Ruch drgający i fale
mechaniczne
Ruch drgający
Ruch harmoniczny
" Przykładem takiego ruchu jest odbywający się bez tarcia
ruch klocka przedstawionego na rysunku.
" Jeżeli x oznacza wychylenie klocka z położeni
równowagi, to siła działająca na klocek jest równa
F =� -�kx
gdzie k jest pewną stałą (charakteryzującą sprężynę).
" Różniczkowe równanie ruchu (wynikające z II zasady
dynamiki Newtona) ma postać
2
d x
m =� -�kx �� ma =� F
dt2
" Ogólna postać rozwiązania tego równania.
x =� Asin(�w�t +�j�)�
" Zauważmy, że
dx
v =� =� Aw� cos(�w�t +�j�)�
dt
2
d x d dx d
a =� =� =� v =� -�Aw�2 sin(�w�t +�j�)�=� -�w�2x
dt2 dt dt dt
" Stąd
k
-� mw�2 =� -�k �� w�2 =�
m
" Jaki jest sens stałych w�, A i j�?
" Rozpatrywany ruch jest ruchem okresowym, tzn. istnieje
czas T nazywany okresem drgań, że x(t+T)=x(t). Stąd:
x(�t)�=� Asin(�w�t +�j�)�=� Asin(�w�t +�w�T +�j�)�=� x(�t +�T)�
Stąd:
2p�
w�T =� 2p� �� w� =�
T
" Wartości stałych A i j� należy dobrać na podstawie
innych informacji nt. ruchu (np. położenia i prędkości w
chwili czasu t=0)
.
" Stałą A nazywamy amplitudą drgań. Jest ona równa
maksymalnemu wychyleniu z położenia równowagi.
Stałą j� nazywamy fazą początkową drgań.
" Energia kinetyczna w ruchu harmonicznym wynosi:
1 1
Ek =� mv2 =� mA2w�2 cos2(�w�t +�j�)�=�
2 2
1
=� kA2 cos2(�w�t +�j�)�
2
" Energia potencjalna jest równa:
1 1
Ep =� kx2 =� kA2 sin2(�w�t +�j�)�
2 2
" Energia całkowita jest sumą energii kinetycznej i
potencjalnej:
1 1
E =� Ek +� Ep =� kA2 cos2(�w�t +�j�)�+� kA2 sin2(�w�t +�j�)�
2 2
" Energia całkowita w ruchu
harmonicznym wynosi więc
kA2
E =�
2
" Przykład ruchu harmonicznego:
wahadło matematyczne
Składowa siły ciężkości
działająca na masę ciężką m
prostopadła do nici jest równa
F^� =� mgsinq�
 Wychylenie z położenia równowagi tej masy (mierzone
jako długość łuku o promieniu l między położeniem
równowagi i punktem, w którym znajduje się masa m)
jest równe
x =� lq�
Przyspieszenie masy m jest oczywiście równe
2 2
d x d q�
a =� =� l
dt2 dt2
Ruch tej masy jest więc opisany równaniem
2
d q�
ml =� -�mg sinq�
dt2
Dla małych kątów wychylenia mamy:
2
d q�
ml =� -�mgq�
dt2
 Równanie to jest równaniem ruchu harmonicznego o
częstości kołowej w� równej
g
w� =�
l
Ponieważ
2p�
w� =�
T
gdzie T oznacza okres drgań, to dla wahadła
matematycznego drgającego z niewielką amplitudą
mamy:
l
T =� 2p�
g
 Musimy pamiętać, że jest to rozwiązanie przybliżone,
dobre dla małych wartości q�. Jak mocno różni się ono od
rozwiązania dokładnego?
Rzeczywisty okres drgań zależny jest o amplitudy drgań
i wynosi:
Ą�
��
ć� ��
l
T =� 2p�
ś�
�� ��
��ę��� (�2n)�! ����sin2nć�q�max ��ł�
2
��
g 2
Ł� ł���
n=�0 (�2n ��n!)�
ę��� ś�
Ł� ł�
��
gdzie q�max oznacza maksymalny kąt wychylenia wahadła.
Dokładność wyznaczenia okresu drgań wahadła
matematycznego w przybliżeniu małych drgań
Ruch harmoniczny tłumiony
" Przykładem takiego ruchu jest ruch
przedstawionego na rysunku (krążek
doczepiony do ciała o masie m jest
zanurzony w cieczy).
