждом t ∈ (τ

, τ

) выполнено

h∇φ, A(x, ∇h)i dH

φ B(t, h, h

0
t

) dH

≤ ε .

(7.3.5)

Величина ε ≥ 0 называется уклонением почти решения h [6].

Поясним введенное понятие в случае, когда ε = 0. Если множество

∂D является счетно (H

n−1

, n − 1) – спрямляемым, то оно имеет локаль-

но конечный периметр в смысле Де-Джорджи и H

n−1

– почти всюду на

∂D существует единичный вектор нормали n [7, §3.2]. Простые сообра-
жения, опирающиеся на обобщенную формулу Остроградского - Гаусса
для липшицевых функций в областях с (H

n−1

, n − 1) – спрямляемыми

границами (см. [8, теорема 2.6.2]), показывают, что принадлежность h
классу C

1,1

(D) и выполнение (7.3.5) с указанным произволом на функ-

цию φ влечет выполнение соотношения (7.2.2) в стандартном смысле и
граничного условия

hA(x, ∇h), ni|

∂D\E

= 0 ,

где n – единичный вектор нормали к ∂D.

3. Зоны стагнации

Пусть D ⊂ R

– область и h : D → R

– функция. Пусть s > 0 –

некоторое число.

Определение 2. [1], [2]

Подобласть ∆ ⊂ D называется s-зоной

(зоной стагнации) функции h, если существует постоянная C такая,
что данная функция отличается (в каком-либо смысле) от C в ∆ не
более, чем на s.

К примеру,

kh(x) − Ck

(∆)





∆

|h(x) − C|





1/p

≤ s .

7.4

Основная теорема

Пусть D ⊂ R

– ограниченная область и (τ

, τ

) ⊂ R

. Пусть E ⊂ ∂D –

непустое замкнутое множество и пусть

h = h(x, t) : D × (τ

, τ

) → R

– почти решение уравнения (7.2.2), причем b

(t) > 0 всюду на (τ

, τ

Мы будем предполагать, что при всех t ∈ (τ

, τ

) функция h обращает-

ся в нуль на E. Выберем φ = h в (7.3.5). В соответствии с определением
почти решения имеем

h∇h, A(x, ∇h)i dH

|h|

h |h|

p−2

∂h

∂t

≤ ε .

Далее заметим, что

(|h|

)

0
t

√

= p

√

p−2

h h

0
t

= p h |h|

p−2

∂h

∂t

Отсюда находим

h |h|

p−2

∂h

∂t

(t) (|h|

)

0
t

(t)

|h|

Мы имеем

h∇h, A(x, ∇h)i dH

≥ η

p,E

(D)

|h|

где

p,E

(D) = inf

h∇φ, A(x, ∇φ)i dH

|φ|

и точная нижняя грань берется по всевозможным локально липшицевым
функциям φ : D → R

, удовлетворяющим условиям φ|

= 0.

В случае E = ∂D введенная величина представляет собой обобщение

известной величины, называемой основной частотой (см., например, [9,
глава III], [10, глава 4]), и является предметом самостоятельного иссле-
дования.

Положим

I(t) =

|h(x, t)|

Мы имеем

p b

(t) I(t) + p η

p,E

(D) I(t) + b

(t) I

(t) ≤ p ε .

(7.4.6)

Чтобы проинтегрировать дифференциальное неравенство (7.4.6) най-

дем интегрирующий множитель. Пусть q(t) : (τ

, τ

) → R

– неотрица-

тельная, локально липшицева функция. Тогда

p q(t) b

(t) + η

p,E

(D)

I(t) + q(t)b

(t) I

(t) ≤ p ε q(t) .

Найдем функцию q(t), для которой

q(t) b

(t) + η

p,E

(D)

= q(t) b

(t) .

Легко видеть, что

(t)

q(t)

(t)

[p η

p,E

(D) + p b

(τ ) − b

0
1

(t)] ,

и далее,

q(t) = q(t

)exp







[p η

p,E

(D) + p b

(τ ) − b

0
1

(τ )]

dτ

(τ )







где t

∈ (τ

, τ

) – произвольная точка.

Таким образом,

[q(t)b

(t) I(t)]

≤ p ε q(t) ,

откуда при любых τ

≤ τ

имеем

q(τ

(τ

)I(τ

) ≤ q(τ

) b

(τ

) I(τ

) + p ε

q(t) dt .

Тем самым, учитывая, что b

(t) > 0 при t ∈ (τ

, τ

), получаем

I(τ

) ≤ I(τ

) exp







−

p b

(t) + p η

p,E

(D)

(t)







+ ε G(τ

, τ

) ,

(7.4.7)

где

G(τ

, τ

) =

(τ

)

dt exp







−

p b

(τ ) + p η

p,E

(D)

(τ )

dτ







На основании (7.4.7) приходим к утверждению:

Теорема.

Пусть h(x, t) – почти решение уравнения (7.2.2), в ко-

тором b

(t) > 0 на (τ

, τ

). Предположим, что множество E ⊂ ∂D не

пусто и h|

= 0.

