Mechanika relatywistyczna
Koncepcja eteru
" Fale elektromagnetyczne (w tym światło) powinny w
próżni poruszać się z prędkością:
1
c =�
m�0e�0
" Zgodnie z klasyczną regułą dodawania prędkości,
prędkość światła powinna jednak zależeć od układu
odniesienia przypominam klasyczną regułę dodawania
prędkości:
v =� v' +� vtr
Między innymi z tego powodu wymyślono eter
kosmiczny, który miał być specyficznym ośrodkiem,
wypełniającym całą przestrzeń i nośnikiem fal świetlnych
(póz
niej w ogóle pola elektromagnetycznego).
" W XIX w. nikt już nie wierzył, że Ziemia jest jakimś
szczególnie wyróżnionym układem odniesienia, więc
uważano, że powinna ona poruszać się względem eteru.
Pojawiło się pytanie: z jaką prędkością?
Doświadczenie Michelsona-Morleya
" Doświadczenie miało na celu bezpośrednie sprawdzenie
wpływu ruchu z
ródła światła na prędkość światła, a
pośrednio  sprawdzenie, czy istnieje eter kosmiczny i
ewentualny pomiar prędkości ruchu Ziemi względem
tego eteru..
" W celu wykonania doświadczenia został wykorzystany
interferometr Michelsona.
" Interferometr Michelsona służy do precyzyjnego pomiaru
długości fal świetlnych. Jego zasada działania opiera się
na interferencji światła.
" Załóżmy, że wiązki światła rozchodzą się w tym samym
ośrodku o współczynniku załamania n oraz, że droga
geometryczna l1 przebyta przez wiązkę nr 1 jest większa
od drogi geometrycznej l2, przebytej przez wiązkę nr 2.
" Prążki interferencyjne powstaną w tych miejscach, w
których
n(�l2 -�l1)�=� ml
" Ponieważ długość fali zależy od jej prędkości (l=v/f, gdzie
v  prędkość fali, zaś f  jej częstotliwość), położenie
prążków interferencyjnych powinno zmienić się po
obrocie interferometru o 90 stopni. Efektu tego jednak nie
zaobserwowano, co świadczy o tym, że prędkość
rozchodzenia się światła na Ziemi nie zależy od kierunku
jego rozchodzenia się.
" Z doświadczenia Michelsona-Morleya wynika, że albo
eter porusza się wraz z Ziemią (w co trudno uwierzyć),
albo klasyczna reguła dodawania prędkości jest błędna
(przynajmniej dla dużych prędkości).
Postulaty Einsteina
1. Wszystkie tożsame zjawiska fizyczne przebiegają,
przy identycznych warunkach początkowych,
jednakowo we wszystkich inercjalnych układach
odniesienia. Innymi słowy: wśród inercjalnych układów
odniesienia nie ma żadnego układu
 uprzywilejowanego . Ten postulat nosi nazwę zasady
względności.
2. Prędkość światła w próżni jest jednakowa we
wszystkich kierunkach i w dowolnym obszarze danego
inercjalnego układu odniesienia i jednakowa dla
wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
Oznacza to brak jakichkolwiek  wyróżnionych
kierunków i obszarów przestrzeni ze względu na
prędkość rozchodzenia się światła.
" My w dalszych rozważaniach będziemy korzysać
tylko z pierwszego postulatu!
Transformacja Lorentza jako
konsekwencja I z postulatów Einsteina
" Dowolne zjawisko zachodzące w danym punkcie w
danym momencie czasu będziemy nazywać
zdarzeniem. Każde zdarzenie ma więc 4 współrzędne: 3
przestrzenne i 1 czasową.
" Rozpatrzmy dwa inercjalne układy odniesienia: układ U
(spoczywającyi poruszający się względem niego ze stałą
prędkością v wzdłuż osi OX układ U .
