WM Z12/4. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH  ZADANIE 4 1
Z12/4. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH  ZADANIE 4
Z12/4.1 Zadanie 4
Dla belek złożonych przedstawionych na rysunku Z12/4.1 narysować belki fikcyjne w metodzie
obciążeń krzywiznami.
a)
b)
c)
d)
Rys. Z12/4.1. Belki złożone
Z12/4.2 Belka numer 1
Na początek oznaczmy poszczególne podpory oraz belki proste, z których składa się belka złożona.
Przedstawia to rysunek Z12/4.2.
A B C D E F G
H
I
II III IV
Rys. Z12/4.2. Belka złożona numer 1
Jak widać na rysunku Z12/4.2 belka złożona składa się z czterech belek prostych, które posiadają
dwanaście stopni swobody. Utwierdzenie odbiera trzy stopnie swobody, trzy przeguby rzeczywiste odbierają
razem sześć stopni swobody, trzy podpory przegubowo-przesuwne odbierają razem trzy stopnie swobody.
Wszystkie więzy razem odbierają więc dwanaście stopni swobody. Został więc spełniony warunek koniecz-
ny geometrycznej niezmienności.
Belka numer I jest podparta trzema prętami podporowymi (utwierdzenie), których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej belki. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla belki numer II.
Belka numer II jest podparta przegubem rzeczywistym B i prętem podporowym C. Przegub nie leży
na kierunku pręta podporowego. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności
dla tej belki. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże dla belki numer III.
Belki numer III oraz IV stanowią układ trójprzegubowy z przegubami rzeczywistymi D, E oraz
przegubem niewłaściwym w nieskończoności utworzonym z prętów podporowych F i G. Przeguby te nie
znajdują się na jednej prostej. Został więc spełniony warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla
tej belki.
Ponieważ wszystkie cztery belki są geometrycznie niezmienne możemy stwierdzić, że cała belka
złożona jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Rysunek Z12/4.3 przedstawia pierwsze przybliżenie belki fikcyjnej, w której zamienione są podpory
zgodnie z Tabelą 12.2. Na tym etapie nie precyzujemy jeszcze, które podpory będą przegubowo-przesuwne,
a które przegubowo-nieprzesuwne.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z12/4. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH  ZADANIE 4 2
A B C D E F G H
I
II III IV
Rys. Z12/4.3. Pierwsze przybliżenie belki fikcyjnej dla belki numer 1
Jak widać na rysunku Z12/4.3 mamy cztery belki proste, które posiadają dwanaście stopni swobody.
Utwierdzenie oraz trzy przeguby rzeczywiste odbierają razem dziewięć stopni swobody. Pozostałe trzy
stopnie swobody muszą odebrać trzy podpory przegubowe. Muszą to być więc podpory przegubowo-
przesuwne. Rysunek Z12/4.4 przedstawia ostateczną postać belki fikcyjnej dla belki numer 1.
A B C D E F G H
I II III IV
Rys. Z12/4.4. Ostateczna postać belki fikcyjnej dla belki numer 1.
Belka numer IV jest przymocowana do podłoża za pomocą trzech prętów podporowych, których
kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Jest więc geometrycznie niezmienna i może stanowić podłoże
dla belki numer III.
Belki numer II oraz III stanowią układ trójprzegubowy, który jest zbudowany z przegubów
rzeczywistych G, F oraz przegubu niewłaściwego w nieskończoności powstałego z przecięcia się kierunków
prętów podporowych D i E. Przeguby te nie znajdują się na jednej prostej więc belki numer II i III są
geometrycznie niezmienne i stanowią podłoże dla belki numer I.
Belka numer I jest podparta do podłoża przegubem rzeczywistym C i prętem podporowym B. Przegub
nie znajduje się na kierunku pręta podporowego. Belka numer I jest więc geometrycznie niezmienna.
Ponieważ wszystkie cztery belki są geometrycznie niezmienne możemy stwierdzić, że cała belka
fikcyjna jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Z12/4.3 Belka numer 2
Na początek oznaczmy poszczególne podpory oraz belki proste, z których składa się belka złożona.
Przedstawia to rysunek Z12/4.5.
A B C D E F G H
I
II III IV
Rys. Z12/4.5.Belka złożona numer 2.
