WM Z10/2. MIMOÅšRODOWE DZIAA
ANIE SIA
Y NORMALNEJ  ZADANIE 2 1
Z10/2. MIMOÅšRODOWE DZIAA
ANIE SIA
Y NORMALNEJ  ZADANIE 2
Z10/2.1. Zadanie 1
Wyznaczyć rdzeń przekroju pręta przedstawionego na rysunku Z10/2.1. Wszystkie wymiary przekroju
podane sÄ… w centymetrach.
[cm]
8,0 8,0
Rys. Z10/2.1. Przekrój pręta
Z10/2.2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
Przekrój przedstawiony na rysunku Z10/2.1 najwygodniej jest podzielić na dwa trójkąty równora-
mienne. Rysunek Z10/2.2 przedstawia położenie środka ciężkości trójkąta równoramiennego.
Y=Y0=Ygl
Z=Z0=Zgl
b b
2 2
b
Rys. Z10/2.2. Trójkąt równoramienny
Jak widać na rysunku Z10/2.2 oś Z układu osi środkowych jest osią symetrii, czyli moment
dewiacyjny w tym układzie wynosi zero. Zerowy moment dewiacyjny jest także, jak wiadomo, w układzie
Dr inż. Janusz Dębiński
12,0
24,0
Å"h
h
h
2
3
3
WM Z10/2. MIMOÅšRODOWE DZIAA
ANIE SIA
Y NORMALNEJ  ZADANIE 2 2
osi głównych. Ostatecznie układ osi YZ jest układem osi głównych w trójkącie równoramiennym. Główne
momenty bezwładności wynoszą
bÅ"h3 ,
(Z10/2.1)
J =J =J =
Y Y0 Ygl
36
hÅ"b3 .
(Z10/2.2)
J =J =J =
Z Z0 Zgl
48
Y01
sc1
Z01
YP
sc2
Y02
Z02
[cm]
Z=ZP=Z0=Zgl
8,0 8,0
16,0
Rys. Z10/2.3. Początkowy układ współrzędnych Y Z
P P
Przekrój pręta przedstawiony na rysunku Z10/2.1 podzielimy więc na dwa trójkąty równoramienne.
Przedstawia to rysunek Z10/2.3. W przekroju pręta obieramy początkowy układ współrzędnych YPZP. Oś ZP
będzie się pokrywała z osią symetrii przekroju pręta. Będziemy wtedy musieli wyznaczyć tylko jedną
współrzędną zC środka ciężkości. Współrzędne z środków ciężkości figur składowych wynoszą
zP1=-1Å"12,0=-4,0 cm , (Z10/2.3)
3
1
zP2= Å"24,0=8,0cm . (Z10/2.4)
3
Zgodnie ze wzorem (6.14) współrzędna zC środka ciężkości przekroju pręta przedstawionego na rysunku
Z10/2.1 wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
12,0
8,0
4,0
24,0
WM Z10/2. MIMOÅšRODOWE DZIAA
ANIE SIA
Y NORMALNEJ  ZADANIE 2 3
1
Å"16,0Å"12,0Å"śą-4,0źąƒÄ…1Å"16,0Å"24,0Å"8,0
2 2
zC= =4,0 cm . (Z10/2.5)
1 1
Å"16,0Å"12,0ƒÄ… Å"16,0Å"24,0
2 2
Y01
sc1
Z01
Y=Y0=Ygl
sc
sc2
Y02
Z02
[cm]
Z=Z0=Zgl
8,0 8,0
16,0
Rys. Z10/2.4. Położenie środka ciężkości przekroju pręta
Położenie środka ciężkości przekroju pręta przedstawia rysunek Z10/2.4. W środku ciężkości ma
początek układ osi głównych bezwładności przekroju pręta Y Z . Na rysunku tym zaznaczone są także
gl gl
współrzędne środków ciężkości figur składowych w układzie osi głównych całego przekroju. Zgodnie z tym
rysunkiem wynoszÄ… one
z01=-4,0-4,0=-8,0cm
, (Z10/2.6)
z02=8,0-4,0=4,0cm
. (Z10/2.7)
współrzędne y01 oraz y02 wynoszą oczywiście zero. Znając współrzędne środków ciężkości przekroju pręta
w układzie osi głównych możemy wyznaczyć wartości głównych momentów bezwładności tego przekroju.
