Statystyka

zaawansowan

a. Wykład 3

Analiza wariancji.

Porównania planowane

Krótkie powtórzenie

• Przebadano 10 posiadaczy rybek, 5

posiadaczy wężów, 16 właścicieli
kotów oraz 20 właścicieli psów pod
względem przywiązania do
zwierzęcia. Jakiego testu post hoc
użyjemy do testowania różnic między
średnimi?

liberalne

konserwatywne

Polecany przy

równych grupach

Polecane przy

nierównych grupach

Przy nierównych grupach

i zaburzonej wariancji

Czynnik

Zmienna

zależna

Nie chodzi na

randki

Okazjonalnie

chodzi na

randki

Ma stałego

partnera

Oporność

skory

19

b

19,29

b

15,14

a

Chęć

spotkania

19,14

b

14,57

a

18,86

b

Postrzegana

atrakcyjno
ść

13,14

a

17

b

17

b

• Przebadano trzy grupy studentek, które oglądały

różne czasopisma zawierające zdjęcia
atrakcyjnych mężczyzn. Następnie mierzono
poziom pobudzenia psychofizjologicznego
(oporność skóry) jak również chęć spotkania się z
danym mężczyzną oraz jego atrakcyjność w opinii
studentek.

• Które średnie się różnią?

Porównania post hoc a porównania

planowane

• Porównania a posteriori są techniką

eksploracyjną

, gdy okaże się, że są

istotne różnice poszukujemy ich za

pomocą testów post hoc.

– O ich przeprowadzaniu badacz decyduje po

wstępnej analizie danych, która może mu

wskazać celowość takich porównań.

• Porównania a priori (zwane też

porównaniami planowanymi,

kontrastami),

planuje się

przed

przeprowadzeniem eksperymentu.

– Bezpośrednio związane z teorią, na której

opiera się eksperyment.

Kontrasty

• Umożliwiają testowanie hipotez

badawczych

• Za ich pomocą porównujemy ze sobą

średnie lub grupy średnich

• Możemy je wykonywać nawet wtedy

gdy F nieistotne

• Robimy to dzieląc wariancję

wyjaśnioną przez czynnik na
mniejsze porcje

• Prawie w każdym eksperymencie mamy grupę

kontrolną, dlatego

– prawie zawsze wykonywanie kontrastów zaczynamy

od porównania grupy kontrolnej z
eksperymentalnymi (chyba, że mamy inne hipotezy)

• Pozostałe porównania powinny być

ortogonalne (niezależne)

– jeśli tak nie jest, to, podobnie jak w przypadku

testów porównań wielokrotnych, pojawia się
niebezpieczeństwo, że przyjęty poziom istotności
jest faktycznie wyższy i rośnie ryzyko popełnienia
błędu I rodzaju

Jak porównujemy?

Całkowita wariancja naszych danych

Wariancja wyjaśniona

przez eksperyment

Wariancja międzygrupowa

Wariancja kontrolowana

Wariancja niewyjaśniona

przez eksperyment

Wariancja wewnątrzgrupowa

Wariancja błędu

Logika porównań planowanych

Wariancja wyjaśniona przez eksperyment

Trzy grupy: E1, E2 i K1

Wariancja wyjaśniona

przez E1, E2

Wariancja

wyjaśniona

przez K1

E1

E2

Porównani
e 1

Porównani
e 2

Dzielimy wariancję międzygrupową na mniejsze, niezależne
cząstki

Jak porównujemy?

• Sposób wykonywania kontrastów

podyktowany naszymi potrzebami

• Jeżeli dana porcja wariancji

„uczestniczy” w jednym porównaniu nie
może być już w następnym (niezależność
kontrastów)

• To tak jak z tortem – gdy odkroimy

kawałek to już go z powrotem nie
przykleimy

Logika kontrastów - krojenie tortu

• Jeżeli będziemy w ten sposób postępować

(czyli wykonywać porównania niezależne),
to liczba możliwych (niezależnych,
ortogonalnych) kontrastów wyniesie:

k-1

k oznacza liczbę grup

• Każdy kontrast porównuje zawsze dwie

porcje wariancji – w praktyce dwie średnie
(jeśli więcej znowu nie wiemy co się różni od
czego)

Definiowanie kontrastów poprzez

wagi

• Jak przełożyć „porcjowanie”

wariancji na język zrozumiały dla
SPSS (i dla nas )

• Musimy skontrastować te porcje

wariancji, które porównujemy

• Wobec tego nadajemy każdej grupie

odpowiednie wagi

• Suma wag w każdym porównaniu

musi wynosić 0

Wariancja wyjaśniona przez eksperyment

Trzy grupy: E1, E2 i K1

Wariancja wyjaśniona

przez E1, E2

+

Wariancja

wyjaśniona przez K1

-

Wariancja

wyjaśniona

przez E1

Wariancja

wyjaśniona

przez E2

Porównani
e 1

Porównani
e 2

E1: +1 E2:
+1

K1: -2

(+1)+ (+1)+(-2)
= 0

E1: +1
E2: -1

K1: 0

+

-

(+1)+ (-1)+(0) =
0

Definiowanie kontrastów poprzez wagi – cd.

