Wyznaczenie ogniskowej i dystorsji teleskopu
Maciej Maliborski
wydział fizyki, astronomii i informatyki stosowanej
Uniwersytet Jagielloński
Streszczenie
Odległość na zdjęciu r gwiazdy od środka wyliczamy
następująco:
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowej teleskopu
2 2
na podstawie pomiarów astrometrycznych zdjęcia CCD
fragmentu nieba. Dodatkowym zagadnieniem jest anali- r = x - x0 + y - y0 (1)
za dystorsji optyki teleskopu.
natomiast błąd tej wielkości:
2
2
"r "r
�(r) = � �2(x) + � �2(x0)
"x "x0
2 2 1/2
Wybrane zdjęcie zapisane zostało pod nazwą
"r "r
 7790I01.FIT . Przedstawia ono gromadę otwartą NGC + � �2(y) + � �2(y0)
"y "y0
7790, znajdująca się w gwiazdozbiorze Kasjopei.
Pozycje wszystkich zidentyfikowanych gwiazd na niebie

2
znaleziono w katalogu GSC2.3 (na epokę 2000.0). Gwiaz-
x - x0 �2(x) + �2(x0)
da blisko centrum zdjęcia posiada identyfikator �(r) =
2 2
x - x0 + y - y0
N19G020871 a jej współrzędne:
1/2
2
y - y0 �2(y) + �2(y0)
ą0 23h 58m 39s.27
+
2 2
x - x0 + y - y0
�0 +61ć% 14 21 .3
Zakładając że optyka teleskopu dokonuje rzutu central-
Odległość (�) gwiazdy o współrzędnych (ą, �) od gwiaz-
nego i jest pozbawiona dystorsji ogniskową teleskopu f
dy centrum (ą0, �0) znajdziemy rozważając następujący
wyznaczamy z zależności:
trójkąt sferyczny: korzystając z twierdzenia cosinusów
r = f tan � (2)
Wykonujemy wykres zależności odległości liniowej r gwiaz-
dy od centrum na zdjęciu, od tangensa kąta pomiędzy
tymi gwiazdami na niebie (Rys. 2). W wyniku dopaso-
wania prostej postaci y = a � x dostajemy współczynnik,
który w naszym przypadku jest równy szukanej ognisko-
wej:
f = (217505 ą 260) px (3)
Następnie wyznaczamy dystorsję optyki teleskopu. Za-
Rys. 1: Trójkąt sfetyczny utworzony przez dwie gwiazdy oraz
kładamy, że dystorsja jest kołowo symetryczna. Korzy-
północny biegun świata.
stając z wyznaczonej ogniskowej (2) wyliczamy odległo-
ści liniowe gwiazdy od centrum rC. Wynokujemy wykres
dostajemy:
zależności różnicy odległości liniowej obserwowanej (ob-
servatio) i wyliczonej (calculatio), od tan �. Widać, iż
cos � = sin(90ć% - �) cos(ą - ą0) sin(90ć% - �0)
otrzymana zależność nie jest postaci rO - rC = const
+ cos(90ć% - �) cos(90ć% - �0)
lecz wykazuje zależność O-C od tan �, zatem możemy
wyznaczyć parametry dystorsji, dopasowując do zależ-
a stąd:
ności r(tan �), nie prostą, lecz kolejne wyrazy:

� = arccos sin(90ć% - �) cos(ą - ą0) sin(90ć% - �0)

r = f tan � 1 + ą tan � + � tan2 � + ł tan3 � + � � � (4)
+ cos(90ć% - �) cos(90ć% - �0)
Pomiary współrzędnych x, y na zdjęciu wykonane zosta-
Dopasowanie zależności (Rys. 3):
ły za pomocą programi MIDAS. Współrzędne gwiazdy

środka:
r = f tan � 1 + ą tan � (5)
x0 = 398, 39 px
dało następujące parametry:
�(x0) = 0, 10 px
y0 = 401, 465 px f = (203387 ą 234) px
�(y0) = 0, 049 px ą = 40, 38 ą 0, 69
Wykres O-C przedstawoiny został poniżej (Rys. 6). Do-

dając kolejny wyraz:



r = f tan � 1 + ą tan � + � tan2 � (6)


otrzymano następujące wartości parametrów dopasowa-
nej zależności:



f = (209855 ą 365) px



ą = -4, 6 ą 2, 3


� = 14093 ą 713



Dopasowanie krzywej wyższego rzędu dało błędy wyzna-

czonych parametrów tego samego rzędu, lub większe od
parametrów. Zatem procedurę zakończono na dopasowa-
niu krzywej (6). Dla tak wyznaczonych parametrów wy-
Rys. 2: Wykres zależności liniowej odległości gwiazdy r od
liczono rC oraz wykonano wykres O-C (Rys. 7). W gra-
tangensa kątowej odległości gwiazdy na niebie, wraz z
nicach błędu (błąd dla dużych tan � jest duży ze względu
dopasowaną prostą.
na dużą ilość parametrów) O-C nie zależy od tan �.
Podsumowując, bez uwzględniania dystorsji optyki tele-
skopu otrzymano ogniskową:



f = (217505 ą 260) px (7)


Uwzględniając refrakcję drugiego rzędu, wyznaczono ogni-

skową:
f = (209855 ą 365) px (8)



oraz parametry refrakcji:




ą = -4, 6 ą 2, 3



� = 14093 ą 713




Rys. 3: Wykres zależności liniowej odległości gwiazdy r od
tangensa kątowej odległości gwiazdy na niebie, wraz z
dopasowaną krzywą drugiego rzędu.
2


































Rys. 4: Wykres zależności liniowej odległości gwiazdy r od
tangensa kątowej odległości gwiazdy na niebie, wraz z
dopasowaną krzywą trzeciego rzędu.















Rys. 7: Wykres O-C dla dystorsji trzeciego rzędu.
Rys. 5: Wykres O-C przy założeniu braku dystorsji.





Rys. 6: Wykres O-C dla dystorsji drugiego rzędu.
3