" Jeżeli x oznacza wychylenie klocka z
położeni równowagi, to siła działająca
na klocek ze strony sprężyny jest
równa
F =� -�kx
gdzie k jest pewną stałą
(charakteryzującą sprężynę).
" Jeżeli siła hamująca klocek jest proporcjonalna do jego
prędkości, to z II zasady dynamiki mamy:
2
d x dx
ma =� -�kx-� bv �� m =� -�kx-� b
dt2 dt
" Można pokazać, że rozwiązanie tego równania ma
postać
x =� Ae-�b�t sin(�w�'t +�j�)�
gdzie:
b
b� =�
2m
2
k b
ć� ��
w�'=� -�
�� ��
m 2m
Ł� ł�
" Dowód (wyłącznie dla niedowiarków):
Jeżeli
x =� Ae-�b�t sin(�w�'t +�j�)�
to:
dx
=� Aw�'e-�b�t cos(�w�'t +�j�)�-� b�Ae-�b�t sin(�w�'t +�j�)�
dt
2
d x
=� -�Aw�'2 e-�b�t sin(�w�'t +�j�)�-� b�Aw�'e-�b�t cos(�w�'t +�j�)�+�
dt2
2
+� b� Ae-�b�t sin(�w�'t +�j�)�-� b�Aw�'e-�b�t cos(�w�'t +�j�)�
Podstawiając uzyskane pochodne do równania (II
zasady dynamiki Newtona):
2
d x dx
m =� -�kx-� b
dt2 dt
 otrzymamy
-� mAw�'2 e-�b�t sin(�w�'t +�j�)�-� mb�Aw�'e-�b�t cos(�w�'t +�j�)�+�
2
+� mb� Ae-�b�t sin(�w�'t +�j�)�-� mb�Aw�'e-�b�t cos(�w�'t +�j�)�=�
=� -�kAe-�b�t sin(�w�'t +�j�)�-�
-� bAw�'e-�b�t cos(�w�'t +�j�)�+� bb�Ae-�b�t sin(�w�'t +�j�)�
Aby powyższe równanie było zawsze spełnione,
współczynniki przy sinusach i kosinusach po obu
stronach równania muszą być równe:
2
m(�-�w�'2+�b� )�=� -�k +� bb�
-� 2mb� =� -�b
 Z drugiego z powyższych równań:
b
b� =�
2m
zaś z pierwszego mamy:
b2 k b2
-�w�'2+� =� -� +�
4m2 m 2m2
i ostatecznie
2
k b
ć� ��
w�'=� -�
�� ��
m 2m
Ł� ł�
Jeżeli wartości w� i b� będą miały odpowiednie (wyżej
obliczone) wartości, to
x =� Ae-�b�t sin(�w�'t +�j�)�
będzie w dowolnej chwili czasu t spełniało równanie
2
d x dx
m =� -�kx-� b
dt2 dt
" Zastanówmy się, jaki sens mają stałe w równaniu:
x =� Ae-�b�t sin(�w�'t +�j�)�
- amplituda w ruchu harmonicznym tłumionym jest funkcją
czasu (linia przerywana na wykresie niżej), równą
A(t)=Ae-b�t
-� w� jest związana z okresem drgań T równaniem:
2p�
w�'=�
T
- stała b� jest związana z prędkością, z jaką zmniejsza się
amplituda drgań. Za pomocą stałej b� definiuje się
wielkość nazywaną logarytmicznym dekrementem
tłumienia drgań:
d� =� b�T
Zauważmy, że
A(�t)� Ae-�b�t A(�t)�
=� =� eb�T =� ed� �� d� =� ln
A(�t +�T)� Ae-�b� (�t+�T )� A(�t +�T)�
Ruch harmoniczny wymuszony
" Wez
my oscylator harmoniczny tłumiony, ale z
dodatkową siła wymuszającą jego drgania:
F =� Fm cos(�w�0t)�
" Dla takiego oscylatora z II zasady dynamiki mamy:
ma =� -�kx-�bv +� Fm cos(�w�0t)�
lub w równoważnej postaci:
2
d x dx
m =� -�kx-� b +� Fm cos(�w�0t)�
dt2 dt
" Zakładam rozwiązanie tego równania w postaci:
Fm
x =� sin(�w�0t -�j�)�
G
W takim przypadku:
