WM Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 3 1
Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE
3
Z6/3.1 Zadanie 3
Wyznaczyć główne momenty bezwładności przekroju na rysunku Z6/3.1. Wszystkie wymiary na tym
rysunku są podane w centymetrach. Ćwiartka koła jest figurą wyciętą z przekroju i stanowi  dziurę .
4,0 5,0 5,0 6,0
[cm]
20,0
Rys. Z6/3.1. Przekrój złożony
Z6/3.2 Środek ciężkości przekroju
W celu wyznaczenia położenia środka ciężkości obieramy początkowy układ współrzędnych YPZP tak
aby cały przekrój znalazł się w pierwszej ćwiartce układu. Początkowy układ współrzędnych przedstawia
rysunek Z6/3.2. Przekrój został podzielony na: prostokąt o wymiarach 14,0 cm na 12,0 cm, trójkąt
prostokątny o wymiarach 6,0 cm na 12,0 cm oraz ćwiartkę koła o promieniu 5,0 cm. Podział ten przedstawia
także rysunek Z6/3.2. Współrzędne środka ciężkości figury numer 1 (prostokąta) wynoszą
14,0
y =6,0ƒÄ… =13,0cm
P1
2
.
(Z6/3.1)
12,0
zP1= =6,0 cm
2
Współrzędne środka ciężkości figury numer 2 (trójkąta prostokątnego) wynoszą
2
yP2= Å"6,0=4,0 cm
3
.
(Z6/3.2)
1
zP2= Å"12,0=4,0 cm
3
Współrzędne środka ciężkości figury numer 3 (ćwiartki koła) wynoszą
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
5,0
12,0
4,0
WM Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 3 2
4,0
YP
2
3
sc2
sc3
sc1
13,88
13,0
1
ZP
4,0 5,0 5,0 6,0
[cm]
14,0 6,0
20,0
Rys. Z6/3.2. Podział przekroju pręta na figury składowe
4Å"5,0
yP3=6,0ƒÄ…5,0ƒÄ…5,0- =13,88cm
3Å"Ćą
.
(Z6/3.3)
4Å"5,0
zP3=3,0ƒÄ…5,0- =5,878 cm
3Å"Ćą
Położenie środków ciężkości poszczególnych figur składowych w początkowym układzie współrzędnych
przedstawia rysunek Z6/3.2. Zgodnie ze wzorem (6.13) współrzędna yC środka ciężkości przekroju wynosi
1Å"6,0Å"12,0Å"4,0- ĆąÅ"5,02Å"13,88
14,0Å"12,0Å"13,0ƒÄ…
2 4
yC= =11,15cm . (Z6/3.4)
1 ĆąÅ"5,02
14,0Å"12,0ƒÄ… Å"6,0Å"12,0-
2 4
Zgodnie ze wzorem (6.14) współrzędna zC środka ciężkości przekroju wynosi
1Å"6,0Å"12,0Å"4,0- ĆąÅ"5,02Å"5,878
14,0Å"12,0Å"6,0ƒÄ…
2 4
zC= =5,622 cm . (Z6/3.5)
1 ĆąÅ"5,02
14,0Å"12,0ƒÄ… Å"6,0Å"12,0-
2 4
Położenie środka ciężkości całego przekroju w początkowym układzie współrzędnych przedstawia rysunek
Z6/3.3.
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
4,0
6,0
5,878
5,0
12,0
4,0
WM Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 3 3
YP
2
3
sc2
Y0
sc
sc3 sc1
11,15
1
ZP
Z0
4,0 5,0 5,0 6,0
[cm]
14,0 6,0
20,0
Rys. Z6/3.3. Położenie środka ciężkości przekroju pręta
Z6/3.3 Momenty bezwładności w układzie osi środkowych
W celu wyznaczenia współrzędnych środków ciężkości w układzie osi środkowych wykorzystamy
wzory transformacyjne
yoi= yPi- yC
, (Z6/3.6)
zoi=zPi-zC
. (Z6/3.7)
Współrzędne środka ciężkości figury numer 1 (prostokąta) w układzie osi środkowych wynoszą
y01=13,0-11,15=1,85 cm
.
(Z6/3.8)
z01=6,0-5,622=0,378 cm
Współrzędne środka ciężkości figury numer 2 (trójkąta prostokątnego) w układzie osi środkowych wynoszą
y02=4,0-11,15=-7,15 cm
.
(Z6/3.9)
z02=4,0-5,622=-1,622cm
Współrzędne środka ciężkości figury numer 3 (ćwiartki koła) w układzie osi środkowych wynoszą
y03=13,88-11,15=2,73 cm
.
(Z6/3.10)
z03=5,878-5,622=0,256cm
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
5,622
5,0
12,0
4,0
WM Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 3 4
Położenie środków ciężkości poszczególnych figur składowych w układzie osi środkowych przedstawia
rysunek Z6/3.4. Rysunek Z6/3.5 przedstawia osie środkowe wszystkich figur składowych przekroju.