" W każdym punkcie przestrzeni obu układów znajdują się
zsynchronizowane zegary, więc możemy mierzyć
wszystkie 4 współrzędne dowolnego zdarzenia.
" Naszym celem jest znalezienie związków między
współrzędnymi tego samego zdarzenia, mierzonymi w
obu układach odniesienia, , tj. równań pozwalających
znalez
ć współrzędne (x ,y ,z ,t ) w układzie U na
podstawie współrzędnych (x,y,z,t) tego samego
zdarzenia w układzie U.
" Przyjęte założenie nt. kierunku ruchu układu U
względem układu U nie jest istotnym ograniczeniem.
Jeżeli oba układy mają być inercjalne, to ich względny
ruch musi być ruchem jednostajnym, a dowolny kierunek
ruchu można sprowadzić do ruchu wzdłuż osi OX
poprzez odpowiedni obrót układu współrzędnych.
" Z I postulatu Einsteina wynika, że przestrzeń i czas w
dowolnych inercjalnych układach odniesienia muszą być
jednorodne.
" Konsekwencją powyższych dwóch faktów jest to, że
związki między współrzędnymi zdarzenia w dwóch
różnych układach odniesienia muszą być liniowe, a w
szczególności:
y=Ay , z=Bz
" Ponieważ żaden kierunek nie może być wyróżniony,
musi zachodzić A=B. Pozostaje znalez
ć wartość A.
" Wez
my linijkę o jednostkowej długości i umieśćmy ją na
osi OY układu U tak, by jeden z jej końców znajdował się
w początku układu współrzędnych. Ze względu na
równoprawność układów inercjalnych, w chwili t=t =0
obserwatorzy w układzie U i U powinni zmierzyć tą
samą długość linijki, a więc A=1.
" Dla współrzędnych x i x sytuacja jest nieco bardziej
skomplikowana, ale związki między współrzędnymi
zdarzenia w dwóch różnych układach odniesienia muszą
być liniowe:
x'=� A10 +� A11x +� A12t
(1)
i odwrotnie:
x =� A20 +� A21x'+�A22t'
(2)
gdzie wszystkie współczynniki Aij są stałymi.
" Jeżeli dodatkowo założymy, że w chwili t=0, t =0 początki
układów pokrywają się, otrzymujemy
A10=0
A20=0
" Współrzędna x punktu O w chwili t wynosi vt, więc z (1)
mamy
0 =� A11vt +� A12t
" Czyli A12/A11=-v
" Oznaczając A11 przez 1/a (v) równanie (1) możemy
zapisać w postaci:
1
x'=�
(3)
a'(�v)�(� x -� vt)�
" Na podstawie analogicznych rozważań mamy
1
x =�
(4)
a(�v)�(�x'+�vt')�
" A
atwo się przekonać, że a(v)=�a (v). Wez
my wzorzec o
długości równej l0 w układzie własnym. Umieśćmy go na
osi x w układzie U w taki sposób, by jeden z jego
końców leżał w początku układu współrzędnych.
Współrzędne jego końców będą równe x1=0, x2=l0.
" W chwili t=t =0 (układy U i U są tożsame
geometrycznie), zgodnie z (4) x1 =0, x2 =l0a(v), czyli
l =x2 -x1 =l0a(v)
" Wez
my ten sam wzorzec i umieśćmy go w układzie U .
Podobne rozważania prowadzą do równania
l=x2-x1=l0a (v)
" Ponieważ oba układy są równouprawnione, to mamy:
a(v)=�a (v).