Тогда при любых τ

, τ

< τ

, имеет место соотношение

kh(x, τ

(D)

≤

≤ kh(x, τ

(D)

exp







−

p b

(t) + p η

p,E

(D)

(t)







+ ε G(τ

, τ

) .

В частности, если для некоторого s > 0 выполнено

kh(x, τ

(D)

exp







−

p b

(t) + p η

p,E

(D)

(t)







+ ε G(τ

, τ

) ≤ s ,

(7.4.8)

то множество D × [τ

, τ

] является s-зоной почти решения h.

В случае A-гармонических в смысле [4] функций см. [11].

Замечание. Если ε = 0, функции b

(t) и b

(t) определены на (τ

, +∞)

и таковы, что

+∞

(p b

(t) + p η

p,E

(D))

(t)

= +∞ ,

и норма kh(x, τ )k

(D)

ограничена, то

kh(x, τ )k

(D)

→ 0

при

τ → +∞ .

Данное условие гарантирует непустоту s-зоны при любом, сколь угодно
малом s > 0.

7.5

Оценки η

p,E

(D)

В отдельных случаях величина η

p,E

(D) допускает оценки через извест-

ные характеристики. Отметим два простых случая. Пусть E = ∂D.

Предположим, что, как и в p-гармоническом уравнении (7.2.3), вектор-

функция A имеет вид

A(x, ξ) = |ξ|

p−2

ξ ,

p ≥ 1.

Мы имеем

p,∂D

(D) = λ

(D) = inf

|∇φ|

|φ|

и точная нижняя грань берется по всем локально липшицевым функциям
φ : D → R

таким, что φ|

∂D

= 0.

Здесь λ

(D) есть хорошо известная величина, называемая основной

частотой области D [9], [10]).

Если, как и в уравнении (7.2.4) максимальных поверхностей,

A(x, ξ) =

p1 − |ξ|

то

hξ, A(x, ξ)i =

|ξ|

p1 − |ξ|

≥ |ξ|

Таким образом, здесь имеем

2,∂D

(D) ≥ λ

(D) .

Список литературы

[1] Записки семинара ”Сверхмедленные процессы”, вып. 1, под редакц.

проф. В.М. Миклюкова, Волгоград: изд-во ВолГУ, 2006, 184 стр.

[2] Записки семинара ”Сверхмедленные процессы”, вып. 2, под редакц.

проф. В.М. Миклюкова, Волгоград: изд-во ВолГУ, 2007, 172 стр.

[3] F. Braudel, Les Jeux de L’´

echange, Civilisation mat´

erielle, ´

economie et

capitalisme, XV - XVII’si´

ecle, tome. 3, Paris: Librairie Armand Colin,

1979.

[4] J. Heinonen, T. Kilpel¨

ainen, and O. Martio, Nonlinear potential theory of

degenerate elliptic equations, Clarendon Press, Oxford etc., 1993, 363 pp.

[5] В.А. Клячин, В.М. Миклюков, Трубки и ленты в пространстве -

времени, Волгоград: изд-во ВолГУ, 2004, 326 стр.

[6] В.М. Миклюков, A-решения с особенностями как почти решения,

Матем. сб., т. 197, вып. 11, 2006, стр. 31—50.

[7] Г. Федерер, Геометрическая теория меры, М: изд-во "Наука", 1969,

760 стр.

[8] В.М. Миклюков, Введение в негладкий анализ, Волгоград: изд-во

ВолГУ, 2006, 284 стр.

[9] C.

Bandle,

Isoperimetric

Inequalities

and

Applications,

Pitman

Advanced Publishing Program, Boston - London - Melbourne, 1980,
228 pp.

[10] Ф.Г. Авхадиев, Неравенства для интегральных характеристик обла-

стей, изд-во "Казанский гос. ун-т им. В.И. Ульянова-Ленина", Ка-
зань, 2006, 142 стр.

[11] V.M.

Miklyukov,

Stagnation

Zones

A-Solutions,

Georgian

Mathematical Journal, v. 14, n. 3, 2007, 519—531.

122

V.M. Miklyukov, Some estimates of stagnation zones of almost

solutions of parabolic equations.

Abstract. It are given estimates of stagnation zones of almost solutions

of parabolic differential equations with partial derivatives.

Некоторые условия
дифференцируемости в точке
почти квазиконформных
отображений

В.М. Миклюков

В сб. Записки семинара ”Сверхмедленные процессы”.

Вып. 4. Волгоград: изд-во ВолГУ. 2009.

Приводятся условия существования полного дифференциала в точке

(в том числе — граничной) для почти квазиконформных отображений.
При этом допускается многократная смена ориентации отображения в
области.

8.1

Предварительные понятия

Пусть D – область в R

и f : D → R

– вектор-функция. Говорят, что

вектор-функция f : D → R

имеет в точке a ∈ D полный дифференциал,

если существует постоянная матрица

C = {C

}

1≤i≤n

1≤j≤m

такая, что

f (x) − f (a) = C · (x − a) + o(|x − a|)

(x → a,

x ∈ D) .