Jak widać na rysunku Z12/4.5 belka złożona numer 2 składa się z czterech belek prostych, które
posiadają dwanaście stopni swobody. Podpora przegubowo nieprzesuwna odbiera dwa stopnie swobody, trzy
przeguby rzeczywiste odbierają razem sześć stopni swobody natomiast cztery podpory przegubowo-
przesuwne odbierają razem cztery stopnie swobody. Razem wszystkie więzy odbierają dwanaście stopni
swobody. Został tym samym spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności.
Belki numer I oraz II stanowią układ trójprzegubowy składający się z dwóch przegubów rzeczywis-
tych A, B oraz przegubu niewłaściwego w nieskończoności powstałego z przecięcia się kierunków prętów
podporowych C i D. Przeguby te nie znajdują się na jednej prostej więc belki numer I i II są geometrycznie
niezmienne i stanowią podłoże dla belki numer III.
Belki numer III oraz IV stanowią układ trójprzegubowy, który jest zbudowany z przegubów rzeczy-
wistych E, F oraz przegubu niewłaściwego w nieskończoności powstałego z przecięcia się kierunków
prętów podporowych G oraz H. Przeguby te nie znajdują się na jednej prostej więc belki numer III i IV są
geometrycznie niezmienne.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z12/4. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH  ZADANIE 4 3
Ponieważ wszystkie cztery belki są geometrycznie niezmienne możemy stwierdzić, że cała belka
złożona jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
A B C D E F G H
I
II III IV
Rys. Z12/4.6. Pierwsze przybliżenie belki fikcyjnej dla belki numer 2
Rysunek Z12/4.6 przedstawia pierwsze przybliżenie belki fikcyjnej, w której zamienione są podpory
zgodnie z Tabelą 12.2. Na tym etapie nie precyzujemy jeszcze, które podpory będą przegubowo-przesuwne,
a które przegubowo-nieprzesuwne.
Jak widać na rysunku Z12/4.6 mamy cztery belki proste, które posiadają dwanaście stopni swobody.
Trzy przeguby rzeczywiste odbierają razem sześć stopni swobody. Pozostałe sześć stopni swobody musi
odebrać pięć podpór przegubowych. Jedna z nich (A) musi być więc podporą przegubowo-nieprzesuwną
natomiast pozostałe cztery muszą być przegubowo-przesuwne. Rysunek Z12/4.7 przedstawia ostateczną
postać belki fikcyjnej dla belki numer 2.
A B C D E F G H
I
II III IV
Rys. Z12/4.7. Ostateczna postać belki fikcyjnej dla belki numer 2.
Belka numer I jest podparta trzema prętami podporowymi, których kierunki nie przecinają się w jed-
nym punkcie jest więc geometrycznie niezmienna i stanowi podłoże dla belki numer II.
Belki numer II oraz III stanowią układ trójprzegubowy zbudowany z dwóch przegubów rzeczywistych
C, D oraz przegubu niewłaściwego w nieskończoności powstałego z przecięcia się kierunków prętów
podporowych E i F. Przeguby te nie znajdują się na jednej prostej więc belki numer II i III są geometrycznie
niezmienne i stanowią podłoże dla belki numer IV.
Belka numer IV jest podparta do podłoża za pomocą przegubu rzeczywistego G i pręta podporowego
H. Przegub nie znajduje się na kierunku pręta podporowego. Belka numer IV jest więc geometrycznie
niezmienna.
Ponieważ wszystkie cztery belki są geometrycznie niezmienne możemy stwierdzić, że cała belka
fikcyjna jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Z12/4.4 Belka numer 3
Na początek oznaczmy poszczególne podpory oraz belki proste, z których składa się belka złożona.
Przedstawia to rysunek Z12/4.8.
A B C D E F G H K L
I
II III IV
Rys. Z12/4.8. Belka złożona numer 3
Jak widać na rysunku Z12/4.8 belka złożona numer 3 składa się z czterech belek prostych, które
posiadają dwanaście stopni swobody. Podpora przegubowo nieprzesuwna odbiera dwa stopnie swobody, trzy
przeguby rzeczywiste odbierają razem sześć stopni swobody natomiast cztery podpory przegubowo-
przesuwne odbierają razem cztery stopnie swobody. Razem wszystkie więzy odbierają dwanaście stopni
swobody. Został tym samym spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z12/4. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH  ZADANIE 4 4
Belka numer I jest podparta do podłoża za pomocą trzech prętów podporowych, których kierunki nie
przecinają się w jednym punkcie. Belka numer I jest więc geometrycznie niezmienna i stanowi podłoże dla
belki numer II.