dx Fmw�0
=� cos(�w�0t -�j�)�
dt G
2
d x Fmw�02
=� -� sin(�w�0t -�j�)�
dt2 G
Podstawiając powyższe do 2-go równania na
poprzednim slajdzie mamy:
Fmw�02 Fm
-� m sin(�w�0t -�j�)�=� -�k sin(�w�0t -�j�)�-�
G G
Fmw�0
-� b cos(�w�0t -�j�)�+�
G
+� Fm cos(�w�0t)�
 Rozpisując jawnie sinusy i kosinusy sum kątów
otrzymujemy:
Fm
-� (�mw�02 -� k)�[�sin(�w�0t)�cosj� -� cos(�w�0t)�sinj�]�=�
G
Fmw�0
=� -�b [�cos(�w�0t)�cosj� +� sin(�w�0t)�sinj�]�+� Fm cos(�w�0t)�
G
Aby powyższe równanie było zawsze spełnione:
Fm Fmw�0
-� (�mw�02 -� k)�sin(�w�0t)�cosj� =� -�b sin(�w�0t)�sinj�
G G
Fm Fmw�0
��
-� (�mw�02 -� k)�[�-� cos(�w�0t)�sinj�]�=� b cosj� +� Fm ł� cos(�w�0t)�
ę�-� ś�
G G
�� ��
Z pierwszego z tych równań:
mw�0 2 -� k
(�mw�02 -� k)�cosj� =� bw�0 sinj� �� tanj� =�
bw�0
 Przekształcając drugie z równań otrzymujemy:
mw�02 -� k w�0
sinj� =� 1-� b cosj�
G G
Z powyższego równania otrzymujemy:
mw�02 -� k w�0
sinj� +� b cosj� =� 1
G G
Mnożąc powyższe przez G otrzymujemy:
G =�(�mw�02 -� k)�sinj� +� bw�0 cosj�
Podnosząc powyższe równanie obustronnie do
kwadratu:
2
G2 =�(�mw�02 -� k)� sin2 j� +� b2w�02 cos2 j� +� 2(�mw�02 -� k)�bw�0 sinj� cosj�
Ponieważ , to
(�mw�02 -� k)�cosj� =� bw�0 sinj�
2
2(�mw�02 -� k)�bw�0 sinj� cosj� =�(�mw�02 -� k)� cos2 j� +� b2w�02 sin2 j�
 Stąd
2
G2 =� (�mw�02 -� k)� sin2 j� +� b2w�0 2 cos2 j� +� 2(�mw�0 2 -� k)�bw�0 sinj� cosj� =�
2
=� (�mw�0 2 -� k)� (�sin2 j� +� cos2 j�)�+� b2w�0 2(�cos2 j� +� sin2 j�)�=�
2
=� (�mw�0 2 -� k)� +� b2w�0 2
a więc
2
2
k
��
G =� (�mw�0 2 -� k)� +� b2w�0 2 =� m2ć�w�0 2 -� +� b2w�0 2
�� ��
m
Ł� ł�
" Jak widać, pod działaniem siły wymuszającej
F =� Fm cos(�w�0t)�
oscylator tłumiony porusza się ruchem drgającym
opisanym równaniem
Fm
x =� sin(�w�0t -�j�)�
G
2
mw�0 2 -� k
k
��
gdzie , zaś
tanj� =�
G =� m2ć�w�0 2 -� +� b2w�02
�� ��
bw�0
m
Ł� ł�
" Proszę zauważyć, że oscylator drga z taką
częstotliwością, z jaką zmienia się siła wymuszająca.
" Amplituda drgań jest równa Fm/G i zależy od
częstotliwości drgań własnych oscylatora, częstotliwości
siły wymuszającej i współczynnika tłumienia b.
F =� Fm cos(�w�0t)�
Fm
x =� sin(�w�0t -�j�)�
G
2
k
��
2 2
G =� m2ć�w�0 -� +� b2w�0
�� ��
m
Ł� ł�
" Amplituda drgań wymuszonych oscylatora zależy od
częstotliwości zmian siły wymuszającej drgania, ale
istnieje taka częstotliwość wymuszająca drgania
oscylatora, przy której amplituda drgań jest maksymalna
(jest to taka częstotliwość, przy której G we wzorze na
amplitudę drgań jest minimalne). Zjawisko takie
nazywamy rezonansem, a częstotliwość, przy której ono
zachodzi - częstotliwością rezonansową.
