Akademia Techniczno-Humanistyczna
w Bielsku-Białej
Wydział: Nauk o Materiałach
i Środowisku
Wykonał: Robert Sikorski
Kierunek: Budownictwo
Semestr: II
Grupa BD 58
Ćwiczenie nr 75
Wyznaczanie ogniskowej zwierciadła
wypukłego i soczewki rozpraszającej
metodą obrazów pozornych
1) Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowej soczewki rozpraszającej i zwierciadła
wypukłego metodą obrazów pozornych.
2) Wstęp teoretyczny - soczewki, zwierciadła.
Soczewką nazywamy przezroczystą bryłę ograniczoną dwiema powierzchniami sferycznymi o
jednakowych lub różnych promieniach krzywizny.
Soczewki skupiające i zwierciadła wklęsłe mają tę własność, że mogą promienie wychodzące z
przedmiotu mogą skupić się w innym miejscu w ten sposób, że powstaje tzw. obraz rzeczywisty
przedmiotu - rys. 5.1.1.
W konstrukcji promieni punktem orientującym jest ognisko F - rys. 5.1.2.
Ogniskowa - jest to odległość pomiędzy ogniskiem układu optycznego a punktem
głównym układu optycznego, np. odległość środka soczewki od punktu, w którym skupione
zostaną promienie świetlne, które przed przejściem przez soczewkę biegły równolegle do jej osi.
Ogniskową można określić zarówno dla soczewek i ich układów, jak i dla zwierciadeł.
Odległość ogniskowa danego układu optycznego określa jego powiększenie.
W przypadku zwierciadła sferycznego
r
f @� (1)
2
gdzie r jest promieniem krzywizny.
Rys. 5.1.1. A) Promienie wychodzące z przedmiotu o wielkości S, oddalonego od soczewki o x, skupiają się w
odległości y, tworząc obraz rzeczywisty o wielkości S'. Pojęcie przedmiotu i obrazu może być zamienione.
B) Analogicznie mają się rzeczy w przypadku zwierciadła kulistego wklęsłego. Przy graficznym wyznaczaniu
obrazu wystarcza dla jednego punktu przedmiotu szukać przecięcia dwu promieni, co uczyniono dla czubka
strzałki. Dla drugiego skraju przedmiotu wystarcza
wyrysować jeden promień (na rysunku jest to akurat oś optyczna). Jeżeli nie ma zniekształceń, płaszczyzna obrazu
względem osi soczewki (zwierciadła) jest zorientowana tak jak płaszczyzna przedmiotu.
Natomiast w przypadku cienkiej soczewki
ć� ��ć� ��
1 n 1 1
�� ���� ��
=� -�1���� +� (2)
��
f n0 ł�Ł� R1 R2 ��
Ł� ł�
gdzie R1 i R2 są promieniami krzywizny powierzchni soczewek - dodatnie dla krzywizny
wypukłej, ujemne dla krzywizny wklęsłej, n jest współczynnikiem załamania materiału
2
soczewki względem ośrodka otaczającego. Gdy otoczeniem jest powietrze, jest to wprost
współczynnik załamania materiału soczewki.
Odległości przedmiotu i obrazu są ze sobą w prostym związku nazywanym równaniem
soczewki:
1 1 1
+� =�
x y f
(3)
Rys. 5.1.2. Wiązki równoległe przechodzące przez soczewkę lub odbite od zwierciadła kulistego wklęsłego
skupiają się w płaszczyz
nie ogniska F.
Odwrotność ogniskowej soczewki Z = 1/f nazywa się zdolnością zbierającą soczewki.
Jeżeli mamy układ złożony z kilku blisko siebie leżących soczewek, to zdolność zbierającą
układu jest sumą zdolności zbierających poszczególnych soczewek.
Z = Z1 + Z2 + Z3 +... (4)
1 1 1 1
=� +� +� +�...
f f1 f2 f3
(5)
Jednostką zdolności zbierającej soczewki jest dioptria (D); 1 D = 1/m
Powiększenie liniowe obrazu jest dane wyrażeniem:
ó�
S y
P =� =�
S x
(6)
W sytuacji jak na rys. 5.1.1-2 parametry x, y, f, r, r1, r2 są dodatnie. Gdy x jest mniejsze od
ogniskowej f, wartość y staje się ujemna, a obraz jest pozorny.