Belka numer II jest podparta do podłoża za pomocą przegubu rzeczywistego D i pręta podporowego
E. Przegub nie znajduje się na kierunku pręta podporowego. Belka ta jest więc geometrycznie niezmienna
i stanowi podłoże dla belki numer III.
Belki numer III oraz IV stanowią układ trójprzegubowy zbudowany z dwóch przegubów rzeczy-
wistych F, G oraz przegubu niewłaściwego w nieskończoności powstałego z przecięcia się kierunków
prętów podporowych H i K. Przeguby te nie znajdują się na jednej prostej więc belki numer III i IV są
geometrycznie niezmienne.
Ponieważ wszystkie cztery belki są geometrycznie niezmienne możemy stwierdzić, że cała belka
złożona jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
A B C D E F G H K L
I II III IV V VI
Rys. Z12/4.9. Pierwsze przybliżenie belki fikcyjnej dla belki numer 3
Rysunek Z12/4.9 przedstawia pierwsze przybliżenie belki fikcyjnej, w której zamienione są podpory
zgodnie z Tabelą 12.2. Na tym etapie nie precyzujemy jeszcze, które podpory będą przegubowo-przesuwne,
a które przegubowo-nieprzesuwne.
Jak widać mamy sześć belek prostych, które posiada osiemnaście stopni swobody. Pięć przegubów
rzeczywistych odbiera razem dziesięć stopni swobody. Pozostałe osiem stopni swobody muszą odebrać trzy
podpory przegubowe oraz dwa utwierdzenia. Podpory przegubowe muszą być podporami przegubowo-
przesuwnymi, które odbiorą razem trzy stopnie swobody. Pozostaje nam pięć stopni swobody, które muszą
odebrać utwierdzenia. Aby belka fikcyjna była statycznie wyznaczalna musimy jedno z utwierdzeń zamienić
na podporę ślizgową. Ostatecznie mamy utwierdzenie (odbiera trzy stopnie swobody), podporę ślizgową
(odbiera dwa stopnie swobody), pięć przegubów rzeczywistych (odbierają dziesięć stopni swobody) oraz
trzy podpory przegubowo-przesuwne (odbierają trzy stopnie swobody). Razem więc wszystkie więzy odbie-
rają osiemnaście stopni swobody. Został więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności.
Drugie przybliżenie belki fikcyjnej przedstawia rysunek Z12/4.10.
A B C D E F G H K L
I II III IV V VI
Rys. Z12/4.10. Drugie przybliżenie belki fikcyjnej dla belki numer 3
Belka numer I jest podparta do podłoża za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się
w jednym punkcie. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i stanowi podłoże dla belki numer II.
Belki numer II i III są jednak geometrycznie zmienne, ponieważ brakuje w nich jednego więzu. Tym
samym nie spełniony jest warunek konieczny geometrycznej niezmienności dla tych dwóch belek. Brak jest
drugiej podpory przegubowo-przesuwnej, która razem z podporą D mogłaby tworzyć przegub niewłaściwy
w nieskończoności. Aby belka fikcyjna była geometrycznie niezmienna musimy zamienić podporę ślizgową
i utwierdzenie. Trzecie przybliżenie belki fikcyjnej przedstawia rysunek Z12/4.11.
A B C D E F G H K L
I
II III IV V VI
Rys. Z12/4.11. Trzecie i ostateczne przybliżenie belki fikcyjnej dla belki numer 3
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z12/4. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH  ZADANIE 4 5
Belka numer VI jest podparta do podłoża za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się
w jednym punkcie. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i stanowi podłoże dla belki numer V.
Belki numer V oraz IV stanowią układ trójprzegubowy zbudowany z dwóch przegubów rzeczywistych
H, K oraz przegubu niewłaściwego w nieskończoności powstałego z przecięcia się kierunków prętów
podporowych F i G. Przeguby te nie znajdują się na jednej prostej więc belki numer V i IV są geometrycznie
niezmienne i stanowią podłoże dla belki numer III.
Belka numer III jest podparta do podłoża za pomocą przegubu rzeczywistego E i pręta podporowego
D. Przegub nie znajduje się na kierunku pręta podporowego. Belka numer III jest więc geometrycznie
niezmienna i stanowi podłoże dla belki numer II.