(8.1.1)

124

Известно, что функция f имеет полный дифференциал в точке a ∈ D,

если в окрестности a существуют частные производные ∂f

/ ∂x

(i =

1, . . . , n, j = 1, . . . , m), непрерывные в a. Имеются примеры, показываю-
щие, что непрерывность частных производных в a не является необхо-
димым условием существования в a полного дифференциала.

Пусть f : D ⊂ R

→ R

– отображение класса W

1,n

loc

(D). Положим

(x) =













∂f

∂x

. . .

∂f

∂x

. . .

∂f

∂x

. . .

∂f

∂x













и, далее,

(x)k =

i=1

j=1

∂f

∂x

(x)

1/2

Будем говорить, что отображение f : D ⊂ R

→ R

принадлежит

классу W

1,n

loc

(D), если для любой подобласти D

b D найдется постоян-

ная p > n такая, что f ∈ W

1,p

). Непрерывное отображение f : D ⊂

→ R

является почти квазиконформным в D с измеримой функци-

ей K(x) ≥ 0 и локально интегрируемой функцией δ(x) : D → R, если
f ∈ W

1,n

loc

(D) и почти всюду в области D выполнено

(x)k

≤ K(x) |J(x, f )| + δ(x) ,

(8.1.2)

где

J (x, f ) = det (f

(x)) .

Понятие почти квазиконформного отображения было введено Кэллен-

дером в [6], однако заметим, что условие (8.1.2) в [6] записывается в
несколько ином виде. Именно, требуется, чтобы K(x) ≡ const, а вместо
|J(x, f )| стоит J(x, f ). Так что рассматриваемый здесь класс отображе-
ний существенно шире рассматриваемого Кэллендером в [6]. В частно-
сти, это позволяет включить в рассмотрение вырождающиеся квазикон-
формные отображения.

При условии сохранения знака якобиана и предположениях

K ≡ const > 0,

δ ≡ 0

требование (8.1.2) означает, что отображение f является отображением
с ограниченным искажением [23, §3 глава I] (или, в терминологии [28,
раздел 14.1] — квазирегулярным отображением). Следует отметить, что в
случае отображений с ограниченным искажением предполагается лишь,
что вектор-функция f непрерывна и принадлежит классу W

1,n

loc

(D), а

предположение W

1,n

loc

(D) выполняется автоматически.

Подчеркнем, что требование (8.1.2) не предполагает постоянства знака

якобиана det (f

(x)). Таким образом, почти квазиконформные отображе-

ния могут менять ориентацию.

Чтобы лучше оценить объем рассматриваемого класса отображений,

имеет смысл отметить здесь следующее простое утверждение [12, раздел
8.1].

Предложение 8.1.1. Пусть f : D → R

– отображение, причем

f ∈ ACL(D)

ess sup

x∈D

(x)k ≤ q < ∞ .

Тогда f почти квазиконформно с постоянной K = n

n/2

и δ = (1+) q

где = const > 0 – произвольно.

В случае, когда a ∈ ∂D – кратная точка границы, выполнение соот-

ношения (8.1.1) может зависеть от направления подхода к точке a с той
или иной стороны D и, тем самым, определение полного дифференциала
нуждается в уточнении.

Определим концы области D, исходя из аналогии с теорией простых

концов Каратеодори (см., например, [13, §3]).

Для произвольного множества U ⊂ D полагаем [U ] = U \ ∂D, где U

есть замыкание в R

. Пусть {U

}, k = 1, 2, . . . – семейство подобластей

⊂ D со свойствами:

(i) для всех k = 1, 2, . . .

k+1

] ⊂ U

(ii)

∞

k=1

] = ∅.

Произвольную последовательность {U

} с указанными свойствами бу-

дем называть цепью в области D.

Пусть {U

}, {U

} – две цепи подобластей в D. Говорят, что цепь U

содержится в цепи {U

}, если для каждого m ≥ 1 найдется номер k(m)

такой, что при всех k > k(m) выполнено U

⊂ U

. Две цепи, каждая

из которых содержится в другой, называются эквивалентными. Классы
эквивалентности ξ цепей называются концами области D.

Чтобы определить конец ξ достаточно задать хотя бы один представи-

тель в классе эквивалентности. Если конец ξ определяется цепью {U

то мы пишем ξ {U

Телом конца ξ {U

} называется множество

|ξ| = ∩

∞
i=1

Ясно, что это множество не зависит от выбора цепи подобластей {U

Пусть {x

}

∞

m=1

– последовательность точек x

∈ D, не имеющая точек

накопления в D. Такие последовательности далее называем расходящи-
мися в D.

Пусть a

∈ |ξ| – произвольная точка. Расходящаяся в D последова-

тельность точек x

∈ D сходится к точке a

в топологии ξ, если x

→ a

(в топологии R

) и для некоторой (а, следовательно, произвольной) цепи

} ∈ ξ выполнено условие: для каждого k = 1, 2, . . . найдется целое

m(k) такое, что x

∈ U

при любом m > m(k).