W przypadku wklęsłych powierzchni soczewki lub wypukłego zwierciadła promienie krzywizny
są przyjmowane jako ujemne. Wtedy wg (5.1.1a), ogniskowa zwierciadła jest ujemna, a
ogniskowa soczewki (wzór(5.1.1b)) może być ujemna lub dodatnia w zależności od znaku sumy
odwrotności promieni krzywizny. W przypadku ujemnej ogniskowej wiązka równoległa po
przejściu (odbiciu) jest rozbieżna, jakby pozornie wychodziła z ogniska znajdującego się po
drugiej stronie soczewki (lustra).
Omówione zależności są w przybliżeniu słuszne dla soczewek cienkich, wiązek przyosiowych i
nie padających pod dużymi kątami do osi soczewki (zwierciadła).
Odstępstwa od wymienionych przybliżeń prowadzą do różnych zniekształceń obrazu
nazywanych aberracją sferyczną. Polega ona na tym, że w miarę oddalania się od osi
3
zwierciadła promienie zaczynają odchylać się od ogniska. W ten sposób zamiast otrzymać obraz
punktowy (jak dla promieni przyosiowych) otrzymujemy obraz rozciągły (plamkę).
Inną wadą soczewek jest aberracja chromatyczna. Jest ona związana ze zjawiskiem dyspersji.
Światło o różnych barwach (różnych częstotliwościach) ma różne prędkości, więc i różne
współczynniki załamania w szkle, z którego zrobiono soczewkę. W konsekwencji różne barwy
są różnie ogniskowane i obraz białego punktu jest barwny.
Te jak i jeszcze inne wady soczewek można korygować stosując zestawy soczewek oraz
wykonując soczewki o odpowiednich krzywiznach i z materiału o odpowiednim współczynniku
załamania.
2 Zwierciadło - konstrukcja graficzna obrazu
Odległość przedmiotowa jest większa od promienia krzywizny zwierciadła wklęsłego.
Obserwowany obraz jest:
- rzeczywisty
- odwrócony
- pomniejszony
Przedmiot znajduje się pomiędzy środkiem krzywizny a ogniskiem
Obserwowany obraz jest:
- rzeczywisty
- odwrócony
- powiększony
Przedmiot znajduje się pomiędzy ogniskiem a zwierciadłem
Odbite promienie nie przecinają się.
Przecinają się tylko ich przedłużenia
poza zwierciadło. Powstaje obraz:
- pozorny
- prosty
- powiększony
4
Przypadek zwierciadła wypukłego
Powstaje obraz:
- pozorny
- prosty
- pomniejszony
Konstrukcja obrazów w soczewkach
W konstrukcji obrazów powstających w soczewkach cienkich posługujemy się następującymi
symbolami soczewek
W konstrukcji korzystamy z kilku promieni, których bieg jest łatwo wykreślić, jeśli znamy
położenie ognisk soczewki. Są to: promień główny (1) - promień przechodzący przez środek
soczewki i biegnący bez załamania, promień ogniskowy (2) - promień wychodzący z ogniska
przedmiotowego i biegnący po przejściu przez soczewkę równolegle do osi optycznej oraz
promień równoległy (3) - promień biegnący równolegle do osi optycznej i po załamaniu
przechodzi przez ognisko obrazowe. Ponadto każdy promień (4) wychodzący z dowolnego
punktu P leżącego w płaszczyz
nie ogniskowej ogniska przedmiotowego (jest to płaszczyzna
prostopadła do osi optycznej i przechodząca przez ognisko) po przejściu przez soczewkę biegnie
równolegle do promienia głównego wychodzącego z punktu P.
5
3) Opis metody pomiarowej i stosowanych przyrządów.
W ćwiczeniu wykorzystywane są następujące przyrządy: ława optyczna (A
), przedmiot
świecący (A), soczewka rozpraszająca (S), zwierciadło wypukłe (Z), �prostokątna płytka
szklana (M) pełniąca rolę zwierciadła płaskiego oraz pręt (P) służący do lokalizacji położenia
obrazu pozornego.