" Przekształcając równania (3) i (4) otrzymujemy:
1
x'=� x =� vt +� a(�v)�x'
a(�v)�(�x -� vt)� ��
1
x =� x'=� -�vt'+�a(�v)�x
a(�v)�(�x'+�vt')� ��
" Rozpatrzmy teraz 3 układy odniesienia: spoczywający O,
poruszający się wzdłuż jego osi OX z prędkością V układ
O oraz poruszający się wzdłuż osi O X układu O z
prędkością v układ O  . Osie układów są odpowiednio
równoległe. Mamy wówczas:
x =� Vt +� a(�V )�x'
x'=� -�Vt'+�a(�V )�x
x'=� v't'+�a(�v')�x''
x''=� -�v't''+�a(�v')�x'
" Przyjmijmy (dla skrócenia zapisu) oznaczenia:
a(�V )�� a
a(�v')�� a'
" Mamy teraz:
x =� Vt +� ax'
x'=� -�Vt'+�ax
x'=� v't'+�a' x''
x''=� -�v't''+�a' x'
" Spróbujmy powiązać współrzędne w układach O i O  .
Mnożąc obustronnie drugie z powyższych równań przez
v , a trzecie przez V i dodając je stronami otrzymujemy:
x'(�v'+�V)�=� av'x +� a'Vx''
" Wyznaczamy z tego równania x :
av' x +� a'Vx''
x'=�
v'+�V
i wstawiamy do równania pierwszego i ostatniego.
Mamy:
av' x +� a'Vx''
x =� Vt +� ax'=� Vt +� a
v'+�V
av' x +� a'Vx''
x''=� -�v't''+�a' x'=� -�v't''+�a'
v'+�V
" Porządkujemy wyrazy:
ć� ��
a2v' aa'V
�� ��
x��1-� =� Vt +� x''
��
v'+�V v'+�V
Ł� ł�
ć� ��
a'2 V aa'v'
�� ��
x''��1-� =� -�v't''+� x
��
v'+�V v'+�V
Ł� ł�
" I dalej:
v'+�V -� a2v' aa'V
x =� Vt +� x''
v'+�V v'+�V
v'+�V -� a'2V aa'v'
x'' =� -�v't''+� x
v'+�V v'+�V
" Dzieląc stronami każde z równań przez ułamek po ich
lewej stronie
v'+�V aa'V
x =� Vt +� x''
v'+�V -� a2v' v'+�V -� a2v'
v'+�V aa'v'
x''=� -� v't''+� x
v'+�V -� a'2V v'+�V -� a'2V
" I dalej:
v'+�V aa'
x =� t +� x''
v'+�V -� a2v' v'+�V -� a2v'
V V
v'+�V aa'
x''=� -� t''+� x
v'+�V -� a'2V v'+�V -� a'2V
v' v'
" Upraszczając mianowniki:
v'+�V aa'
x =� t +� x''
v'-�a2v' v'-�a2v'
1+� 1+�
V V
v'+�V aa'
x''=� -� t''+� x
V -� a'2V V -� a'2V
1+� 1+�
v' v'
" I dalej:
v'+�V aa'
x =� t +� x''
1-� a2 1-� a2
1+� Vv' 1+� Vv'
2 2
V V
v'+�V aa'
t''+� x
x''=� -�
1-� a'2 1-� a'2
1+� Vv' 1+� Vv'
v'2 v'2
" Transformacje te powinny jednak mieć postać:
x =� Wt +� a(�W)�x''
x''=� -�Wt''+�a(�W)�x
gdzie W oznacza prędkość układu O  względem układu
O. Widać, że nasza funkcja a(v) nie może być dowolna,
bo współczynniki przy t i t  różnią się tylko znakiem!
" Aby tak było, musi zachodzić:
1-� a2(�v)�
=� C
v2
gdzie C jest pewną stałą, lub
a =�1
" Ze względu na wynik doświadczenia Michelsona-
Morleya a nie może być równe tożsamościowo 1, a więc
mamy:
a(�v)�=� 1-� Cv2
" Z powyższego wynika, że istnieje górne ograniczenie
na prędkość poruszającego się ciała, bo wyrażenie
pod pierwiastkiem musi być nieujemne. Mamy:
1
1-� Cv2 ł� 0 �� v Ł�
C
" Prędkość maksymalna nie musi być związana z
prędkością światła (chociaż przez 100 lat uważano, że
są równe).
