WM Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 4 1
Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE
4
Z6/4.1 Zadanie 4
Wyznaczyć główne momenty bezwładności przekroju wykonanego z kształtowników walcowanych
przedstawionego na rysunku Z6/4.1.
220
1
3
200
90x60x8
2
Rys. Z6/4.1. Przekrój złożony z kształtowników walcowanych.
Z6/4.2 Środek ciężkości przekroju
W celu wyznaczenia położenia środka ciężkości obieramy początkowy układ współrzędnych Y Z tak
P P
aby cały przekrój znalazł się w pierwszej ćwiartce układu. Początkowy układ współrzędnych przedstawia
rysunek Z6/4.2. Przekrój został podzielony na: ceownik 220, dwuteownik 200 oraz kątownik nierównora-
mienny 90x60x8. Podział ten przedstawia także rysunek Z6/4.2. Współrzędne środka ciężkości figury numer
1 (ceownika) wynoszÄ…
22,0
.
yP1= =11,0 cm zP1=8,0-2,14=5,86cm (Z6/4.1)
2
Współrzędne środka ciężkości figury numer 2 (dwuteownika) wynoszą
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 4 2
22,0
11,0 11,0
YP
1
sc1
3
sc3
2
2,96 19,04
sc2
9,0 4,0 4,5 4,5
ZP
9,0 4,0 9,0
[cm]
Rys. Z6/4.2. Podział przekroju pręta na figury składowe
9,0 20,0
.
yP2= =4,5 cm zP2=8,0ƒÄ… =18,0 cm (Z6/4.2)
2 2
Współrzędne środka ciężkości figury numer 3 (kątownika nierównoramiennego) wynoszą
.
yP3=22,0-2,96=19,04 cm zP3=8,0ƒÄ…1,48=9,48cm (Z6/4.3)
Położenie środków ciężkości poszczególnych figur przedstawia rysunek Z6/4.2. Pole powierzchni ceownika
wynosi
(Z6/4.4)
A1=37,4 cm2 .
Dr inż. Janusz Dębiński
8,0
8,0
8,0
8,0
9,48
2,14
5,86
1,48
18,0
6,0
4,52
10,0
20,0
10,0
10,0
WM Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 4 3
Pole powierzchni dwuteownika wynosi
(Z6/4.5)
A2=33,5 cm2 .
Pole powierzchni kątownika nierównoramiennego wynosi
(Z6/4.6)
A3=11,4 cm2 .
Zgodnie ze wzorem (6.13) współrzędna y środka ciężkości przekroju wynosi
C
37,4Å"11,0ƒÄ…33,5Å"4,5ƒÄ…11,4Å"19,04
yC= =9,468 cm . (Z6/4.7)
37,4ƒÄ…33,5ƒÄ…11,4
Zgodnie ze wzorem (6.14) współrzędna z środka ciężkości przekroju wynosi
C
37,4Å"5,86ƒÄ…33,5Å"18,0ƒÄ…11,4Å"9,48
zC= =11,30 cm . (Z6/4.8)
37,4ƒÄ…33,5ƒÄ…11,4
Położenie środka ciężkości całego przekroju przedstawia rysunek Z6/4.3. Jak widać środek ciężkości całego
przekroju pręta znajduje się wewnątrz trójkąta, którego wierzchołkami są środki ciężkości figur składowych,
blisko boku, który łączy środki ciężkości ceownika i dwuteownika, które to mają w sumie większe pole
powierzchni niż kątownik nierównoramienny.
Z6/4.3 Momenty bezwładności w układzie osi środkowych
W celu wyznaczenia współrzędnych środków ciężkości w układzie osi środkowych wykorzystamy
wzory transformacyjne
yoi= yPi- yC
, (Z6/4.9)
zoi=zPi-zC
. (Z6/4.10)
Współrzędne środka ciężkości ceownika w układzie osi środkowych wynoszą
y01=11,0-9,468=1,532cm
.
(Z6/4.11)
z01=5,86-11,30=-5,44 cm
Współrzędne środka ciężkości dwuteownika w układzie osi środkowych wynoszą
y02=4,5-9,468=-4,968cm
.