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowych soczewki rozpraszającej i zwierciadła
wypukłego.
Pomiar rozpoczynamy od soczewki rozpraszającej. Na ławie optycznej ustawiamy świecący
przedmiot A, soczewkę S oraz płytkę szklaną M. Soczewka rozpraszająca tworzy obraz
pozorny A1 przedmiotu A. Obraz A1 odbija się w płytce M, tworząc obraz A2 położony
Rys. 3
symetrycznie po prawej stronie płytki. Jest to również obraz pozorny. Widzimy go na
przecięciu przedłużeń promieni odbitych od płytki M, docierających ponad soczewką S do
naszych oczu (rys.3). Miejsce w którym widzimy obraz A2 zaznaczamy ustawiając tam pręt P.
Biorąc za punkt wyjścia równanie soczewki:
1 1 1
+� =�
x y f
oraz uwzględniając, że odległość y obrazu A1 od soczewki S jest równa y = n  l , można
łatwo wykazać, że ogniskowa soczewki spełnia następujące równanie :
xy x(n -� l)
f =� =�
y -� x n -� l -� x
Aby wyznaczyć ogniskową soczewki rozpraszającej metodą obrazów pozornych należy,
zatem zmierzyć następujące odległości: odległość x pomiędzy przedmiotem A i soczewką,
odległość l pomiędzy soczewką a płytką M oraz odległość n pomiędzy płytką M i prętem P.
Ustawienie przyrządów przy wyznaczaniu ogniskowej zwierciadła wypukłego przedstawione
jest na rys.4.
6
 Rys.4.
Tym razem, płytka szklana M jest ustawiona pomiędzy przedmiotem świecącym A i
zwierciadłem wypukłym Z. Zwierciadło tworzy pozorny obraz A1 przedmiotu. Obraz A1
odbija się w płytce M tworząc obraz A2 położony symetrycznie po lewej stronie płytki. Jest
to również obraz pozorny.
Widzimy go na przecięciu przedłużeń promieni odbitych od płytki ( Rys.2).
Miejsce, w którym widzimy obraz A2 zaznaczamy ustawiając tam pręt P.
Postępując podobnie jak w przypadku soczewki rozpraszającej można wykazać, że ogniskowa
zwierciadła wyraża się identycznym wzorem:
xy x(n -� l)
f =� =�
y -� x n -� l -� x
gdzie: x  odległość od przedmiotu A do zwierciadła, n  odległość pomiędzy płytką M a
prętem P oraz l  odległość od płytki M do zwierciadła Z.
4) Przyrządy używane w doświadczeniu
ława optyczna, przedmiot świecący, zwierciadło wypukłe, soczewka wklęsła, płytka szklana,
ostrze.
5) Przebieg ćwiczenia:
Pomiary dla soczewki rozpraszającej
1. Umieścić na ławie optycznej kolejno: przedmiot świecący A, soczewkę rozpraszającą S
oraz płytkę szklaną M oraz metalowy pręt P.
2. Przesuwając wzdłuż ławy soczewkę S i płytkę M doprowadzić do uzyskania pozornego
obrazu A2 przedmiotu świecącego. Obraz A2 jest widoczny przy patrzeniu na płytkę M od
strony soczewki (por. rys.1.) Odczytać na ławie optycznej i wpisać do tabeli 1
współrzędne przedmiotu XA, soczewki XS, oraz płytki szklanej XM.
3. W miejscu, w którym widoczny jest obraz A2 należy ustawić pręt P w ten sposób,
aby znalazł się on dokładnie w płaszczyz
nie obrazu. Patrząc na obraz A2,
prawidłowe ustawienie pręta rozpoznajemy po tym, że przy niewielkich ruchach głową
w kierunku prostopadłym do ławy optycznej nie zauważamy przesuwania się obrazu A2
7
względem pręta. Jest on jakby  przyklejony do pręta. Odczytać współrzędną pręta XP1 i
wpisać do tabeli 1.