Zgodnie ze wzorem (6.31) główny moment bezwładności względem osi Y=Ygl wynosi
16,0Å"12,03 1
J =J =J = ƒÄ…śą-8,0źą2Å" Å"16,0Å"12,0
Y Y0 Ygl
36 2
. (Z10/2.8)
3
ƒÄ…16,0Å"24,0 ƒÄ…4,02Å"1Å"16,0Å"24,0=16130 cm4
36 2
Dr inż. Janusz Dębiński
12,0
4,0
4,0
8,0
24,0
WM Z10/2. MIMOÅšRODOWE DZIAA
ANIE SIA
Y NORMALNEJ  ZADANIE 2 4
Zgodnie ze wzorem (6.32) główny moment bezwładności względem osi Z=Z wynosi
gl
12,0Å"16,03 1 24,0Å"16,03 1
J =J =J = ƒÄ…0,02Å" Å"16,0Å"12,0ƒÄ… ƒÄ…0,02Å" Å"16,0Å"24,0
Z Z0 Zgl
. (Z10/2.9)
48 2 48 2
=3072cm4
Pole powierzchni przekroju pręta wynosi
1
A=1Å"16,0Å"12,0ƒÄ… Å"16,0Å"24,0=288,0 cm2 . (Z10/2.10)
2 2
Zgodnie ze wzorami (10.22) i (10.23) promienie bezwładności przekroju pręta względem osi głównych
wynoszÄ…
16130
, (Z10/2.11)
iY= =7,484 cm
288,0
ćą
3072
. (Z10/2.12)
iZ = =3,266 cm
288,0
ćą
Ich kwadraty wynoszÄ… ostatecznie
i2=7,4842=56,01 cm2 , (Z10/2.13)
Y
i2 =3,2662=10,67 cm2 . (Z10/2.14)
Z
Z10/2.3. Wyznaczenie rdzenia przekroju pręta
Aby wyznaczyć położenie rdzenia przekroju pręta będziemy przykładali siłę normalną w wierz-
chołkach konturu wypukłego opisanego na przekroju pręta. Ponieważ nasz przekrój jest już konturem
wypukłym więc siły normalne będziemy przykładali w wierzchołkach przekroju pręta. Będą to punkty 1, 2,
3 i 4 przedstawione na rysunku Z10/2.5.
Jako pierwszą przykładamy siłę normalną w punkcie 1, który zgodnie z rysunkiem Z8/4.5 ma
współrzędne
1
yśąNźą=0,0 cm
. (Z10/2.15)
{
zśą1 źą=-16,0 cm
N
Zgodnie ze wzorami (10.20) i (10.21) współrzędne odcinkowe osi obojętnej odpowiadające sile nor-
malnej przyłożonej w punkcie 1 wynoszą
yśą1źą=-10,67 =-" , (Z10/2.16)
0
0,0
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z10/2. MIMOÅšRODOWE DZIAA
ANIE SIA
Y NORMALNEJ  ZADANIE 2 5
1
8,0 8,0
2 4
Y=Y0=Ygl
sc
[cm]
3
Z=Z0=Zgl
Rys. Z10/2.5. Punkty przyłożenia sił normalnych
1
8,0 8,0
Y=Y0=Ygl
sc
[cm]
Rys. Z10/2.6. Położenie osi obojętnej odpowiadającej sile normalnej w punkcie 1
56,01
zśą1 źą=- =3,5 cm . (Z8/4.17)
0
-16,0
Położenie osi obojętnej odpowiadającej sile normalnej przyłożonej w punkcie 1 przedstawia rysunek
Z10/2.6. Jak widać jest ona pozioma.
Dr inż. Janusz Dębiński
12,0
16,0
4,0
20,0
24,0
12,0
16,0
3,5
24,0
0
gl
20,0
Z=Z =Z
WM Z10/2. MIMOÅšRODOWE DZIAA
ANIE SIA
Y NORMALNEJ  ZADANIE 2 6
Jako drugą przykładamy siłę normalną w punkcie 2, który zgodnie z rysunkiem Z10/2.5 ma współ-
rzędne
2
yśąNźą=8,0 cm
. (Z10/2.18)
{
zśą2 źą=-4,0cm
N
Zgodnie ze wzorami (10.20) i (10.21) współrzędne odcinkowe osi obojętnej odpowiadające sile normalnej
przyłożonej w punkcie 2 wynoszą
10,67
yśą 2źą=- =-1,334cm , (Z10/2.19)
0
8,0
56,01
zśą2 źą=- =14,0cm . (Z10/2.20)
0
-4,0
Położenie osi obojętnej odpowiadającej sile normalnej przyłożonej w punkcie 2 przedstawia rysunek
Z10/2.7.