7,15
3
sc2
Y0
sc
sc3 sc1
2,73
2
1,85
1
Z0
4,0 5,0 5,0 6,0
[cm]
14,0 6,0
20,0
Rys. Z6/3.4. Położenie środków ciężkości figur składowych w układzie osi środkowych
7,15
2
1,85
Y02
3
sc2
Y0
sc3 sc
Z02
Y03 Y01 sc1
Z03 Z01
2,73
1
Z0
4,0 5,0 5,0 6,0
[cm]
14,0 6,0
20,0
Rys. Z6/3.5. Osie środkowe poszczególnych figur składowych
Mając wyznaczone położenie środków ciężkości poszczególnych figur w układzie osi środkowych
możemy przystąpić do wyznaczenia momentów bezwładności w układzie osi środkowych Y0Z0. Zgodnie ze
wzorem (6.31) moment bezwładności względem osi Y0 wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
1,622
0,378
0,256
5,0
12,0
4,0
3,0
1,622
0,378
0,256
5,0
12,0
4,0
WM Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 3 5
14,0Å"12,03ƒÄ…śą0,378
JY0= źą2Å"12,0Å"14,0
12
6,0Å"12,03 ƒÄ…śą-1,622źą2Å"1Å"12,0Å"6,0
ƒÄ…
. (Z6/3.11)
36 2
2
- 0,05488Å"5,04ƒÄ…śą0,256źą2Å"ĆąÅ"5,0 =2387 cm4
śą źą
4
Zgodnie ze wzorem (6.32) moment bezwładności względem osi Z0 wynosi
12,0Å"14,03ƒÄ…śą1,85
J = źą2Å"12,0Å"14,0
Z0
12
12,0Å"6,03 ƒÄ…śą-7,15źą2Å"1Å"12,0Å"6,0
ƒÄ…
. (Z6/3.12)
36 2
2
- 0,05488Å"5,04ƒÄ…śą2,73źą2Å"ĆąÅ"5,0 =5051 cm4
śą źą
4
Zgodnie ze wzorem (6.33) dewiacyjny moment bezwładności w układzie Y0Z0 wynosi
JY0Z0=0,0ƒÄ… 0,378 Å"1,85 Å"12,0Å"14,0
śą źą śą źą
6,02Å"12,02 1
ƒÄ… ƒÄ…śą-1,622źąÅ"śą-7,15źąÅ" Å"12,0Å"6,0
. (Z6/3.13)
72 2
ĆąÅ"5,02
- -0,01647Å"5,04ƒÄ…śą0,256źąÅ"śą2,73źąÅ" =603,6 cm4
śą źą
4
Z6/3.4 Główne momenty bezwładności
Znając wartości momentów bezwładności w układzie osi środkowych możemy wyznaczyć momenty
główne i kierunek główny. Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych zgodnie z wzorem (6.43)
będzie miał wartość
-2Å" 603,6
śą źą
.
tgśą2Å"·Ä…glźą= =0,4532 (Z6/3.14)
2387-5051
Kąt nachylenia osi głównych wynosi
. (Z6/3.15)
·Ä…gl=12,19o
Główny moment bezwładności Jygl zgodnie z (6.44) wynosi
2387ƒÄ…5051 2387-5051
JYgl= ƒÄ… Å"cosśą2Å"12,19oźą-śą603,6źąÅ"sinśą2Å"12,19oźą
2 2 . (Z6/3.16)
JYgl=2257 cm4
Dr inż. Janusz Dębiński
WM Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 3 6
Y0
sc
12,19o
Z0
Rys. Z6/3.6. Położenie głównych osi bezwładności
Główny moment bezwładności J zgodnie z (6.45) wynosi
Zgl
2387ƒÄ…5051 2387-5051
JYgl= - Å"cosśą2Å"12,19oźąƒÄ…śą603,6źąÅ"sinśą2Å"12,19oźą
2 2 . (Z6/3.17)
JYgl=5181cm4
Uporządkowane momenty główne wynoszą
J =5181 cm4 .
1
(Z6/3.18)
J =2257 cm4
2
W celu sprawdzenia obliczeń zastosujemy wzór (6.48). Główne momenty bezwładności wynoszą
2
2387ƒÄ…5051Ä… 2387-5051
(Z6/3.19)
J = ƒÄ… 603,6 =
śą źą2 5181 cm4 .
1/ 2
śą źą
{
2 2
2257 cm4
ćą
Pierwszy niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi
. (Z6/3.20)
I1=5051ƒÄ…2387=7438 cm4
Pierwszy niezmiennik w układzie osi głównych wynosi
. (Z6/3.21)
I1=5181ƒÄ…2257=7438 cm4
Jak widać niezmienniki (Z6/3.20) i (Z6/3.21) są równe. Drugi niezmiennik w układzie osi środkowych
wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
2
=
Y
l
g
1
=
Z
l
g
WM Z6/3. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU  ZADANIE 3 7
(Z6/3.22)
I =5051Å"2387-śą-603,6źą2=11690000 cm8 .
2
Drugi niezmiennik w układzie osi głównych wynosi
(Z6/3.23)
I =5181Å"2257=11690000 cm8 .
2
Jak widać niezmienniki (Z6/3.22) i (Z6/3.23) są równe. Położenie głównych osi bezwładności przedstawia
rysunek Z6/3.6.
Dr inż. Janusz Dębiński