Пусть D – область в R

, ξ – конец D, a

∈ |ξ| – точка. Будем говорить,

что подобласть D

области D примыкает к точке a

, если a

∈ ∂D

всякая последовательность точек x

∈ D

, сходящаяся к a

в топологии

сходится к этой точке в топологии ξ. Будем говорить, что для вектор-

функции f : D → R

имеет место соотношение

lim

x→a

f (x) = A ,

A = (A

, . . . , A

)

если f (x

) → A

при

→ a

вдоль любой последовательности точек

∈ D, сходящейся к a

в топологии ξ. Величину A будем обозначать в

этом случае символом f (a

Предположим, что вектор-функция f : D → R

и точка a

таковы, что

f (a

) существует. Будем говорить, что f имеет полный дифференциал в

граничной точке a

, если найдется постоянная матрица C = {C

}

1≤i≤n

1≤j≤m

для которой

f (x) − f (a

) = C · (x − a

) + o(|x − a

(x → a

x ∈ D).

(8.1.3)

Как и в случае внутренней точки, будем называть величину

df (a

) = C · (x − a

)

дифференциалом f в точке a

Дифференциал вектор-функции в граничной точке может быть не

единственным (соответствующие примеры имеются в [9]).

8.2

Модуль семейства кривых

Напомним определение класса ACL

. Пусть D ⊂ R

– открытое множе-

ство. Зафиксируем i, 1 ≤ i ≤ n, и обозначим через D

∗

ортогональную

проекцию D на гиперплоскость x

= 0. Для произвольной локально сум-

мируемой в D функции f полагаем

∗

0
i

, t, x

00
i

) ≡ f (x

, . . . , x

i−1

, t, x

i+1

, . . . , x

) ,

0
i

= (x

, . . . , x

i−1

00
i

= (x

i+1

, . . . , x

) .

Далее, пусть

0
i

, x

00
i

) ≡ {(x

0
i

, t, x

00
i

) ∈ R

: (x

0
i

, 0, x

00
i

) ∈ D

∗

} .

Непрерывная функция f : D → R называется абсолютно непрерыв-

ной на линиях (или кратко, ACL), если для любого i = 1, . . . , n сужения
f

∗

0
i

, t, x

00
i

) суть абсолютно непрерывны (по переменной t) внутри сово-

купности линейных интервалов D ∩ D

0
i

, x

00
i

) для H

n−1

-почти всех точек

0
i

, 0, x

00
i

) ∈ D

∗

. (Здесь и ниже символ dH

означает элемент p-мерной

меры Хаусдорфа.)

Всякая ACL-функция f : D → R имеет производные ∂f /∂x

(i =

1, . . . , n) почти всюду в D. Символом f

≡ (∂f

/∂x

) мы обозначаем

формальную производную вектор-функции f в точках, где все частные
производные существуют. В точках, где матрица f

не определена, усло-

вимся считать, что все ∂f

/∂x

= +∞ (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m).

Пусть σ : D → R

– определенная почти всюду в D, измеримая в

смысле Лебега неотрицательная функция и p ≥ 1 – постоянная. Функци-
ональный класс ACL

p
σ

(D) определяется как множество функций класса

ACL в D, для которых

(x)k

σ(x) dH

< ∞ .

В случае, когда весовая функция σ ≡ 1, имеем известный функ-

циональный класс ACL

(D), совпадающий с множеством непрерывных

функций соболевского класса W

(D) [17, теоремы 5.6.2-3].

Пусть D – область в R

, m > 1, пусть U ⊂ D счетно (H

, k)-спрямляемое

множество, 1 ≤ k ≤ m, и пусть σ : U → R

– неотрицательная H

– из-

меримая функция. Зафиксируем постоянную p > 1 и для произвольного
семейства Γ локально спрямляемых дуг γ ⊂ U определим (p, σ)-модуль

mod

p,σ

(Γ; U ) = inf

σ dH





inf

γ∈Γ

ρ dH





(8.2.4)

где точная нижняя грань берется по всем неотрицательным, измеримым
по Борелю функциям ρ в U . Если Γ = ∅, то мы полагаем mod

p,σ

(Γ; U ) =

∞.

При U = D имеем стандартное определение весового (p, σ)-модуля

семейства Γ в R

(см., например, [18, раздел 3.2]).

Пусть y и a – произвольная пара точек такая, что y ∈ D и a либо

внутренняя точка D, либо a = a

∈ |ξ|, где ξ – некоторый конец обла-

сти D ⊂ R

. Будем говорить, что простая жорданова дуга γ, заданная

параметризацией x(τ ) : [0, 1) → D, ведет из точки y в точку a, если
x(0) = y и

lim

τ →1

x(τ ) = a

при

a ∈ D

и существует последовательность τ

→ 1, вдоль которой

lim

→1

x(τ

) = a

при

a ∈ |ξ| .