" Różnica prędkości maksymalnej i prędkości światła musi
jednak być niewielka, tak by prawie nie wpływała na
wyniki teoretyczne uzyskane za pomocą STW (tak,
byśmy nie widzieli różnic między wynikami
teoretycznymi, gdy we wzory za wartość prędkości
maksymalnej wstawiamy wartość prędkości światła, a
wynikami doświadczalnymi),
" Oznaczając możliwą do uzyskania prędkość
maksymalną przez c, mamy:
v2
a(�v)�=� 1-�
c2
czyli ostatecznie z równań (3) I (4) otrzymujemy:
x -� vt (5)
x'=�
v2
1-�
c2
x'+�vt'
(6)
x =�
v2
1-�
c2
" Zauważmy, że uzyskaliśmy także nową regułę
dodawania prędkości. Prędkość układu O  względem
układu O, będąca  sumą prędkości v i V wynosi:
v'+�V v'+�V v'+�V
W =�"V +� v'"=� =� =�
Vv'
1-� a2
1+� CVv'
1+�
1+� Vv'
2
c2
V
" Zauważmy, że wyrażenie to ma szczególną właściwość:
jego wartość nie przekracza c! Aby miało ono wartość c,
przynajmniej jedna z wartości musi być równa c
(tłumaczy to wynik doświadczenia Michelsona-Morleya).
" Proszę pamiętać jednak, że dla prędkości, które nie są
wektorami równoległymi wynik ich dodawaniabędzie inny
od opisanego powyższym wzorem!
" Znajdz
my wyrażenia na t i t
" Z (5) i (6) mamy
x'+�vt' v2
-� x' 1-�
c2
v2 v2
x -� x' 1-� 1-�
c2 =� c2
t =�
v v
i dalej:
v2
1-�
x'+�vt'
c2
-� x'
v2 v2
v2
1-� 1-�
x'+�vt'-�x'+�x'
c2 c2 =�
c2
t =�
v
v2
v 1-�
c2
" I ostatecznie:
vx'
t'+�
c2
t =�
(7)
v2
1-�
c2
" Analogiczne rachunki prowadzą do równania
vx
t -�
c2
t'=�
(8)
v2
1-�
c2
" Zauważmy, że dla v<przybierają postać znaną z mechaniki klasycznej.
Dylatacja czasu
" Przypuśćmy, że w układzie U znajduje się zegar
odmierzający czas między dwoma zdarzeniami w
punkcie (x ,y ,z ). Czas, jaki upłynie między tymi
zdarzeniami w układzie U wynosi:
Dt =t2 -t1 .
" Z równania (7) wynika, że obserwator w układzie U
zmierzy czas między tymi zdarzeniami równy
vx' vx'
t2'+� t1'+�
c2 -� c2 =� Dt'
Dt =� t2 -� t1 =�
v2 v2 v2
1-� 1-� 1-�
c2 c2 c2
" Jak widać, Dt>Dt . Wynika z tego, że poruszający się
zegar  opóz
nia się w stosunku do zegara
spoczywającego. Efekt ten nazywamy dylatacją czasu.
Skrócenie Lorentza
" Niech w układzie U znajduje się pręt o długości l0,
leżący na osi OX układu. Niech jego końce znajdują się
w punktach x1 i x2 .
" Z równania (5) mamy
x2 -� vt x1 -� vt l
l0 =� x'2 -�x'1 =� -� =�
v2 v2 v2
1-� 1-� 1-�
c2 c2 c2
czyli
v2
l =� l0 1-�
c2
" Zmierzona długość pręta będzie największa w układzie,
w którym ten pręt spoczywa. W każdym innym układzie
zmierzona długość pręta będzie mniejsza. Efekt ten
nazywa się skróceniem Lorentza.