(Z6/4.12)
z02=18,0-11,30=6,7cm
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 4 4
YP
1
11,0
sc1
3
sc3
sc
Y0
2
19,04
sc2
4,5
Z0
ZP
9,468
[cm]
Rys. Z6/4.3. Położenie środka ciężkości przekroju pręta
Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego w układzie osi środkowych wynoszą
y03=19,04-9,468=9,572cm
.
(Z6/4.13)
z03=9,48-11,30=-1,82 cm
Położenie środków ciężkości poszczególnych figur składowych w układzie osi środkowych oraz osie
środkowe poszczególnych figur przedstawia rysunek Z6/4.4.
Mając wyznaczone położenie środków ciężkości poszczególnych figur w układzie osi środkowych
możemy przystąpić do wyznaczenia momentów bezwładności w układzie osi środkowych Y Z . Osiowe
0 0
momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla ceownika wynoszą
śąT źą
. (Z6/4.14)
J =JśąTźą=197,0 cm4 J =J =2690 cm4
Y01 Y Z01 X
Osiowe momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla dwuteow-
nika wynoszÄ…
Dr inż. Janusz Dębiński
5,86
9,48
11,30
18,0
WM Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 4 5
1
Y01 sc1
Y03
Z01
sc3
1,532
sc
Y0
3
9,572
2
Z03 4,968
Y02
sc2
Z02
Z0
[cm]
Rys. Z6/4.4. Położenie środków ciężkości figur składowych w układzie osi środkowych
T śąT źą
. (Z6/4.15)
J =JśąX źą=2140 cm4 J =J =117,0 cm4
Y02 Z02 Y
Osiowe momenty bezwładności odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych dla kątownika
nierównoramiennego wynoszą
śąT źą
. (Z6/4.16)
J =JśąTźą=32,8 cm4 J =J =92,3cm4
Y03 Y Z03 X
Wartości osiowych momentów bezwładności posłużą nam do wyznaczenia momentów bezwładności w uk-
ładzie osi środkowych przekroju pręta. Zgodnie ze wzorem (6.31) moment bezwładności względem osi Y
0
wynosi
JY0=197ƒÄ…śą-5,44źą2Å"37,4
. (Z6/4.17)
ƒÄ…2140ƒÄ…śą6,7źą2Å"33,5
ƒÄ…32,8ƒÄ…
śą-1,82 Å"11,4=5018 cm4
źą2
Zgodnie ze wzorem (6.32) moment bezwładności względem osi Z wynosi
0
Dr inż. Janusz Dębiński
5,44
1,82
6,7
WM Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 4 6
JZ0=2690ƒÄ…śą1,532źą2Å"37,4
. (Z6/4.18)
ƒÄ…117,0ƒÄ…śą-4,968źą2Å"33,5
ƒÄ…92,3ƒÄ… 9,572 Å"11,4=4858 cm4
śą źą2
Aby wyznaczyć dewiacyjny moment bezwładności całego przekroju musimy wyznaczyć w pierwszej
kolejności dewiacyjny moment bezwładności dla kątownika nierównoramiennego. Pierwszy niezmiennik dla
kątownika nierównoramiennego w układzie jego osi środkowych Y Z wynosi
03 03
. (Z6/4.19)
Iśą3źą=92,3ƒÄ…32,8=125,1 cm4
1
Minimalny moment bezwładności dla kątownika odczytany z tablic wynosi
. (Z6/4.20)
Jśą23źą=19,0 cm4
Maksymalny moment bezwładności dla kątownika wynosi więc
. (Z6/4.21)
Jśą13źą=125,1-19,0=106,1 cm4
Drugi niezmiennik dla układu osi głównych kątownika nierównoramiennego wynosi
. (Z6/4.22)
Iśą23źą=106,1Å"19,0=2016 cm8
Drugi niezmiennik w układzie osi środkowych kątownika nierównoramiennego wynosi
2
. (Z6/4.23)
Iśą23źą=92,3Å"32,8-J =2016 cm8
Y03Z03