Рассмотрим семейство Γ всевозможных локально спрямляемых, про-

стых жордановых дуг γ ⊂ D, ведущих из точки y в точку a. Положим

mod

p,σ

Γ(y, a; D) = mod

p,σ

(Γ; D) .

(8.2.5)

Пусть D ⊂ R

– область и a = a

– некоторая ее внутренняя или гра-

ничная точка. Зафиксируем произвольно непрерывную вектор-функцию
ν : D → R

, 1 ≤ k < ∞. Положим B

(a, r) = {x ∈ D : |ν(x) − ν(a)| < r}

и обозначим через B

(a, r) компоненту связности множества B

(a, r),

содержащую точку a в случае, когда a – внутренняя точка D, и примы-
кающую к a в случае, когда a ∈ |ξ|.

Символом S

(a, r) будем обозначать относительную границу

(a, r) = ∂B

(a, r) \ ∂D .

При ν(x) ≡ x мы будем пользоваться обозначениями B

(a, r), B

(a, r)

и S

(a, r), соответственно.

Предположим, что ν(x) локально липшицева. Пусть h(x) = |ν(x) −

ν(a)| и пусть

0 < ess inf

x∈D

|∇h(x)| ≤ ess sup

x∈∆

|∇h(x)| < ∞

(8.2.6)

на всяком подмножестве D

b D.

По теореме 3.2.15 [16] (см. также теорему 1.6.1 в [18]) для почти всех

t ∈ R

множества S

(a, t) счетно (H

n−1

, n − 1)-спрямляемы.

Зафиксируем счетно (H

n−1

, n − 1)-спрямляемое множество S

(a, t) и

неотрицательную измеримую функцию σ в S

(a, t). Пусть U – компо-

нента связности S

(a, t). Для произвольной пары точек a

, a

∈ U пусть

Γ = Γ(a

, a

) означает семейство всевозможных локально спрямляемых

дуг γ ⊂ U , соединяющих точки a

и a

. Определим весовой модуль

mod(a

, a

; σ) = mod

n,σ

Γ(a

, a

) .

(8.2.7)

Далее, пусть

κ(S

(a, t), σ) = inf

inf

∈U

mod(a

, a

; σ),

(8.2.8)

где первая из точных нижних граней берется по множеству {U } всевоз-
можных компонент связности U множества S

(a, t).

Положим

(a, t) = κ(S

(a, t), σ

∗

) ,

∗

|∇h|

где σ – некоторая, наперед заданная неотрицательная измеримая в D
функция.

Укажем следующую многомерную версию известного принципа "дли-

ны и площади"(см., например, [19], [13]).

Лемма 8.2.1. [7] Пусть D – область в R

, точка a = a

∈ D, вектор-

функция ν : D → R

удовлетворяет условию (8.2.6) и σ(x) – измери-

мая, неотрицательная в D функция. Пусть f : D → R

– вектор-

функция класса ACL

n
σ

(D). Тогда при любых t

, t

∈ h(D), t

< t

, выпол-

нено

Ω

(f, S

(a, t)) κ

(a, t) dt ≤

D(t

)

(x)k

σ(x) dH

(x) .

(8.2.9)

Здесь

D(t

, t

) = {x ∈ D : t

< |ν(x) − ν(a)| < t

Ω (f, S

(a, t)) = sup

osc (f, U )

и точная верхняя грань берется по всем компонентам связности U
множества S

(a, t).

8.3

Основная теорема. Комментарии

Пусть D ⊂ R

– открытое множество. Будем говорить, что функция

f : D → R

, m ≥ 1, монотонна, если для всякой подобласти U ⊂ D

выполнено

osc (f, U ) ≤ osc (f, ∂

U ) ,

∂

U = ∂U \ D .

Здесь и ниже символом

osc (φ, E) = sup

x,y∈E

|φ(x) − φ(y)|

обозначается колебание функции φ на множестве E.

Пусть h(t) : [0, ∞) → [0, ∞) – полунепрерывная сверху функция. Бу-

дем говорить, что функция f : D → R

, m ≥ 1, является h-монотонной,

если для всякой подобласти U ⊂ D выполнено

h (osc (f, U )) ≤ osc (f, ∂

U ) ,

и α-монотонной, 0 < α ≡ const < ∞, если f является h-монотонной с
h(t) = t

Некоторые примеры α-монотонных функций приведены в [8].

Зафиксируем непрерывную вектор-функцию ν : D → R

. Будем го-

ворить, что вектор-функция f : D → R

, m ≥ 1, является слабо (h, ν)-

монотонной вблизи точки a = a

(внутренней или граничной), если

lim sup

r→0

h (osc (f, B

(a, r)))

osc (f, S

(a, r))

< ∞ ,

(8.3.10)

и слабо (α, ν)-монотонной вблизи точки a, если f слабо (h, ν)-монотонна
вблизи точки a при h(t) = t

Ясно, что всякая монотонная в смысле Лебега функция слабо (α, ν)-

монотонна, α = 1, вблизи каждой точки.