Paradoks bliz
niąt
" Wyobraz
my sobie następujące doświadczenie: Niech
będzie dwóch braci-bliz
niaków. Jednego z nich
wysyłamy w daleką podróż kosmiczną w bardzo szybkiej
rakiecie, lecącej po linii prostej ze stałą prędkością v
bliską prędkości światła c. W związku z efektem dylatacji
czasu, biologiczny zegar brata-bliz
niaka, który poleciał w
podróż powinien opóz
niać się w porównaniu z
biologicznym zegarem brata-bliz
niaka, który pozostał na
Ziemi. Z tego powodu po powrocie z podróży, wiek
biologiczny podróżującego brata-bliz
niaka powinien być
mniejszy od wieku biologicznego brata, który pozostał na
Ziemi.
" Ale&
" Z punktu widzenia brata-bliz
niaka, który poleciał w
kosmos, to Ziemia wraz z jego bratem-bliz
niakiem
porusza się względem rakiety z dużą prędkością bliską
prędkości światła. W związku z tym, według
podróżującego w rakiecie brata-bliz
niaka, po powrocie
na Ziemię, to brat, który pozostał będzie młodszy od
tego, który poleciał w podróż.
" Nie można a priori odrzucić żadnej z obu argumentacji,
bo oba układy są równouprawnione, bo oba są układami
inercjalnymi.
" Zgodnie z postulatami Einsteina, wyniki eksperymentu
powinny być takie same (opinie braci-bliz
niaków na
temat ich wieku powinny być zgodne).
" Wygląda na to, że mamy paradoks, czyli teoria nie daje
spójnych wyników, czyli jest niewiele warta?
" Tylko jak to zrobić, żeby brat-bliz
niak poruszający się w
rakiecie ze stałą prędkością po linii prostej wrócił do tego
samego punktu, z którego wyleciał?
Energia i pęd w mechanice
relatywistycznej
" Wyobraz
my sobie dwa identyczne ciała o masach m
poruszające się względem pewnego inercjalnego układu
odniesienia O ruchem jednostajnym po tej samej
prostej, z jednakowymi co do wartości prędkościami u,
ale w przeciwnych kierunkach.
" Z symetrii problemu wynika, że jeżeli ciała te zderzą się
 sklejając się przy tym ze sobą, to nowopowstałe ciało
będzie spoczywało (względem układu O ).
" Wez
my inercjalny układ odniesienia O, względem
którego układ O porusza się z prędkością V wzdłuż tej
samej prostej, po której poruszają się wcześniej
rozpatrywane ciała.
" Opiszmy ruch ciał przed i po zderzeniu względem układu
O.
" Względem układu O rozpatrywane ciała poruszają się z
prędkościami
V +� u
v1 =�
Vu
1+�
c2
V -� u
v2 =�
Vu
1-�
c2