• W przykładowym badaniu mamy 5 grup.

Porównanie grupy drugiej z czwartą można by

było zapisać symbolicznie w postaci

weryfikowania hipotezy o równości średnich w

drugiej i czwartej grupie:

.

• Możemy zapisać to samo jako:

.

0

4

1









4

1







• Formułujemy hipotezę w takiej postaci, aby

uzyskać współczynniki stojące przy wszystkich
uwzględnionych w analizie wariancji średnich
(np. przy pięciu średnich grupowych).

• Wszystkie średnie stoją po jednej stronie

równości, a po drugiej jest 0.

• Musimy się zastanowić, przez jakie

współczynniki należy przemnożyć kolejne
średnie grupowe.

.

0

0

1

0

0

1

5

4

3

2

1































• Wobec tego kontrast, czyli

współczynniki stojące przy kolejnych
średnich grupowych, w tym wypadku
ma postać (1, 0, 0, -1, 0).

• A jak zdefiniować kontrast, gdy chcemy

porównać grupę drugą z trzecią i piątą?

0, 2, -1, 0, -1

0, 4, -2, 0, -2

0, -1, 0,5, 0, 0,5

0, -10, 5, 0, 5

Przykład

• W badaniu nad skutecznością pewnego środka

podnoszącego sprawność umysłową

przeprowadzono badanie, w którym porównywano

osoby przyjmujące niskie i wysokie dawki

specyfiku z grupą kontrolną oraz placebo

• Jakie wagi dla pierwszego kontrastu

porównującego obie grupy eksperymentalne z

dwiema kontrolnymi?

Grupa E1 Grupa E2

Wysokie dawki Niskie dawki

Grupa K1 Grupa K1

Nic Placebo

vs
.

+1 +1 -1 -1
kontrast 1

Jakie dalsze porównania możliwe?

Grupa E1 Grupa E2

Wysokie dawki Niskie dawki

Grupa K1 Grupa K1

Nic Placebo

vs
.

+1 -1 0
0 kontrast 2

Grupa E2

Niskie dawki

Grupa E1

Wysokie dawki

vs
.

Grupa K1

Placebo

Grupa K1

Nic

vs
.

0 0 +1
-1 kontrast 3

• Jak sprawdzić czy kolejne wykonywane

porównania są od siebie wzajemnie
niezależne, czyli ortogonalne

• Przemnażamy przez siebie

współczynniki kontrastu odpowiednio
dla każdej grupy

• Suma iloczynów powinna wynosić zero

– jeśli nie, kontrasty nie są
ortogonalne

Czy poniższe kontrasty są

niezależne?

• Porównujemy średnie pochodzące z

czterech grup

• Ile możliwych porównań niezależnych?

3

• Jeżeli pierwszy kontrast:
1, 1, 1, -3
• To pozostałe:
1, 1, -2, 0
1, -1, 0, 0

• Porównanie1: 1, 1, 1, -1,5, -1,5
• Porównanie2: -1, 1, 0, 0, 0
• Iloczyn: -1 1 0 0 0
• Suma iloczynów: 0

• Porównanie1: 2, 0, -1, -1
• Porównanie2: 1, -1, 0, 0
• Iloczyn: 2 0 0 0
• Suma iloczynów: 2

Niezależne?

Niezależne?

Podsumowanie

• Zawsze wybieramy

sensowne

porównania

• Pamiętamy, że zawsze porównujemy tylko

dwie

„porcje” w jednym kontraście (gdy w „porcji” więcej

niż jedna grupa – porównujemy średnią z tych grup)

• Porównywane grupy mają

przeciwny

znak

współczynnika

• Wartości porównywanych współczynników muszą

być takie same

• Grupy, które są wyłączone z porównań mają zero
• Suma współczynników w danym kontraście zawsze

równa zero

• Jeżeli wykonujemy więcej niż jeden kontrast –

porównania powinny być

niezależne

Mnożenie/ dodawanie

• Analiza kontrastów pozwala

przemnażać średnie przez pewne
współczynniki, ale nie ma możliwości
dodawania niczego do średnich.