4. Powtórzyć pięciokrotnie pomiar z punktu 3 zmieniając każdorazowo punkt startowy, z
którego rozpoczynamy wprowadzanie pręta w płaszczyznę obrazu A2. Powinny to być
na przemian punkty leżące przed i po za płaszczyzną obrazu. Kolejne wyniki ( XPi)
wpisać do tabeli1.
Pomiary dla zwierciadła wypukłego
1. Umieścić na ławie optycznej kolejno: przedmiot świecący A, metalowy pręt P, płytkę
szklaną M oraz zwierciadło wypukłe Z
2. Przesuwając wzdłuż ławy zwierciadło Z i płytkę M doprowadzić do uzyskania pozornego
obrazu A2 przedmiotu świecącego. Obraz A2 jest widoczny przy patrzeniu na płytkę M od
strony zwierciadła (por. rys.2) Odczytać na ławie optycznej i wpisać do tabeli 1
współrzędne przedmiotu XA, zwierciadła XZ, oraz płytki szklanej XM.
3. W miejscu, w którym widoczny jest obraz A2 należy ustawić pręt P w ten sposób,
aby znalazł się on dokładnie w płaszczyz
nie obrazu. Patrząc na obraz A2,
prawidłowe ustawienie pręta rozpoznajemy po tym, że przy niewielkich ruchach głową
w kierunku prostopadłym do ławy optycznej nie zauważamy przesuwania się obrazu A2
względem pręta. Odczytać współrzędną pręta XP1 i wpisać do tabeli 2.
4. Powtórzyć pięciokrotnie pomiar z punktu 3 zmieniając każdorazowo punkt startowy, z
którego rozpoczynamy wprowadzanie pręta w płaszczyznę obrazu A2. Powinny to być na
przemian punkty leżące przed i po za płaszczyzną obrazu. Kolejne wyniki ( XPi) wpisać
do tabeli 2.
Opracowanie wyników pomiarów
Tabela nr 1 (soczewka)
XA "XA XS "XS XM "XM XPi SXp "XP
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
65,10
65,30
65,70
10,00 0,1 19,70 0,1 40,6 0,1 65,30 0,21 0,185
64,70
64,90
66,10
XA  przedmiot świecący, "XA  błąd pomiarowy
XS  soczewka rozpraszająca, "XS  błąd pomiarowy
XM  płytka szklana, "XM  błąd pomiarowy
XP  metalowy pręt, - średnia wartość współrzędnych pręta
SXp  średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru (pręta) skorygowany przez współczynnik
Studenta tą,n, "XP  błąd pomiarowy
8
1. Na podstawie danych zgromadzonych w tabeli 1 obliczamy:
a) Średnią wartość współrzędnej pręta XP:
6
��X 391,8
Pi
i=�1
X =� =� =� 65,3
P
6 6
b) Średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru skorygowany współczynnikiem
tą,n ,
Studenta który odczytujemy z tablic, przyjmując poziom ufności ą =0.7 i liczbę
pomiarów n = 6, czyli tą,n=0,404
6
2
(� X -� X )�
�� P Pi
1,36
i=�1
SX =� �� ta� ,n =� �� 0,404 =� 0,272 �� 0,404 =� 0,521�� 0,404 =� 0,21cm
P
6 -�1 5
c) Obliczyć błąd pomiarowy współrzędnej "XP wg. wzoru:
2 2
D�X =� SX -�d� =� 0,212 -� 0,12 =0,185 cm
P
P
gdzie �  błąd systematyczny odczytu współrzędnej równy 0.1cm.
" " "
Błędy pomiarowe współrzędnych przedmiotu XA, soczewki XP , zwierciadła XZ oraz
"
płytki szklanej XM przyjąć za równe błędowi systematycznemu odczytu, czyli 0.1 cm.