" Po zderzeniu ciała poruszają się zaś z prędkością
v3 =� V
" Odrobina algebry:
1 1
=� =�
2
v12
ć� ��
1-�
�� ��
1 V +� u
c2
�� ��
1-�
c2
��1+� Vu ��
�� ��
c2
Ł� ł�
Vu Vu
1+� 1+�
c2 c2
=� =�
2 2
2
V u2
Vu (�V +� u)�
ć�1+� ��
1-� 1-�
-�
�� ��
c2 c2
c2 ł� c2
Ł�
" Mnożąc to równanie stronami przez v1 otrzymujemy:
Vu V +� u
ć�1+� ��
�� ��
c2 ł�1+� Vu
Ł�
v1 V +� u
c2 =�
=�
2 2
V u2 V u2
v12
1-� 1-� 1-� 1-�
1-�
c2 c2 c2 c2
c2
" Analogicznie możemy zapisać:
1 1
=� =�
2
v22
ć� ��
1-�
�� ��
1 V -� u
c2
�� ��
1-�
c2
��1-� Vu ��
�� ��
c2
Ł� ł�
Vu Vu
1-� 1-�
c2 c2
=� =�
2 2
2
V u2
Vu (�V -� u)�
ć�1-� ��
1-� 1-�
-�
�� ��
c2 c2
c2 ł� c2
Ł�
" Mnożąc to równanie stronami przez v2 otrzymujemy:
Vu V -� u
ć�1-� ��
�� ��
c2 ł�1-� Vu
Ł�
v2 V -� u
c2 =�
=�
2 2
V u2 V u2
v12
1-� 1-� 1-� 1-�
1-�
c2 c2 c2 c2
c2
" Z ostatnich czterech równań (dodając odpowiednie z
nich stronami) mamy:
Vu Vu
1-� 1+�
1 1
c2 c2
+� =� +�
2 2
V u2 V u2
v12 v22
1-� 1-� 1-� 1-�
1-� 1-�
c2 c2 c2 c2
c2 c2
2 1
=�
2
u2 V
1-� 1-�
c2 c2
 oraz
v1 v2 V +� u V -� u
+� =� +� =�
2 2
V u2 V u2
v12 v22
1-� 1-� 1-� 1-�
1-� 1-�
c2 c2 c2 c2
c2 c2
2 V
=�
2
u2 V
1-� 1-�
c2 c2
" Mnożąc obustronnie ostatnie dwa równania przez masę
zderzających się ciał m otrzymujemy:
m m 2m 1
+� =�
2
u2 V
v12 v22
1-� 1-�
1-� 1-�
c2 c2
c2 c2
mv1 mv2 2m V
+� =�
2
u2 V
v12 v22
1-� 1-�
1-� 1-�
c2 c2
c2 c2
" Oznaczając:
2m
m3 =�
u2
1-�
c2
mamy
m m m3
+� =�
2
V
v12 v22
1-�
1-� 1-�
c2
c2 c2
mv1 mv2 m3V m3v3
+� =� =�
2
V
v12 v22 v32
1-�
1-� 1-� 1-�
c2
c2 c2 c2
" Definiując pęd jako
mv
p =�
v2
1-�
c2
w drugim równaniu rozpoznajemy zasadę zachowania
pędu.
" Pierwsze z równań powinno być zasadą zachowania
masy. Rozpiszmy wyrażenie
m
v2
1-�
c2
jako sumę m oraz pewnego  przyrostu masy
 Mamy:
ć� ��
v2
�� ��
1-� 1-�
m m
��
c2 =�
=� m +� -� m�� =� m +� m
�� ��
v2 v2 v2
�� ��
1-� 1-� 1-�
�� ��
c2 c2 c2
Ł� ł�
ć� ��ć� ��
��1-� 1-� v2 ����1+� 1-� v2 ��
��
c2 ���� c2 ��
Ł� ł�Ł� ł�
=� m +� m
��
v2 ć�
��1+� 1-� v2 ��
1-�
c2 �� c2 ��
Ł� ł�
 Wykonując działania matematyczne otrzymujemy:
m m v2
=� m +�
c2
v2 v2 v2
1-� 1-� +� 1-�
c2 c2 c2
Ostatni człon wyrażenia po prawej stronie równania jest
dla małych prędkości v równy energii kinetycznej
podzielonej przez c2. Wyrażenie
mv2
T =�
v2 v2
1-� +� 1-�
c2 c2
musimy nazwać więc energią kinetyczną.