" Częstość rezonansowa jest równa:
k b2
w�rez =� -�
m 2m2
" Proszę także zwrócić uwagę na fakt, że ruch oscylatora
jest opóz
niony w stosunku do siły wymuszającej drgania
 jest pewne, niezerowe opóz
nienie fazowe j� ruchu w
stosunku do zmian siły wymuszającej.
Fm
x =� sin(�w�0t -�j�)�
F =� Fm cos(�w�0t)�
G
Fale mechaniczne
Propagacja zaburzenie w ośrodku
sprężystym (rozważania jakościowe)
" Rozpatrzmy ośrodek, w którym istnieje sprzężenie
między jego sąsiednimi punktami takie, że zmiana stanu
tego środka w danym punkcie powodowała podobną
jego zmianę w punktach sąsiednich.
" Ponieważ każdą funkcję można nieskończenie dokładnie
przybliżać wielomianami, to siła działająca na punkt
wychylony z położenia równowagi o x jest równa
F(�x)�=� a�x +� b�x2 +� g�x3 +� ...
Dla bardzo małych x dominujący w powyższym
rozwinięciu będzie wyraz a�x, a więc dla małych
wychyleń z położenia równowagi siła działająca na dany
punkt ośrodka jest proporcjonalna do wychylenia tego
punktu z położenia równowagi (ośrodek jest sprężysty).
" Wyprowadz
my cząsteczkę ośrodka z położenia
równowagi. Co się będzie działo dalej?
" W wyniku oddziaływania z sąsiednimi cząstkami
ośrodka, zostaną one wyprowadzone z położenia
równowagi. Stanie się to z pewnym opóz
nieniem (ze
względu na bezwładność ośrodka).
" Zaburzenie będzie  wędrować przez ośrodek na skutek
kolejnych oddziaływań. Szybkość tej wędrówki będzie
tym większa, im mniejszy jest czas potrzebny na
wyprowadzenie cząstki z położenia równowagi na skutek
oddziaływań z sąsiednimi cząsteczkami.
" Gdy kierunek drgań cząsteczek ośrodka jest równoległy
do kierunku rozchodzenia się fali, falę nazywamy falą
podłużną.. Gdy kierunek drgań ośrodka jest prostopadły
do kierunku rozchodzenia się fali, to falę nazywamy falą
poprzeczną.
F^� =� F sinj� � Fj�
" Z wyprowadzeniem cząsteczki ośrodka z położenia
równowagi wiąże się nadanie jej energii. Następuje więc
przenoszenie energii między cząsteczkami bez
przenoszenia masy. Jest to szczególna cecha ruchu
falowego.
" Jeżeli zaburzenie rozchodzące się w postaci fali jest
okresowe, to falę nazywamy okresową. Fale nie muszą
być okresowe.
" Jeżeli fala jest okresowa, to można zdefiniować jej
długość jako minimalną odległość między punktami
znajdującymi się w tej samej fazie drgań
" Miejsce geometryczne punktów, do których dotarło
zaburzenie nazywamy czołem fali.
" Definiuje się też pojęcie promienia fali  jest to kierunek,
wzdłuż którego rozchodzi się zaburzenie.
" O tym, jaka będzie fala rozchodząca się w ośrodku
decyduje z
ródło fali oraz właściwości ośrodka.
Klasyfikacja fal ze względu na kształt
czoła fali
" Ze względu na kształt czoła fali rozróżniamy w
szczególności fale płaskie, walcowe i kuliste.
Fala podłużna w cienkim sprężystym
pręcie
" Rozważmy element pręta metalowego znajdujący się
pomiędzy dwoma przekrojami w punktach x oraz x+Dx
" Poddajmy pręt odkształceniu (naciskamy, uderzamy
pręt) w kierunku x. Odkształcenie to będzie propagować
się w pręcie dzięki powstającym w nim naprężeniom
s(x). Naprężeniem w punkcie x nazywamy wielkość:
F(�x)�
s(�x)�=�
S
gdzie F(x) oznacza siłę sprężystości, a S  pole
przekroju poprzecznego pręta w punkcie x,
" Niech y(x,t) oznacza wychylenie ośrodka z położenia
równowagi w punkcie x w chwili t.