8,0 8,0
1,334
2
Y=Y0=Ygl
sc
[cm]
Z=Z0=Zgl
Rys. Z10/2.7. Położenie osi obojętnej odpowiadającej sile normalnej w punkcie 2
Jako trzecią przykładamy siłę normalną w punkcie 4. Ponieważ jednak jest on symetrycznie usytuo-
wany względem osi Z=Zgl do punktu 2 to oś obojętna odpowiadająca jemu będzie symetryczna względem
osi układu współrzędnych Z=Zgl do osi obojętnej 2-2. Przedstawia to rysunek Z10/2.8.
Jako ostatnią przykładamy siłę normalną w punkcie 3, który zgodnie z rysunkiem Z10/2.5 ma współ-
rzędne
Dr inż. Janusz Dębiński
12,0
16,0
14,0
24,0
20,0
WM Z10/2. MIMOÅšRODOWE DZIAA
ANIE SIA
Y NORMALNEJ  ZADANIE 2 7
8,0 8,0
1,334
4
Y=Y0=Ygl
sc
[cm]
Z=Z0=Zgl
Rys. Z10/2.8. Położenie osi obojętnej odpowiadającej sile normalnej w punkcie 4
3
yśąNźą=0,0 cm
. (Z10/2.21)
{
zśą3 źą=20,0 cm
N
Zgodnie ze wzorami (10.20) i (10.21) współrzędne odcinkowe osi obojętnej odpowiadające sile normalnej
przyłożonej w punkcie 3 wynoszą
10,67
yśą 3źą=- =-" , (Z10/2.22)
0
0,0
56,01
zśą3 źą=- =-2,80cm . (Z10/2.23)
0
20,0
Położenie osi obojętnej odpowiadającej sile normalnej przyłożonej w punkcie 3 przedstawia rysunek
Z10/2.9. Jak widać jest ona pozioma.
Rysunek Z10/2.10 a) przedstawia wszystkie osie obojętne odpowiadające siłom normalnym przyłożo-
nym w wierzchołkach konturu wypukłego. Wszystkie te osie przechodzą przez te ćwiartki układu osi
głównych Y Z , w których nie znajduje się siła normalna. Poruszając się po osi obojętnej 1-1 dochodzimy
gl gl
do punktu przecięcia z osią obojętną 2-2. Dalej poruszamy się już po osi obojętnej 2-2 aż do punktu
przecięcia z osią obojętną 3-3. Poruszamy się teraz po osi obojętnej 3-3 aż do punktu przecięcia z osią
obojętną 4-4 i kontynuujemy ruch po osi obojętnej 4-4. Poruszamy się po osi obojętnej 4-4 aż do przecięcia
się z osią obojętną 1-1. Droga po jakiej się poruszaliśmy zakreśliła nam kontur rdzenia przekroju, który jest
przedstawiony na rysunku Z10/2.10 b). Jak widać na tym rysunku oś Z=Z jest osią symetrii zarówno
gl
przekroju pręta jak i rdzenia przekroju pręta. Ponadto do rdzenia przekroju pręta należy także środek
ciężkości przekroju pręta.
Dr inż. Janusz Dębiński
12,0
16,0
14,0
24,0
20,0
WM Z10/2. MIMOÅšRODOWE DZIAA
ANIE SIA
Y NORMALNEJ  ZADANIE 2 8
8,0 8,0
Y=Y0=Ygl
sc
[cm]
3
Z=Z0=Zgl
Rys. Z10/2.9. Położenie osi obojętnej odpowiadającej sile normalnej w punkcie 3
a) b)
2
4
3 3
sc sc
Y=Y0=Ygl
Y=Y0=Ygl
1 1
2 4
[cm]
Z=Z0=Zgl
Rys. Z10/2.10. Rdzeń przekroju pręta
Dr inż. Janusz Dębiński
12,0
16,0
2,80
24,0
20,0
0
gl
Z=Z =Z