W5b: Dachy
1. Wstęp
Projektowanie połaci dachowych można rozważać w kategorii rzutów Monge a lub rzutów
cechowanych. W ostatnim przypadku, czyli rzutów cechowanych, dążymy do skonstruowania
mapy warstwicowej dachu takiej, która będzie pokazywać nachylenie poszczególnych połaci
dachowych względem poziomu. W dalszej części wykładu pokażemy jak skonstruować kłady
poszczególnych połaci dachowych na rzutnię poziomą, a więc ich wielkości rzeczywiste oraz jak
skonstruować kąt zaciosu belki narożnej lub koszowej.
Wypośredniczanie połaci dachowych polega na znalezieniu krawędzi między sąsiednimi połaciami
dachowymi. Zajmiemy się tylko takimi dachami, dla których przyjęto następujące założenia:
1. Linia okapów jest zamkniętym wielokątem takim, którego poszczególne boki są położone
na tej samej wysokości.
2. Woda może spływać na każdy fragment okapu (nie ma sąsiadów, na których nie można
sprowadzać wody).
3. Wszystkie połacie dachowe mają to same nachylenie względem poziomu, czyli tworzą ten
sam kąt z płaszczyzną poziomą.
Rozwiążemy teraz zadanie 1.
Zadanie 1:
Niech będą dane dwie płaszczyzny a� i �, które mają ten sam kąt nachylenia względem płaszczyzny
poziomej (Rys.11.1a). Należy skonstruować krawędz
tych płaszczyzn.
Rys.11.1a. Dwie płaszczyzny o takim samym nachyleniu względem poziomu
Rozwiązanie
Etap 1: Wyznaczamy punkty wspólne jednoimiennych warstwic: 3 k= 3 a� �� 3 �; 2 k= 2 a� �� 2 �,
1 k= 1 a� �� 1 �, etc&
Etap 2: Punkty 3 k, 2 k, 1 k są współliniowe i leżą na krawędzi k między płaszczyznami a� i �
(Rys.11.1b).
Rys.11.1b. Konstrukcja punktów wspólnych jednoimiennych wrstwic
Oprac: dr inż. Renata Górska
1
Z faktu, iż warstwice obu płaszczyzn są równomiernie rozmieszczone wynika, iż krawędz
między tymi
płaszczyznami jest dwusieczną kąta zawartego między jednoimiennymi warstwicami (np. 3 a� oraz
3 �) (Rys.11.1c)
Rys.11.1c. Krawędz
jest dwusieczną między jednoimiennymi warstwicami
2. Dachy proste
2.1. Dach dwuspadowy nad prostokątnym budynkiem
Najbardziej popularnym typem dachu jest tzw.  dach dwuspadowy , dla którego woda może
spływać na dwa równoległe okapy. Rzut z góry takiego dachu pokazano na Rys.11.2. Wielokąt
okapu jest tu prostokątem, którego dwa równolegle boki oznaczono odpowiednio cyframi  1 i  2 .
Na rysunku oznaczono strzałkami dopuszczalny kierunek spływu wody prostopadły do okapów  1
i  2 .  Dwusieczna między połaciami dachowymi o równoległych okapach jest linią równoległą do
nich i znajduje się w połowie odległości między okapami  1 i  2 . Krawędz
ta nazywa się kalenicą
(Rys.11.2).
Rys.11.2. Dach dwuspadowy
2.2. Dach czterospadowy
Załóżmy teraz, iż dla podobnej linii okapu, będącej prostokątem, woda może spływać na wszystkie
cztery okapy. Oznaczymy kolejno okapy cyframi  1 ,  2 ,  3 i  4 . Narysujmy strzałki prostopadle
do okapów, zakładając, iż woda może spływać na każdy z nich. Wypośredniczymy teraz połacie
dachowe. W załączonej Tabeli 1 pokazano  schemat tworzenia kolejnych połaci. Po wytyczeniu
krawędzi między sąsiednimi połaciami 1-3 oraz 2-3 jako dwusiecznych pomiędzy sąsiednimi
okapami zauważamy, że obie dwusieczne spotykają się zamykając połac o okapie  3 (wspólna
liczba  3 . Dalej konstruujemy dwusieczną między równoległymi okapami 1 i 2. Dwusieczna  1-2 ,
tak jak w przypadku dachu dwuspadowego , leży w połowie odległości między okapami  1 i  2 i
spotyka dwusieczną 1-4. Teraz pozostaje do wyznaczenia dwusieczna  2-4 .
Tabela 1.