" Skoro wielkość
m
v2
1-�
c2
podlega prawu zachowania, to również wielkość
mc2
v2
1-�
c2
podlega prawu zachowania. Ponieważ jest ona sumą
składnika stałego i energii kinetycznej, nazwiemy ją
energią:
mc2 mv2
E =� =� mc2 +�T =� mc2 +�
v2 v2 v2
1-� 1-� +� 1-�
c2 c2 c2
" Jeżeli w prawie zachowania energii:
2 2
��mc +� ��T =� ��mc +���T
pocz. pocz. koń. koń.
pogrupujemy wyrazy, to otrzymamy
2 2
��T -� ��T =� ��mc -���mc =� c2Dm
koń. pocz. pocz. koń.
czyli najbardziej znany wzór szczególnej teorii
względności
" Zachodzi następujące (bardzo użyteczne) równanie:
v2
1-�
m2c4 m2v2c2
c2 =� m2c4
E2 -� p2c2 =� -� =� m2c4
v2 v2 v2
1-� 1-� 1-�
c2 c2 c2
Mechanika kwantowa
Problemy fizyki początku XX wieku
" Wyjaśnienie charakteru promieniowania ciała doskonale
czarnego (problem  katastrofy w nadfiolecie )
" Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne
" Wyjaśnienie charakteru promieniowania emitowanjego
przez atom
Promieniowanie termiczne
" Doświadczenie uczy, że rozgrzane ciała wysyłają
promieniowanie, którego właściwości zależą od
temperatury wysyłającego je ciała. Np.. Rozgrzany metal
wysyła niewidzialne promieniowanie podczerwone
(odczuwane przez nas jako ciepło), ale przy wyższych
temperaturach zaczyna również świecić światłem
czerwonym, a przy jeszcze wyższych temperaturach
barwa światła staje się biała.
" Natężenie promieniowania emitowanego przez dane
ciało Ee jest wielkością fizyczną, mówiącą o tym, jaka jest
moc promieniowania elektromagnetycznego wysyłanego
przez to ciało dW z jednostki powierzchni dS:
dW
Ee =�
dS
" O składzie widmowym wysyłanego promieniowania
mówi zdolność emisyjna El,T, którą definiuje się jako
natężenie promieniowania emitowanego przez ciało dEe
przypadającej na długości fal leżące w przedziale od l
do l+dl:
dEe
El,T =�
dl
" Całkowitą moc promieniowaną elektromagnetycznego
emitowanego z jednostkowej powierzchni ciała
nazywamy całkowitą zdolnością emisyjną. Całkowita
zdolność emisyjna ciała jest równa
Ą�
ET =�
l,T
��E dl
0
" O zdolności ciała do pochłaniania padającego nań
promieniowania mówi zdolność absorpcyjna Al,T, która
jest ilorazem mocy promieniowania o długościach fali od
l do l+dl, jaką może pochłonąć ciało i mocy
promieniowania o długościach fali od l do l+dl, jaka
pada na to ciało:
dWpoch
Al,T =�
dWpad
" Zarówno zdolność emisyjna jak i zdolność absorpcyjna
zależą od wielu czynników, takich jak: temperatura ciała,
długość fali promieniowania, skład chemiczny ciała, jego
kształt i stan jego powierzchni. Szczególnym
przypadkiem jest ciało doskonale czarne.
Promieniowanie ciała doskonale
czarnego
" Ciałem doskonale czarnym nazywamy ciało całkowicie
pochłaniające na nie promieniowanie
elektromagnetyczne, niezależnie od długości fali, czyli
Al,T =�1
takie, że
" Żadne ciało realne nie zachowuje się ściśle jak ciało
doskonale czarne.
" Dobrym modelem ciała doskonale czarnego może być
wnętrze światłoszczelnej komory z małym otworem.
" To, że ciało doskonale czarne całkowicie pochłania
padające na nie promieniowanie nie oznacza, że samo
nie promieniuje, a jedynie to, że nie odbija padającego
na nie promieniowania.
" Jeżeli zdolność absorpcyjna ciała jest niezależna od
długości fali i zależy tylko od jego temperatury i stanu
powierzchni, to takie ciało nazywamy ciałem szarym.