Belki numer I oraz II stanowią układ trójprzegubowy zbudowany z dwóch przegubów rzeczywistych
B, C oraz przegubu niewłaściwego w nieskończoności powstałego w podporze ślizgowej. Przeguby te nie
znajdują się na jednej prostej więc belki numer I i II są geometrycznie niezmienne.
Ponieważ wszystkie sześć belek jest geometrycznie niezmienne możemy stwierdzić, że cała belka
fikcyjna jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Z12/4.5 Belka numer 4
Na początek oznaczmy poszczególne podpory oraz belki proste, z których składa się belka złożona.
Przedstawia to rysunek Z12/4.12.
A B C D E F G H
I
II III IV
Rys. Z12/4.12. Belka złożona numer 4
Jak widać na rysunku Z12/4.12 belka złożona numer 4 składa się z czterech belek prostych, które
posiadają dwanaście stopni swobody. Utwierdzenie odbiera trzy stopnie swobody, trzy przeguby rzeczywiste
odbierają razem sześć stopni swobody natomiast trzy podpory przegubowo-przesuwne odbierają razem trzy
stopnie swobody. Razem wszystkie więzy odbierają dwanaście stopni swobody. Został tym samym
spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności.
Belka numer I jest podparta do podłoża za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się
w jednym punkcie. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i stanowi podłoże dla belki numer II.
Belki numer II oraz III stanowią układ trójprzegubowy zbudowany z dwóch przegubów rzeczywistych
B, C oraz przegubu niewłaściwego w nieskończoności powstałego z przecięcia się kierunków prętów
podporowych D i E. Przeguby te nie znajdują się na jednej prostej więc belki numer II i III są geometrycznie
niezmienne i stanowią podłoże dla belki numer IV.
Belka numer IV jest podparta do podłoża za pomocą przegubu rzeczywistego F i pręta podporowego
G. Przegub nie znajduje się na kierunku pręta podporowego. Belka numer IV jest więc geometrycznie
niezmienna.
Ponieważ wszystkie cztery belki są geometrycznie niezmienne możemy stwierdzić, że cała belka
złożona jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
A B C D E F G H
I II III IV
Rys. Z12/4.13. Pierwsze przybliżenie belki fikcyjnej dla belki numer 4
Rysunek Z12/4.13 przedstawia pierwsze przybliżenie belki fikcyjnej, w której zamienione są podpory
zgodnie z Tabelą 12.2. Na tym etapie nie precyzujemy jeszcze, które podpory będą przegubowo-przesuwne,
a które przegubowo-nieprzesuwne.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z12/4. PRZEMIESZCZENIA W BELKACH  ZADANIE 4 6
Jak widać na rysunku Z12/4.13 belka fikcyjna składa się z czterech belek prostych, które posiadają
dwanaście stopni swobody. Utwierdzenie odbiera trzy stopnie swobody, trzy przeguby rzeczywiste odbierają
razem sześć stopni swobody. Pozostają jeszcze trzy stopnie swobody, które muszą być odebrane przez trzy
podpory przegubowe. Muszą to być podpory przegubowo-przesuwne. Ostateczną postać belki fikcyjnej dla
belki numer 4 przedstawia rysunek Z12/4.14.
A B C D E F G H
I
II III IV
Rys. Z12/4.14. Ostateczna postać belki fikcyjnej dla belki numer 4
Belka numer IV jest podparta do podłoża za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się
w jednym punkcie. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i stanowi podłoże dla belki numer III.
Belka numer III jest podparta do podłoża za pomocą przegubu rzeczywistego G i pręta podporowego
F. Przegub nie znajduje się na kierunku pręta podporowego. Belka numer III jest więc geometrycznie
niezmienna i stanowi podłoże dla belki numer II.
Belki numer I oraz II stanowią układ trójprzegubowy zbudowany z dwóch przegubów rzeczywistych
D, E oraz przegubu niewłaściwego w nieskończoności powstałego z przecięcia się kierunków prętów
podporowych B oraz C. Przeguby te nie znajdują się na jednej prostej więc belki numer I i II są
geometrycznie niezmienne.
Ponieważ wszystkie cztery belki są geometrycznie niezmienne możemy stwierdzić, że cała belka
złożona jest geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Dr inż. Janusz Dębiński