Для произвольного непрерывного отображения y = ϕ(x) : D ⊂ R

→

и множества A ⊂ D символом N (y; ϕ, A) будем обозначать число

прообразов точки y ∈ R

в A. Далее полагаем

n(x; ϕ, A) = N (y; ϕ, A) ,

где

y = ϕ(x) .

Сформулируем основной результат работы

Теорема 8.3.1. Предположим, что вектор-функция f : D → R

осу-

ществляет почти квазиконформное отображение области D ⊂ R

смысле (8.1.2), для которого

δ(x) dx

K(x)

< ∞ .

(8.3.11)

Тогда для любой подобласти A ⊂ D выполнено

(x)k

K(x) n(x; f, A)

≤ mes

(f (A)) +

δ(x) dx

K(x) n(x; f, A)

(8.3.12)

С другой стороны, пусть a = a

∈ D – внутренняя или граничная

точка области и ν : D → R

– непрерывная вектор-функция, удовле-

творяющая (8.2.6). Если

i) для некоторого p > n и некоторой постоянной матрицы C = (C

)

n
i,j=1

выполняется

lim sup

y→a
y∈D

(a,r(a,y))

(x) − Ck

K(x) n(x; f, B

(a, r(a, y)))

mod

p,σ

Γ(y, a; B

(a, r(a, y))) = 0 ,

(8.3.13)

где

r(a, y) = inf{t > 0 : y ∈ B

(a, t)},

(x) =

K(x) n(x; f, B

(a, r))

(8.3.14)

либо

ii) вектор-функция f (x)−C·x является слабо (α, ν)-монотонной вблизи
a и существует постоянная λ > 1, для которой

lim sup

y→a
y∈D

(a,λr(a,y))

(x) − Ck

K(x) n(x; f, B

(a, r(a, y))

nα

(a, y)

λr(a,y)

r(a,y)

(a, t)

= 0,

(8.3.15)

то f имеет в точке a = a

полный дифференциал, равный C · dx.

Остановимся на некоторых частных случаях приведенной теоремы.

Пусть w = f (z) : D ⊂ C

→ C

– обобщенное решение уравнения Бель-

трами

= µ(z) f

(8.3.16)

где µ(z) – наперед заданная, измеримая комплекснозначная функция, и
символами

− i f

) ,

+ i f

)

обозначены формальные производные.

Подчеркнем, что в отличие от традиционного случая (см., например,

[10, глава V], [11, Chapter 1]) здесь не предполагается, что |µ(z)| < 1.

Мы имеем

J (z, f ) = |f

− |f

= (1 − |µ(z)|

)|f

= |f

+ |f

= (1 + |µ(z)|

)|f

Таким образом,

≤

1 + |µ|

|1 − |µ|

|J(z, f )|

и соотношение (8.1.2) выполняется с

K(z) =

1 + |µ(z)|

|1 − |µ(z)|

δ(z) ≡ 0 .

Предположение (8.3.11) всегда выполнено.
Здесь мы также имеем

(z) =

K(x) n(x; f, B

(a, r))

|1 − |µ(z)|

(1 + |µ(z)|

) n(x; f, B

(a, r))

Для однолистных отображений n(x; f, B

(a, r)) ≡ 1 и

(z) =

|1 − |µ(z)|

1 + |µ(z)|

Теорема 8.3.1 связывает дифференцируемость отображения f в особой

точке a = a

с поведением характеристики µ(z) в ее окрестности. В

случае, когда a есть внутренняя точка области, см. [1], [2], [3, глава VI],
[4, глава 11] [26]. В случае, когда a = a

есть граничная точка области и

µ(z) ≡ 0, близкие результаты см. в [5, Chapter 11].

Для отображений с ограниченным искажением в пространстве близ-

кие вопросы рассматривались в [24, глава VI], [25], [27], [29] и [30].

8.4

Доказательство теоремы

Пусть ϕ : D ⊂ R

→ R

– непрерывное отображение. Говорят, что

ϕ является абсолютно непрерывным, если для всякого ε > 0 найдется
δ > 0 такое, что для любого измеримого множества E ⊂ D, mes

E < δ,

выполнено mes

ϕ(E) < ε. В частности, всякое абсолютно непрерывное

отображение обладает N -свойством Лузина.

Лемма 8.4.1. [20] Если отображение ϕ непрерывно и принадлежит
классу W

1,n

loc

(D), то ϕ абсолютно непрерывно на всякой подобласти D

Пользуясь леммой 8.4.1, заключаем о справедливости следующего утвер-

ждения о замене переменных (см., например, [22])

Лемма 8.4.2. Если отображение ϕ непрерывно и принадлежит классу
W

1,n

loc

(D), то для всякой интегрируемой в ϕ(D) функции u(y) функция

(u ◦ ϕ)(x)|J (x, ϕ)| интегрируема в D, причем

ϕ(D)

u(y) N (y; ϕ, A) dy =

(u ◦ ϕ)(x) |J (x, ϕ)| dx .

