n
ax:n| = vk · px
k
k=1
ax:n| = äx:n| - 1 + Ex.
n
n-1
äx:n| = vk · px
k
k=0
n-1
= 1 + vk · px
k
k=1
= 1 + ax:n-1|,
ax:n| = ax:n-1| + Ex.
n
"
ax = vk · px
n| k
k=n+1
= ax - ax:n|
= Ex · ax+n.
n
ä a A
Ax = E[vK+1]
= E[aK+1| - aK|]
= E[väK+1| - aK|]
M
= väx - ax.
A1 = väx:n| - ax:n|.
x:
n|
Ax:n| = väx:n| - ax:n-1|.
m
m
m
1/m K(m)(x)
m
P (K(m)(x) = h) = h 1 qx, h = 0, 1, 2, . . .
|
m m
h
P (K(m)(x) h) = l 1 qx = h+1 qx, h = 0, 1, 2, . . .
|
m m m
l=0
Y = ä(m) .
x:(K(m)+1)/m|
"
ä(m) = E[Y ] = E ä(m) = ä(m) · h 1 qx.
x |
x:(h+1)/m|
x:(K(m)+1)/m| m m
h=0
"
1
ä(m) = vh/m · px.
h/m
x
m
h=0
K(m)(x)
M
h+1
m
1-v
z z(h) =
d(m)
îÅ‚ Å‚Å‚
K(m)(x)+1
m
1 - v
ïÅ‚ śł
ä(m) = E ðÅ‚ ûÅ‚
x
d(m)
h+1
"
m
1 - v
= · h 1 qx
m m
d(m) |
h=0
1 1
"
m m
1 - v h+1 - v
1
m
= + v · · 1 - h+1 qx
m
d(m) h=0 d(m)
1
m
1 - v 1
= =
d(m) m
"
1 1 h+1
m
= + · v · h+1 px,
m
m m
h=0
1 = d(m) · ä(m) + A(m).
x x
1 = d(m) · ä(m) + A(m) = d · äx + Ax.
x x
d 1
ä(m) = äx - A(m) - Ax
x
d(m) d(m) x
= ä(m) · äx - ä(m) A(m) - Ax
"| x
1|
1 - A(m)
x
= = ä(m) - ä(m) · A(m).
d(m) "| "| x
i
A(m) = Ax = s(m)Ax.
x
1|
i(m)
M
1
m
[S(x)·m+1]
m
Z = vK(x)+ ,
[x] x
[S(x)·m+1]
m
A(m) = E vK(x)+
x
[S(x)·m+1]
-1
m
= E vK(x)+1 · E v
1
[s·m+1]
-1
m
=Ax · v ds
0
1/m 2/m 1
1
=Ax · v1/mds + v2/mds + . . . + vds
v 0 1/m (m-1)/m
1
=Ax · v1/m + v2/m + . . . + v
mv
v1/m(1 - v)
=Ax ·
mv(1 - v1/m)
1 1 - v
=Ax · ·
m[(1 + i)1/m - 1] v
i
=Ax · .
i(m)
ä(m)
x
1
f(0) + f + . . . + f(n) =m [f(0) + f(1) + . . . + f(n)]
m
m - 1
- [f(n) + f(0)]
2
m2 - 1
- f(1)(n) - f(1)(0)
12m
m4 - 1
+ f(3)(n) - f(3)(0) + . . . .
720m3
n "
"
1
ä(m) = vh/m · px.
h/m
x
m
h=0
1
f(j) = · vj · px
j
m
M
1
f(1)(n) = · vn · px[-´ - µx+n],
n
m
1
f(1)(0) = · [-´ - µx].
m
n
1
ä(m) <" · m · lim vk · px
=
k
x
n"
m
k=0
m - 1 1 1
- lim · vn · px +
n
n"
2 m m
m2 - 1 1 1
- lim · vn · px[-´ - µx+n] - · [-´ - µx]
n
n"
12m m m
m - 1 m2 - 1
=äx - - [´ + µx] .
2m 12m2
m - 1
ä(m) <" äx - .
=
x
2m
Dx+h/m = vx+h/m · lx+h/m.
5.15
h
Dx+h/m = Dx - [Dx - Dx+1] h = 0, . . . , m - 1
m
"
1
ä(m) = vh/m · px
h/m
x
m
h=0
"
1 vh/m+x · lh/m+x
=
m vxlx
h=0
m-1 2m-1
1
= vh/m+x · lh/m+x + vh/m+x · lh/m+x
mDx h=0
h=m
M
3m-1
+ vh/m+x · lh/m+x + . . .
h=2m
m-1 m-1
1 h h
= Dx - (Dx - Dx+1) + Dx+1 - (Dx+1 - Dx+2)
mDx h=0 m m
h=0
m-1
h
+ Dx+2 - (Dx+2 - Dx+3) + . . .
m
h=0
1 m - 1 m - 1 m - 1 m - 1
= Dx m - + Dx+1 + Dx+1 m - + Dx+2
mDx 2 2 2 2
m - 1 m - 1
+Dx+2 m - + Dx+3 + . . .
2 2
1 m - 1
= m [Dx + Dx+1 + Dx+2 + . . .] - Dx
mDx 2
"
Dx+k m - 1
= -
Dx 2m
k=0
"
m - 1
= vk · px -
k
2m
k=0
m - 1
= äx - .
2m
ä(12) > ä(12)
x:1| 1|
s(m) - 1
1|
ä(m) = ä(m) · äx - Ax
x
1|
d(m)
s(m) - 1
1|
ä(m) = s(m) · ä(m) · äx - .
x
1| 1|
d(m)
ä(m) = Ä…(m) · äx - ²(m)
x
ä(m) = ä(m) · äx - ²(m) · Ax,
x
1|
id
Ä…(m) = s(m) · ä(m) =
1| 1|
i(m) · d(m)
M
s(m) - 1
i - i(m)
1|
²(m) = = .
d(m) i(m) · d(m)
m
n
ä(m) = ä(m) - Ex · ä(m) ,
n
x+n
x:n| x
ä(m) = ä(m) · äx - ²(m) · Ax - Ex ä(m) · äx+n - ²(m) · Ax+n
n
x:n|
1| 1|
= ä(m) · äx:n| - ²(m) · A1 .
x:
n|
1|
m
n
ä(m) = ä(m) · äx - ²(m) · Ax
n| n| n|
x
1|
= Ä…(m) · äx - ²(m) · Ex.
n| n
m
1
a(m) = ä(m) - ,
x x
m
1
a(m) = ä(m) - (1 - Ex) .
n
x:n| x:n|
m