" Można przyjąć, że średnie przemieszczenie jakiego
doznaje środek masy elementu pręta zawartego
pomiędzy x oraz x+Dx wynosi y(x,t).
" Niech gęstość pręta będzie równa r. Z II zasady
dynamiki Newtona mamy:
ś�2y (�x,t)�
rSDx =� Ss(�x +� Dx)�-� Ss(�x)�
ś�t2
gdzie s(x), s(x+Dx)  naprężenia, odpowiednio w
punktach x oraz x+Dx, a symbol
ś�2
ś�t2
oznacza drugą pochodną po t z funkcji y zmiennych x i t
(oblicza się ją dokładnie tak samo jak zwykłą 2-gą
pochodną, traktując x jak stałą).
" Z powyższego równania mamy:
ś�2y (�x,t)� Ss(�x +� Dx)�-� Ss(�x)�
rS =�
ś�t2 Dx
a przy Dx dążącym do zera:
ś�2y (�x,t)� ś�s
r =�
ś�t2 ś�x
" Dla sprężystych ciał stałych obowiązuje prawo Hooke a:
s =� eE
gdzie E oznacza moduł Younga (jest to stała
materiałowa), zaś e to względna zmiana długości
elementu:
ś�y (�x,t)�
e =�
ś�x
" Z powyższych równań mamy:
ś�2y (�x,t)� ś�s ś� ś�e ś� ś�y (�x,t)�
r =� =� (�eE)�=� E =� E
ś�t2 ś�x ś�x ś�x ś�x ś�x
" Ostatecznie mamy więc różniczkowe równanie falowe
dla fali w cienkim, sprężystym pręcie:
r ś�2y (�x,t)� ś�2y (�x,t)�
=�
E ś�t2 ś�x2
" Można by zająć się rozwiązaniem tego równania, jest
tylko jedno pytanie: czy warto zajmować się jakimś
przypadkiem szczególnym, jeżeli nie wiadomo, czy dla
innych fal jest tak samo? Z tego powodu
przeanalizujemy inny przypadek ruchu falowego.
Fala poprzeczna w napiętej strunie
" Niech T będzie siłą napięcia struny.
" Prostopadła do struny składowa sumy sił działających na
pokazany element jest równa
��F =� T(�sinj�2 -�sinj�1)�
^�
" Dla małych kątów j� zachodzi
sinj� =� tanj�
" Jeżeli masa rozpatrywanego elementu struny wynosi dm,
to jego równanie ruchu jest więc następujące:
2
d y
dm =� T(�tanj�2 -� tanj�1)�
dt2
" Zauważmy, że
dy
tanj�1 =�
dx
x
dy
tanj�2 =�
dx
x+�dx
" Zauważmy, że y jest funkcją 2 zmiennych: x i t. Z
ostatnich 2 równań mamy:
ć� ��
ś�2 y ś�y ś�y
�� ��
dm =� T -�
2
�� ��
ś�t ś�x ś�x
Ł� x+�dx x ł�
gdzie
ś� ś�
,
ś�x ś�t
oznaczają tak policzone pochodne, jakby drugi z
argumentów funkcji był stałą (są to tzw. pochodne
cząstkowe).
" Jeżeli gęstość liniowa struny wynosi r, to dm=rdx, a
więc:
ć� ��
ś�2 y ś�y ś�y
�� ��
r dx =� T�� -�
��
ś�t2 ś�x ś�x
Ł� x+�dx x ł�
" Z powyższego równania mamy różniczkowe równanie
falowe:
r ś�2 y ś�2 y
=�
T ś�t2 ś�x2
" Ma ono podobną postać do równania różniczkowego fali
podłużnej w sprężystym, cienkim pręcie:
r ś�2y (�x,t)� ś�2y (�x,t)�
=�
E ś�t2 ś�x2
" Uzyskane przez nas różniczkowe równania falowe są
równaniami liniowymi. Jedną z właściwości takich
równań jest to, dowolna kombinacja liniowa
rozwiązań równania jest także jego rozwiązaniem.
Spróbujmy zgadnąć jakieś rozwiązanie jednego z tych
równań.