(8.4.17)

В частности, замечая, что

J (x, ϕ) J (y, ϕ

−1

) = 1 ,

y = ϕ(x) ,

и полагая

u(y) =

N (y; ϕ, A)

на основании (8.4.17) имеем

mes

(ϕ(A)) =

ϕ(A)

dy =

|J(x, ϕ)|

n(x; ϕ, A)

dx .

Отсюда, на основании (8.1.2) заключаем, что

(x)k

− δ(x)

K(x) n(x; f, A)

dx ≤ mes

(f (A)) ,

и, тем самым, приходим к (8.3.12).

Рассмотрим семейство локально спрямляемых дуг Γ(y, a; B

(a, |y −

a|)), лежащих в B

(a, |y − a|) и соединяющих точку y ∈ B

(a, |y − a|) с

точкой a. Выберем в (8.2.4) функцию ρ(x) = kf

(x) − Ck. Находим

mod

p,σ

Γ(y, a; B

(a, |y − a|)) ≤

(a,|y−a|)

(x) − Ck

σ(x) dH

inf

γ∈Γ(y,a;B

(a,|y−a|))





(x) − Ck |dx|





(8.4.18)

Если γ – дуга семейства Γ(y, a; B

(a, |y − a|)), то

|f (y) − f (a) − C · (y − a)| ≤

(x) − Ck dH

Тем самым, в силу (8.4.18) для произвольной точки y ∈ D имеем

|f (y) − f (a) − C · (y − a)|

≤

(a,|y−a|)

(x) − Ck

σ(x) dH

mod

p,σ

Γ(y, a; B

(a, |y − a|))

. (8.4.19)

В силу неравенства (8.4.19) предположение (8.3.13) влечет выполнение

(8.1.1) (соответственно, (8.1.3)) и, тем самым, существование в случае i)
полного дифференциала в точке a = a

Докажем утверждение в условиях ii). Фиксируем произвольно точку

y ∈ D и рассмотрим подобласть

(a, r) ,

a = a

r = r(a, y) ,

примыкающую к концу ξ и содержащую точку y в замыкании. Положим
f

∗

(x) = f (x) − f (a) − C · (x − a). Пользуясь леммой 8.2.1, на основании

соотношения (8.2.9) имеем

λr(a,y)

r(a,y)

Ω

∗

, S

(a, t)) κ

(a, t) dt ≤

D(r(a,y),λr(a,y))

k(f

∗

)

(x)k

λr(a,y)

(x) dH

(x) ,

где σ

λr(a,y)

(x) определена в (8.3.14).

Отображение f

∗

(x) слабо (α, ν)-монотонно вблизи точки a и в силу

(8.3.10) для всякого t, r(a, y) < t < λ r(a, y), и некоторой постоянной
A < ∞ выполнено

∗

(y) − f

∗

(a)|

≤ osc

∗

, B

(a, t)) ≤ A Ω (f

∗

, S

(a, t)) .

Отсюда получаем

∗

(y) − f

∗

(a)|

αn

λr(a,y)

r(a,y)

(a, t) dt ≤

≤ A

D(r(a,y),λr(a,y))

(x) − Ck

λr(a,y)

(x) dH

(x) .

Предположение (8.3.15) влечет выполнение (8.1.1) (и, соответственно,
(8.1.3)). Теорема доказана.

В.М. Миклюков
Лаборатория "Сверхмедленные процессы"
Волгоградского государственного университета
Университетский пр-т 100, Волгоград 400062
E-mail: miklyuk@mail.ru

Список литературы

[1] O. Teichm¨

uller, Untersuchungen ¨

uber konforme und quasikonforme

Abbildung, Deutsche Math., v. 3, 1938, 621-678.

[2] П.П. Белинский, Поведение квазиконформного отображения в изо-

лированной особой точке, Уч. зап. Львовского ун-та, т. 29, сер. мех.-
матем., вып. 6, 1954, 58-70.

[3] Г. Виттих, Новейшие исследования по однозначным аналитическим

функциям, М.: ГИФМЛ, 1960.

[4] Ю.Ю. Трохимчук, Дифференцирование, внутренние отображения и

критерии аналитичности, Киев, Ин-т математики НАН Украины,
2007.

[5] Ch. Pommerenke, Boundary Behaviour of Conformal Maps, Springer-

Verlag, Berlin - Heidelberg - New York etc., 1992.

[6] E.D. Callender, H¨

older-continuity of N -dimensional quasiconformal

mappings, Pacific J. Math., v. 1, 1960, 49-515.

[7] В.М. Миклюков, Об одной модификации принципа длины и площади

на абстрактных поверхностях, Uzbek Mathematical Journal, 2009, N 1,
68-79.

[8] В.М. Миклюков, О некоторых признаках существования полного

дифференциала, Сиб. матем. ж., 2009, (в печ.)

[9] В.М. Миклюков, Некоторые признаки существования полного диф-

ференциала в точке, напр. в Мат. сб. (март 2009)

[10] Л. Альфорс, Лекции по квазиконформным отображениям, М.: Мир,

1969.