" Stosunek zdolności emisyjnej dowolnego ciała do jego
zdolności absorpcyjnej jest równy zdolności emisyjnej
ciała doskonale czarnego:
El,T
=� rl,T
Al,T
" Całkowitą moc promieniowaną elektromagnetycznego z
jednostkowej powierzchni ciała doskonale czarnego
nazywamy całkowitą zdolnością emisyjną ciała
doskonale czarnego RT. Jest ona oczywiście równa
Ą�
RT =�
l,T
��r dl
0
 Zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego w różnych
temperaturach
" Doświadczalnie stwierdzono, że całkowita zdolność
emisyjna ciała doskonale czarnego (moc promieniowana
z jednostki powierzchni) wynosi
4
RT =� s�T
gdzie s� jest pewną stałą (stała Stefana-Boltzmana).
" Załóżmy, że wewnątrz naszej komory (wnęki)
temperatura jest ustalona. Promieniowanie znajdujące
się wewnątrz takiej komory powinno być w stanie
równowagi termodynamicznej z jej ściankami.
Promieniowanie to powinno być jednorodne, izotropowe i
niespolaryzowane.
" Na podstawie czysto termodynamicznych rozważań w
1893 r. Wien uzyskał zależność opisującą związek
temperatury ciała doskonale czarnego z długością fali,
dla której w rozkładzie energii występuje maksimum:
lmaxT =� b
(wartość stałej b została wyznaczona doświadczalnie i
wynosi 2,8978.10-3m.K).
Po dalszych rozważaniach, 1896 r. Wien uzyskał wzór
opisujący zdolność emisyjną (mocy emitowanej z
jednostkowej powierzchni ciała doskonale czarnego) w
zależności od długości fali l i temperatury T ciała
doskonale czarnego:
c1 1
Rl =�
2
l5 ec lT
(c1, c2 są pewnymi stałymi).
 Prawo Wiena jest zgodne z doświadczeniem, ale tylko
dla małych długości fal.
" W 1900 r. Rayleygh i Jeans zaproponowali inny opis
promieniowania ciała doskonale czarnego. Ich model
opierał się na mechanice statystycznej i teorii fal
elektromagnetycznych. Przy takich założeniach, gęstość
energii fal o częstotliwościach od n do l n+dn wewnątrz
komory będącej modelem ciała doskonale czarnego jest
równa:
2
8p�n
un =� kT
c3
i takie powinno być również widmo promieniowania
emitowanego przez ciało doskonale czarne. Wynik ten
jest zgodny z doświadczeniem tylko dla małych
częstotliwości fal (tzw. katastrofa w nadfiolecie).
" W 1900 r. Max Planck, który nie znał pracy Rayleygha i
Jeansa, zaproponował modyfikacje prawa Wiena, która
dawała wynik bardzo dobrze zgodny z doświadczeniem:
c1 1
Rl =�
2
l5 ec lT -�1
Dopiero póz
niej  dorobił do tego wzoru model zjawisk, z
którego ten wzór wynikał.
Model Plancka był prawie identyczny z modelem
Rayleygha-Jeansa. Jedyna różnica polegała na tym, że
przyjął on, że energia, jaką mogą posiadać fale o
częstotliwości n może być równa wielokrotności pewnej
energii E0:
E =� nE0
 Planck przyjął liniową zależność E0 od n, tzn.
E0 =� hn
i wówczas uzyskał, że gęstość energii promieniowania w
komorze będącej modelem ciała doskonale czarnego
jest równa:
2
8p�n hn
un =�
hn
c3
ekT -�1
Stała h=6,6262.10-34J.s została dobrana tak, by uzyskać
wyniki zgodne z doświadczeniem.
" Z założeń przyjętych przez Plancka wynika, że energia
fali elektromagnetycznej o częstotliwości n wewnątrz
rozpatrywanej komory jest wielokrotnością hn.
 Porównanie wyników teorii Wiena, Rayleigha-Jeansa i
Plancka z doświadczeniem. Kółkami zaznaczono wyniki
rzeczywistych pomiarów.