Kwadrat dewiacyjnego momentu bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi więc
2
. (Z6/4.24)
J =92,3Å"32,8-2016=1011cm8
Y03Z03
Rysunek Z6/4.5 przedstawia ułożenie kątownika w układzie jego osi środkowych. Jak widać na nim większa
część kątownika nierównoramiennego znajduje się w ćwiartkach dodatnich więc dewiacyjny moment
bezwładności wynosi ostatecznie
. (Z6/4.25)
J =ƒÄ…31,80 cm4
Y03Z03
Dla pozostałych ceownika oraz dwuteownika dewiacyjne momenty bezwładności w układzie ich osi środko-
wych J i J wynoszą zero, ze względu na to, że przynajmniej jedna z tych jest osią symetrii tych
Y01Z01 Y02Z02
figur. Zgodnie ze wzorem (6.33) dewiacyjny moment bezwładności przekroju w układzie Y Z wynosi
0 0
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 4 7
Y03
3
sc3
Z03
2,96
Rys. Z6/4.5. Kątownik nierównoramienny w układzie swoich osi środkowych
JY0Z0=0,0ƒÄ… Å" 1,532Å"37,4
śą-5,44
źą śą źą
. (Z6/4.26)
ƒÄ…0,0ƒÄ…śą6,7źąÅ"śą-4,968źąÅ"33,5
ƒÄ…31,8ƒÄ…śą-1,82źąÅ"śą9,572źąÅ"11,4=-1594cm4
Z6/4.4 Główne momenty bezwładności
Znając wartości momentów bezwładności w układzie osi środkowych możemy wyznaczyć momenty
główne i kierunek główny. Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych zgodnie z wzorem (6.43)
będzie miał wartość
-2Å"
śą-1594
źą
.
tgśą2Å"·Ä…glźą= =19,93 (Z6/4.27)
5018-4858
Kąt nachylenia osi głównych wynosi
. (Z6/4.28)
·Ä…gl=43,56o
Kąt ten jest dodatni więc kręci od osi Y do Z . Główne momenty bezwładności J oraz J zgodnie
gl gl Ygl Zgl
z (6.44) i (6.45) wynosi
5018ƒÄ…4858 5018-4858
J = ƒÄ… Å"cosśą2Å"43,56oźą-śą-1594źąÅ"sinśą2Å"43,56oźą
Ygl
2 2 . (Z6/4.29)
J =6534 cm4
Ygl
5018ƒÄ…4858 5018-4858
JZgl= - Å"cosśą2Å"43,56oźąƒÄ…śą-1594źąÅ"sinśą2Å"43,56oźą
2 2 . (Z6/4.30)
JZgl=3342 cm4
Uporządkowane momenty bezwładności wynoszą
J1=6534 cm4 .
(Z6/4.31)
J2=3342 cm4
Dr inż. Janusz Dębiński
1,48
WM Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 4 8
Y0
sc
43,56o
Z0
Rys. Z6/4.6. Położenie głównych osi bezwładności
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy wzór (6.48). Główne momenty bezwładności wynoszą
2
5018ƒÄ…4858Ä… 5018-4858
(Z6/4.32)
J = ƒÄ…
śą-1594 =
źą2 6534 cm4 .
1/ 2
śą źą
{
2 2
3342 cm4
ćą
Pierwszy niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi
. (Z6/4.33)
I1=4858ƒÄ…5018=9876 cm4
Pierwszy niezmiennik w układzie osi głównych wynosi
. (Z6/4.34)
I1=6534ƒÄ…3342=9876 cm4
Jak widać niezmienniki (Z6/4.33) i (Z6/4.34) są równe. Drugi niezmiennik w układzie osi środkowych
wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
2
1
=
=
l
l
g
g
Z
Y
WM Z6/4. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 4 9
(Z6/4.35)
I =4858Å"5018-śą-1594źą2=21840000 cm8 .
2
Drugi niezmiennik w układzie osi głównych wynosi
(Z6/4.36)
I =6534Å"3342=21840000 cm8 .
2
Jak widać niezmienniki (Z6/4.35) i (Z6/4.36) są równe. Położenie głównych osi bezwładności przedstawia
rysunek Z6/4.6.
Dr inż. Janusz Dębiński