• Możemy sprawdzać, czy dochód

mężczyzn jest 2 razy większy niż
dochód kobiet, ale nie sprawdzamy
(przy użyciu kontrastów), czy
mężczyźni zarabiają o 500 złotych
więcej niż kobiety.

Jak definiować w SPSS

• Kontrasty w SPSS wykorzystują

statystykę t do testowania różnic pomiędzy

średnimi lub kombinacjami średnich.

• Gdzie je znaleźć:

Jak definiować w SPSS?

Współczynniki
kontrastu
wprowadzamy
kolejno klikając
DODAJ

Jak definiować w SPSS

• Bardzo ważna jest kolejność

wprowadzania współczynników

W badaniu nad informatykami
chcemy najpierw porównać
grupę kontrolną z
eksperymentalnymi, a potem
porównać średnie grup
eksperymentalnych

Musimy sprawdzić
jak zakodowane są
grupy

Interpretacja: Grupa kontrolna
różni się od średniej grup
eksperymentalnych, oraz grupy
eksperymentalne różnią się
między sobą – w jaki sposób
patrzymy na średnie

Średnia grupy kontrolnej
porównywana ze średnią
utworzoną ze średnich grup
eksperymentalnych

Średnia grupy eksperymentalnej
pierwszej porównywana ze średnią
grupy eksperymentalnej drugiej

Descriptives

ZACHOWAN

15 1,6000

,73679

,19024

1,1920

2,0080

1,00

3,00

15 1,6667

,72375

,18687

1,2659

2,0675

1,00

3,00

11 4,0909

,70065

,21125

3,6202

4,5616

3,00

5,00

41 2,2927

1,30851

,20435

1,8797

2,7057

1,00

5,00

1,00 informatycy
2,00 informatycy
po treningu
3,00 informatycy
po dyżurze
Total

N

Mean Std. Deviation Std. Error Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval for

Mean

Minimum Maximum

Kontrasty wielomianowe, czyli analiza

trendu

Trendy najbardziej poszukiwaną wartością -

trendsetterzy

Trendy w języku – „jazzy”
Trendy w przemyśle – samochody dla kobiet

mają okrągłe linie nawiązując do cech
„dziecięcości”

Trendy w statystyce

• Analiza trendu jest wykorzystywana

wtedy, gdy poszukujemy
specyficznego układu średnich.
Najczęściej stosujemy ją wtedy, gdy
czynnik jest na skali porządkowej,
lub gdy mamy teoretyczne
przesłanki by określić, że jakieś
średnie będą wyższe a inne niższe.

Analiza kontrastów – badanie trendów

Poznane do tej pory metody –
R-Pearsona czy test T-Studenta pozwalały

nam badać jedynie zależności

prostoliniowe

• Analiza kontrastów pozwala poszukiwać

innych kształtów zależności niż

prostoliniowe.

• Obliczeniowo jest identyczna jak zestaw

ortogonalnych kontrastów. Jeśli szukamy

trendu to ogólna analiza wariancji nie

musi być istotna.

Wielomian czwartego

stopnia

Wielomian trzeciego

stopnia

Wielomian drugiego

stopnia

Wielomian pierwszego

stopnia

Współczynniki kontrastu dla trendu liniowego,

kwadratowego i sześciennego

Porównujemy 2

średnie

• Liniowy –1 1

Porównujemy 3

średnie

• Liniowy –1 0 1
• Kwadratowy 1 -2 1

Porównujemy 4 średnie
• Liniowy –3 –1 1 3
• Kwadratowy 1 –1 –1 1
• Sześcienny –1 3 -3 1

Porównujemy 5 średnich
• Liniowy –1 –1 0 1 2
• Kwadratowy 2 –1 –2 –1

2

• Sześcienny –1 2 0 –2 1

Aby poszukiwać złożonych kształtów zależności
(krzywoliniowych) potrzebujemy

odpowiedniej ilości

porównywanych grup,

np. dla zależności kwadratowej

musimy mieć przynajmniej 3 średnie.

Wielomiany – jak w spss-ie?

Zależność wykształcenia i liczby dzieci przyjmuje
kształt prostoliniowy – osoby z wyższym
wykształceniem maja mniej dzieci niż te z
wykształceniem podstawowym i średnim.

Wydruk

Wniosek – średnie układają się w kształt

funkcji kwadratowej?

