äx
1
x
k 1 x
Ex = vk · px,
k k
"
äx = vk · px.
k
k=0
Y = äK+1|
"
äx = E[Y ] = E[äK+1|] = äk+1| · qx.
k|
k=0
"äk+1| = vk+1
H(j) = qx.
j+1
"
äx = 1 + vk+1 · px,
k+1
k=0
1 - vK+1 1
äx = E = [1 - Ax] ,
d d
1 = d · äx + Ax.
1 - vK+1
Var[äK+1|] = Var
d
1
= Var vK+1
d2
1
2
= Ax - A2 ,
x
d2
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
äK+1|, 0 K(x) Y =
ôÅ‚
ół
än|, K(x) n
n-1
äx:n| = E[Y ] = äk+1| · qx + än| · px.
k| n
k=0
n-1
äx:n| = vk · px.
k
k=0
k-1 k-1
z(j) · h(j) = -z(k) · [1 - H(k - 1)] + z(0) + "z(j) · [1 - H(j)],
j=0 j=0
"äk+1| = vk+1
H(j) = qx.
j+1
n-1
äx:n| = E[Y ] = äk+1| · qx + än| · px
k| n
k=0
n-1
1 - vn+1 1 - v 1 - vn
= - [1 - qx] + + vk+1 · px + · px
n k+1 n
d d d
k=0
n
vn+1 - vn
= · px + 1 + vk · px
n k
1 - v
k=1
n
= 1 - vn · px + vk · px
n k
k=1
n-1
= vk · px.
k
k=0
Y Z
1 - Z
Y = ,
d
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
vK(x)+1, 0 K(x) < n
Z =
ôÅ‚
ół
vn, K(x) n
1 - vK+1 1
äx:n| = E = 1 - Ax:n| ,
d d
1 = d · äx:n| + Ax:n|.
1 - vK+1
Var[Y ] = Var
d
1
= Var vK+1
d2
1
2
= Ax:n| - A2 .
x:n|
d2
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚
0, 0 K(x) < n
Y =
ôÅ‚
ół
vn · äK+1-n|, K(x) n
"
äx = E[Y ] = vn · äk+1-n| · qx
n| k|
k=n
= äx - äx:n|
Ax:n| - Ax
=
d
= Ex · äx+n.
n
"
äx = vk · px.
n| k
k=n
"
1 - vk+1-n
äx = vn · · qx
n| k|
d
k=n
"
vn vk+1
= · px - · qx
n k|
d d
k=n
" n-1
vn vk+1 vk+1
= · px - · qx + · qx
n k| k|
d d d
k=0 k=0
" "
vn 1 - vk+1 1
= · px + · qx - qx
n k| k|
d d d
k=0 k=0
n-1 n-1
1 - vk+1 1
- · qx + qx
k| k|
d d
k=0 k=0
n-1 "
vn 1 - vk+1 1
= · px + äx - · qx - qx
n k| k|
d d d
k=0 k=n
n-1
1 - vn 1 - vk+1
= - · px + äx - · qx
n k|
d d
k=0
= äx - äx:n|.
äx = äx - äx:n|
n|
" n-1
= vk · px - vk · px
k k
k=0 k=0
"
= vk · px.
k
k=n
1
1
"
ax = äx - 1 = vk · px
k
k=1
"
ax = E aK| = ak| · qx.
k|
k=1
1 - vK
ax = E
i
1 - (1 + i)vK+1
= E
i
1
= [1 - (1 + i) · Ax] ,
i
1 = i · ax + (1 + i) · Ax.