Przestrzenie metryczne
Przestrzenie metryczne
Dotąd spotykaliśmy się z pojęciem odległości punktów na przykładzie liczb na osi liczb rzeczywistych
czy punktów na płaszczyz
nie (odległośd euklidesowa). Ten sposób liczenia odległości pomimo
wielu zalet ma również wady. W praktyce często nie jest możliwe przejście z punktu A do punktu B
najkrótszą drogą, bo uniemożliwiają nam to budynki, rzeki czy inne przeszkody. Zaproponowano więc
wiele innych sposobów mierzenia odległości.
Przyjęto, że funkcja która przyporządkowuje parze punktów zbioru liczbę (zwaną odległością) musi
spełniad kilka warunków, a samą funkcję określa się mianem metryki.
Definicja
Niech będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze nazywamy dowolną funkcję
spełniającą następujące warunki:
1. ,
2. (warunek symetrii),
3. (warunek trójkąta).
Parę uporządkowaną , gdzie jest metryką, nazywamy przestrzenią metryczną. Dla dowolnych
liczbę nazywamy odległością punktów i oraz mówimy, że i są oddalone od
siebie od .
Definicja
Niech będzie przestrzenią metryczną. Kulą o środku w punkcie i promieniu
nazywamy zbiór: .
Definicja
Niech będzie przestrzenią metryczną. Kulą domkniętą o środku w punkcie i promieniu
nazywamy zbiór: .
Przykłady przestrzeni metrycznych
1. Niech będzie dowolnym zbiorem, oraz:
to para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką dyskretną w .
1 MB
Przestrzenie metryczne
2. Niech , oraz :
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką euklidesową w .
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką maksimum
(nieskooczonośd, kwadratowa) w .
Para
jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką taksówkową (Manhattan,
miasto, Minkowskiego, wielkomiejską) w .
3. Niech , oraz:
Para jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką rzeką (buszu) w .
Uwaga, w powyższym zapisie  rzeką jest oś OY.
4. Niech , oraz:
Para
jest przestrzenią metryczną. Funkcję nazywamy metryką kolejową (centrum, węzła
kolejowego, metra paryskiego) w . Wyróżniony punkt S nazywany jest węzłem.
2 MB