" " "
XA, XZ , XM =0,1cm
Tabela nr 2 (zwierciadło)
XA "XA XZ "XZ XM "XM XPi SXp "XP
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
27,80
25,00
23,00
10,00 0,1 72,60 0,1 51,50 0,1 24,30 0,77 0,76
22,60
23,50
23,90
XA  przedmiot świecący, "XA  błąd pomiarowy,
XZ  zwierciadło wypukłe, "XZ  błąd pomiarowy,
XM  płytka szklana, "XM  błąd pomiarowy,
XP  metalowy pręt, - średnia wartość współrzędnych pręta
SXp  średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru (pręta) skorygowany przez
współczynnik Studenta tą,n, "XP  błąd pomiarowy
9
1. Na podstawie danych zgromadzonych w tabeli 2 obliczamy:
a) Średnią wartość współrzędnej pręta XP :
6
X
�� Pi
145,8
i=�1
X =� =� =� 24,3
P
6 6
b) Średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru skorygowany współczynnikiem
tą,n ,
Studenta który odczytujemy z tablic, przyjmując poziom ufności ą =0.7 i liczbę
pomiarów n = 6, czyli tą,n=0,404
6
2
(� X -� X )�
�� P Pi
18,12
i=�1
SX =� ��ta� ,n =� �� 0,404 =� 3,62 �� 0,404 �1,90�� 0,404 � 0,77 cm
P
6 -�1 5
c) Obliczyć błąd pomiarowy współrzędnej "XP wg. wzoru:
2 2
D�XP =� SX -�d� =� 0,772 -� 0,12 = 0,76 cm
P
gdzie �  błąd systematyczny odczytu współrzędnej równy 0.1cm.
" " "
Błędy pomiarowe współrzędnych przedmiotu XA, soczewki XP , zwierciadła XZ oraz
"
płytki szklanej XM przyjąć za równe błędowi systematycznemu odczytu, czyli 0.1 cm.
" " "
XA, XZ , XM =0,1cm
Tabela nr 3
x "x l "l n "n f "f
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
Soczewka 9,70 0,2 20,90 0,2 24,7 0,28 -6,26 1,4
Zwierciadło 62,60 0,2 21,10 0,2 27,20 0,76 -6,76 1,2
2. Na podstawie współrzędnych zawartych w tabeli 1 obliczamy odległości wzajemne
zaznaczone na rys. 1
dla soczewki dla zwierciadła
x = XS - XA = 19,7  10,0 = 9,7 x = XZ - XA = 72,6  10,0 = 62,6
l = XM - XS = 40,6  19,7 = 20,9 l = XZ - XM = 72,6  51,5 = 21,1
n = XP - XM = 65,3  40,6 = 24,7 n = XM - XP = 27,2  24,3 = 27,2
Obliczenia błędów bezwzględnych
dla soczewki dla zwierciadła
"x = "XS + "XA = 0,1 + 0,1 = 0,2 "x = "XZ + "XA = 0,1 + 0,1 = 0,2
"l = "XM + "XS = 0,1 + 0,1 = 0,2 "l = "XM + "XZ = 0,1 + 0,1 = 0,2
"n = "XP + "XM = 0,185 + 0,1 = 0,285 "n = "XP + "XM = 0,42 + 0,1 = 0,76
10
4. Korzystając z równania (2) i wyznaczonych odległości, obliczamy ogniskowe f
soczewki rozpraszającej S i zwierciadła wypukłego Z.
Obliczenie ogniskowej f:
- dla soczewki:
- dla zwierciadła:
Obliczenie błędów bezwzględnych ogniskowych:
- dla soczewki:
- dla zwierciadła:
Końcowe wyniki pomiarów są następujące:
Dla soczewki:
Dla zwierciadła:
f = -6,25 cm
f = -6,76 cm
"f = 1,4 cm
"f = 1,2 cm
fs = -6,25 ą 1,4 [cm]
fz = -6,91 ą 1,2 [cm]
6) Wnioski
Ćwiczenie to umożliwiło nam zapoznanie się z sposobem wyznaczania ogniskowej
soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego metodą obrazów pozornych.
Wyliczone ogniskowe dla soczewki i zwierciadła mają wartość ujemną i wynoszą odpowiednio:
fs = -6,25 ą 1,4 [cm] oraz fz = -6,91 ą 1,2 [cm].
Wyniki pomiaru obarczone są błędem, wynikającym z niedokładnego
ustawienia pręta P względem punktu, w którym znajduje się obraz pozorny, dokładności
przyrządu pomiarowego oraz indywidualnymi własnościami oka obserwatora.
11
12