Jednoczynnikowa ANOVA

Liczba dzieci

157,450

4

39,362

14,405

,000

92,601

1

92,601

33,887

,000

124,883

1

124,883

45,701

,000

32,566

3

10,855

3,973

,008

18,177

1

18,177

6,652

,010

30,795

1

30,795

11,269

,001

1,772

2

,886

,324

,723

,271

1

,271

,099

,753

,055

1

,055

,020

,887

1,716

1

1,716

,628

,428

1,716

1

1,716

,628

,428

1,716

1

1,716

,628

,428

4063,405

1487

2,733

4220,855

1491

(Połączone)

Nieważone
Ważone
Odchylenie

Składnik liniowy

Nieważone
Ważone
Odchylenie

Składnik
kwadratowy

Nieważone
Ważone
Odchylenie

Składnik
sześcienny

Nieważone
Ważone

Składnik czwartego
stopnia

Między
grupami

Wewnątrz grup
Ogółem

Suma

kwadratów

df

Średni

kwadrat

F

Istotność

Interpretacja

• Wiemy już, że średnie układają się tworząc

wielomian drugiego stopnia, ale, żeby
zinterpretować go musimy obejrzeć wykres.
Wydruk nie pozwala nam bowiem stwierdzić,
który wariant układu mamy.

Poziom wykształcenia respondenta

Graduate

Bachelor

Junior college

High s chool

Mniej niż HS

Ś

re

d

n

ia

-

L

ic

zb

a

d

z

ie

ci

2,6

2,4

2,2

2,0

1,8

1,6

1,4

1,2

Humanistyczny charakter uczelni znajduje odbicie w

sympatii jej studentów do muzyki bluegrass

Zależność ta okazała się prostoliniowa F(1, 1330)=9,334;

p<0,01– patrzymy na wykres, by ją zinterpretować

Jednoczynnikowa ANOVA

Bluegrass

12,645

4

3,161

3,067

,016

9,817

1

9,817

9,526

,002

9,619

1

9,619

9,334

,002

3,026

3

1,009

,979

,402

,017

1

,017

,016

,899

1,050

1

1,050

1,019

,313

1,975

2

,988

,958

,384

,629

1

,629

,610

,435

1,054

1

1,054

1,023

,312

,921

1

,921

,894

,345

,921

1

,921

,894

,345

,921

1

,921

,894

,345

1370,641

1330

1,031

1383,285

1334

(Połączone)

Nieważone
Ważone
Odchylenie

Składnik liniowy

Nieważone
Ważone
Odchylenie

Składnik
kwadratowy

Nieważone
Ważone
Odchylenie

Składnik
sześcienny

Nieważone
Ważone

Składnik czwartego
stopnia

Między
grupami

Wewnątrz grup
Ogółem

Suma

kwadratów

df

Średni

kwadrat

F

Istotność

Wykres pokazuje, że nasza zależność jest prawie

prostoliniowa

szkoła wyższa

SWPS

UMK

UW

SGGW

SGH

Ś

re

d

n

ia

-

B

lu

e

g

ra

ss

2,9

2,8

2,7

2,6

2,5

2,4

Pytania sprawdzające

1. Jak brzmi hipoteza zerowa analizy wariancji
2. Jak brzmią założenia analizy wariancji
3. Dlaczego analiza wariancji jest lepsza niż wielokrotne

porównywanie testem T

4. Jak to jest, że wariancja jest używana do porównywania

średnich?

5. Gdyby policzyć skośność rozkładu t to rozkład ten byłby

dodatnioskośny, czy ujemnieskośny

6. Jaka wartość F na pewno będzie nieistotna??
7. Kiedy stosujemy porównania planowane?
8. Kiedy stosujemy testy post hoc
9. Kiedy stosujemy analizę trendu?
10. Jeśli mamy 6 średnich to ile ortogonalnych kontrastów

możemy policzyć?

Problemy z wnioskowaniem

•

Japończycy jedzą mało tłuszczów i atak serca zdarza
im się rzadziej niż Amerykanom i Brytyjczykom.

•

Z drugiej strony Francuzi jedzą dużo tłuszczów ale
atak serca zdarza im się rzadziej niż Amerykanom i
Brytyjczykom.

•

Japończycy piją mało czerwonego wina i atak serca
zdarza im się rzadziej niż Amerykanom i
Brytyjczykom.

•

Włosi piją ogromne ilości czerwonego wina ale i tak
atak serca zdarza im się rzadziej niż Amerykanom i
Brytyjczykom.

Wniosek: Jedz i pij co
chcesz!

Wniosek 1: To co zabija to mówienie po
angielsku!