Dwusieczna Dwusieczna Połać dachowa o okapie nr&
1-3 2-3 3
1-2 2-4 2
1-4 2-4 4
Oprac: dr inż. Renata Górska
2
Rys.10.3. dach czterospadowy
3. Kształtowanie połaci dachowych dla dowolnego wielokąta okapu
Niech będzie zadany wielokąt okapu jak na Rys.11.4. Należy wypośredniczyć połaci dachowe
przy założeniu, iż wszystkie te płaszczyzny mają jednakowe nachylenie względem poziomu oraz
okapy znajdują się na jednakowej wysokości.
Rys.11.4. Etap 1: Oznaczamy strzałkami kierunki spływu wody oraz numerujemy kolejno okapy
Rozwiązanie
Etap 1: Ponumerujmy kolejne okapy numerami 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zaznaczymy prostopadle do
każdego z okapów kierunki spływu wody. Są to linie spadu połaci dachowych.
Konstruujemy dwusieczne między sąsiednimi połaciami zaczynając od lewej strony. Wyznaczmy
dwusieczne 1-2 oraz 2-3 i ich punkt przecięcia. Z uwagi na fakt, iż w schemacie powtarza się
liczba  2 , to ją skreślamy i w dalszej części konstruujemy dwusieczną między równoległymi
okapami  1 i  3 . Ta dwusieczna będzie leżała w połowie między okapami  1 i  3 .
Rys.11.4. Etap 2: Konstrukcja dwusiecznych: 1-2, 2-3, 1-3 
Otrzymujemy schemat przedstawiony w Tabeli 2.
Tabela 2:
Dwusieczna Dwusieczna Rys.Nr Połać dachowa o okapie nr&
1-2 2-3 11.4 2
1-3 3-4 11.5 3
4-1 4-5 11.6 4
1-5 5-6 11.7 1
1-6 6
Oprac: dr inż. Renata Górska
3
Rys.11.5. Etap 3: Konstrukcja kolejnych połaci
Rys.11.6. Etap 4: Constructing a Roof Skeleton
Rys.11.7. Etap 5: Konstrukcja rzutu pionowego dachu
Konstrukcja rzutu pionowego dachu przy założeniu, iż kąt nachylenia połaci dachowych względem
poziomu wynosi 45o (Rys.11.7. oraz 11.8).
Rozwiązanie
Etap 5: Połać dachowa o okapie  2 jest prostopadla do rzutni pionowej i stąd jej obrazem jest
linia prosta nachylona pod kątem 45o względem poziomu. Obrazem okapu  2 jest punkt. Można
zatem niejako  automatycznie narysować kreskę pod kątem 45o. Na pionowej odnoszącej z
punktu A oznaczmy obraz punktu A . Krawędz
1-3 jest poziomą kalenicą i wychodzi z punktu A .
Podobnie rysujemy obraz połaci o okapie  4 . (Rys.11.7).
Etap 6: Oznaczmy punkty wspólne krawędzi narożnych i koszowych kolejno literami  A, B, C, D, a
w rzutach A , B , C ,.. a następnie odnosimy te punkty na odpowiednie proste do rzutu pionowego.
Oprac: dr inż. Renata Górska
4
Rys.11.8. Etap 6: Konstrukcja rzutu pionowego dachu
Etap 7:
Aby  zakończyc konstrukcję rzutu pionowego dachu należy wykreślić krawędzie5-6, 6-1 do
odpowiednich punktow na poziomie okapu oraz zaznaczyc linia kreskową niewidoczną część
krawędzi C B (Rys.11.9).
Rys.11.9. Etap7: Konstrukcja rzutu pionowego dachu
Etap 8: Konstrukcja warstwic dachu
Na Rys.11.9 pokazano metodę konstruowania warstwic dachu. Równolegle do rzutni poziomej
prowadzimy płaszczyzny warstwowe, które są równomiernie rozmieszczone, co 1 jednostkę.
Wyznaczamy punkty wspólne krawędzi dachu z tymi płaszczyznami o rzutujemy te punkty na
odpowiednie krawędzie do rzutu poziomego. Warstwice dachu będą równoległe do odpowiednich
okapów i też równomiernie rozmieszczone.
Rys.11.9. Etap8: Konstrukcja warstwic dachu
Oprac: dr inż. Renata Górska
5
Literatura
1. H.S.M. Coxeter: Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, Inc., New York, London,
1961.
2. G. Bertoline, E. Wiebe, C. M�ller,& J. Mohler: Technical Graphics Communication,
McGraw-Hill, 1997
3. C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdastellung, Kohlhammer,
Stuttgart,1999.
4. http://www.pg.gda.pl/~mhelen/w1/rzutymongea.html
Oprac: dr inż. Renata Górska
6