[11] S.L. Krushkal’, Quasiconformal Mappings and Riemann Surfaces,

V.H. Winston & Sons, Washington, D.C., 1979.

138

[12] В.М. Миклюков, Геометрический анализ: Дифференциальные фор-

мы, почти-решения, почти квазиконформные отображения, Волго-
град: изд-во ВолГУ, 2007.

[13] Г.Д. Суворов, Семейства плоских топологических отображений, Но-

восибирск: изд-во СО АН СССР, 1965.

[14] С. Сакс, Теория интеграла, М.: ИЛ, 1949.

[15] L.C. Evans and R.F. Gariepy, Measure theory and fine properties of

functions. Studies in advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton
– New York – London – Tokyo, 1992; имеется русский перевод:
Л.К. Эванс, Р.Ф. Гариепи, Теория меры и тонкие свойства функций,
Новосибирск: Научная книга, 2002.

[16] H. Federer, Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1969;

имеется русский перевод: Г. Федерер, Геометрическая теория меры,
Изд-во ’Наука’, Москва, 1987.

[17] A. Kufner, O. John, and S. Fuˇ

cik, Function Spaces, Noordhoff

International Publishing, Leyden, 1977.

[18] В.М. Миклюков, Введение в негладкий анализ, 2-е издание, Волго-

град: Изд-во ВолГУ, 2008.

[19] J. Lelong-Ferrand, Repr´

esentation conforme et transformations a

int´

egrale de Dirichlet born´

ee, Gauthier—Villars, Paris, 1955.

[20] O. Martio and J. Mal´

y, Lusin’s condition (N ) and mappings of the class

1,n

, J. Reine Angew. Math., b. 485, 1995, 19-36.

[21] Г.Д. Суворов, Обобщенный "принцип длины и площади" в теории

отображений, Киев: Изд-во ’Наукова Думка’, 1985.

[22] С.К. Водопьянов, Дифференцируемочсть отображений групп Карно

соболевских классов, Матем. сб., т. 194, n. 6, 2003, 67-86.

[23] Ю.Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным ис-

кажением, Новосибирск: Наука, 1982.

[24] Ю.Г. Решетняк, Теоремы устойчивости в геометрии и анализе, Но-

восибирск: Наука, 1982.

[25] В.А. Зорич, Принцип статики и устойчивость изометрий, в сб. "Ком-

плексный анализ в современной математике", К 80-летию со дня
рождения Бориса Владимировича Шабата, Редактор - составитель
Е.М. Чирка, М.: Фазис, 2001, 3–17.

[26] Г.С. Шефель, Устойчивость плоских квазиконформных отображе-

ний порядка p, Сиб. мат. журн., т. 28, n. 4, 1987, 214-223.

[27] Г.С. Шефель, О близости пространственного квазиконформного

отображения порядка p к конформному, Сиб. мат. журн., т. 38, n. 1,
1997, 217-234.

[28] J. Heinonen, T. Kilpel¨

ainen and O. Martio, Nonlinear potential theory

of degenerate elliptic equations, Oxford: Clarendon Press. 1993.

[29] V.Ya. Gutlyanskii, O. Martio, and M. Vuorinen, On conformal

differentiation in space, Preprint 278, University of Helsinki, Depart.
of Math., 2001, 19 pp.

[30] V.Ya. Gutlyanskii, and T. Sugawa, On Lipschitz continuity of

quasiconformal mappings, Preprint 283, University of Helsinki, Depart.
of Math., 2001, 18 pp.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Gorickij A , Kruzhkov S , Chechkin G Uravneniya s chastnymi proizvodnymi 1 poryadka (MGU, 1999)(ru)(
Ganzha E I , Carev S P Klassicheskie metody integrirovaniya giperbolicheskix sistem i uravnenij vtor
Rudenko A K , i dr Sbornik zadach s resheniyami dlya podgotovki k studencheskim matematicheskim olim
Budylin A M Geometricheskie voprosy teorii differencial nyx uravnenij (2002)(ru)(O)(47s) MCde
Wykład 6 2009 Użytkowanie obiektu
Przygotowanie PRODUKCJI 2009 w1
Wielkanoc 2009
przepisy zeglarz 2009
KsztaĹ‚towanie Ĺ›wiadomoĹ›ci fonologicznej prezentacja 2009
zapotrzebowanie ustroju na skladniki odzywcze 12 01 2009 kurs dla pielegniarek (2)
perswazja wykład11 2009 Propaganda
Wzorniki cz 3 typy serii 2008 2009
2009 2010 Autorytet
Cw 1 Zdrowie i choroba 2009
download Prawo PrawoAW Prawo A W sem I rok akadem 2008 2009 Prezentacja prawo europejskie, A W ppt
Patologia przewodu pokarmowego CM UMK 2009
Wykład VIp OS 2009
2009 04 08 POZ 06id 26791 ppt

więcej podobnych podstron