480 Przestrzenie metryczne
Definicja
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Odwzorowanie
d : X × X < 0,+") nazywamy metrykÄ… na zbiorze X , gdy
d (x, y) e" 0, d (x, y) = 0Ô! x = y , jednoznaczność
d (x, y) = d( y, x) symetria
d (x, y)d" d (x, z) + d(z, y) warunek trójkąta.
System (X ,d ) nazywamy przestrzenią metryczną. Wartość d (x, y)
nazywamy odległością między punktami x i y .
Definicja
Kulą otwartą ośrodku w punkcie x " X i promieniu r > 0 w przestrzeni
metrycznej (X ,d ) nazywamy zbiór
K(x,r) = {y " X : d(x, y) < r}.
Kulą domkniętą ośrodku w punkcie x " X i promieniu r > 0 w przestrzeni
metrycznej (X ,d ) nazywamy zbiór
K (x,r) = {y " X : d(x, y) d" r}.
Definicja
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem. Odwzorowanie
0, gdy x = y,
Å„Å‚
d : X × X < 0,+") , d(x, y) =
òÅ‚1, gdy x `" y
ół
nazywamy metrykÄ… dyskretnÄ… na zbiorze X .
X
" "
Kula otwarta w metryce dyskretnej
1
"
{x}, gdy 0 < r d" 1 1
Å„Å‚ "
K(x,r) = {y " X : d(x, y) < r} =
òÅ‚
1
X , gdy r > 1.
"
ół
"
Kula domknięta w metryce dyskretnej
"
"
{x}, gdy 0 < r < 1
Å„Å‚
"
K (x,r) = {y " X : d(x, y) d" r} =
òÅ‚
X , gdy r e" 1.
ół
Wniosek
K(x,r) = K (x,r) dla wszystkich r `" 1.
Twierdzenie
W ka\
dym niepustym zbiorze X mo\
emy wprowadzić metrykę.
Przestrzenie metryczne 1/6
Definicja
MetrykÄ… naturalnÄ… na prostej nazywamy odwzorowanie
dnat : R × R < 0,+") , d (x, y) = | y - x |.
Kula otwarta w metryce naturalnej
K(a,r) = {x " R : | x - a |< r} = {x " R : a - r < x < a + r} = (a - r,a + r)
Kula domknięta w metryce naturalnej
K (a,r) = {x " R : | x - a |d" r} = {x " R : a - r d" x d" a + r} =< a - r,a + r >
Wniosek
Kule otwarte w metryce naturalnej to przedziały otwarte, a kule domknięte to
przedziały domknięte
a + b b - a a + b b - a
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
(a,b) = KëÅ‚ , , < a,b >= K ,
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
d (a,b) = b - a
o o
b
a
R
Definicja
Metryką euklidesową na płaszczyz
nie R2 (a więc i na zbiorze liczb
zespolonych C ) nazywamy odwzorowanie
dE : R2 × R2 < 0,+") , dE ((a,b),(c,d )) = | (c,d ) - (a,b) |= (c - a)2 + (d - b)2 .
Kula otwarta w metryce euklidesowej
K((a,b),r) = {(x, y) " R2 :(x - a)2 + ( y - b)2 < r2}
Kula domknięta w metryce euklidesowej
K ((a,b),r) = {(x, y) " R2 :(x - a)2 + ( y - b)2 d" r2}
Wniosek
(c,d )
Kule otwarte w metryce
euklidesowej to koła bez
(a,b)
brzegu, a kule domknięte to
koła z brzegiem.
Przestrzenie metryczne 2/6
Definicja
Metryką maksimum na płaszczyz
nie R2 (a więc i na zbiorze liczb zespolonych
C ) nazywamy odwzorowanie
dmax : R2 × R2 < 0,+") , dmax ((a,b),(c,d )) = max{| c - a |,| d - b |}.
Kula otwarta w metryce maksimum
K((a,b),r) = {(x, y) " R2 :max{| x - a |,| y - b |} < r}
Kula domknięta w metryce maksimum
K ((a,b),r) = {(x, y) " R2 :max{| x - a |,| y - b |} d" r}
2r
Wniosek
(c,d )
Kula otwarta o środku w
punkcie (a,b) i promieniu r > 0
(a,b)
w metryce maksimum to
kwadrat bez brzegu o środku w
punkcie (a,b) i boku 2r , a kula
domknięta to kwadrat z
brzegiem.
Definicja
Metryką taksówkową na płaszczyz
nie R2 (a więc i na zbiorze liczb
zespolonych C ) nazywamy odwzorowanie
d1 : R2 × R2 < 0,+") , d1((a,b),(c,d )) =| c - a | + | d - b |.
Kula otwarta w metryce taksówkowej
K((a,b),r) = {(x, y) " R2 :| x - a | + | y - b |< r}
Kula domknięta w metryce taksówkowej
K ((a,b),r) = {(x, y) " R2 :| x - a | +| y - b |d" r}
Wniosek 2r
(c,d )
Kula otwarta o środku w
punkcie (a,b) i promieniu r > 0
(a,b)
w metryce taksówkowej to
romb bez brzegu o środku w
punkcie (a,b) i średnicy 2r , a
kula domknięta to romb z
brzegiem.
Przestrzenie metryczne 3/6
Definicja
Je\
eli na zbiorze X jest zdefiniowane działanie dodawania spełniające
aksjomaty A1-A4, to metryką inwariantną względem translacji (niezmienniczą
względem przesunięć) nazywamy metrykę spełniającą poni\
szy warunek
dla dowolnych x, y, w " X , d (x + w, y + w) = d(x, y)
Wniosek
Jeśli d jest metryką
inwariantną względem
translacji, to translacja ka\
dej
(a + u,b + v)
kuli o środku w x o element (u,v)
(wektor) w jest nadal kulÄ… (o
(a,b)
środku w x + w ) i tym samym
promieniu, tzn.
K(x,r) + w = K(x + w,r) ,
K (x,r) + w = K (x + w,r)
K((a,b),r) + (u,v) = K((a + u,b + v),r)
Przykład
Metryka dyskretna (na zbiorze X z dodawaniem), naturalna na prostej,
metryka euklidesowa, metryka maksimum i metryka taksówkowa są
inwariantne względem translacji.
Uwaga
1
Kmax ((0,0),1) ƒ" KE ((0,0),1) ƒ" K1((0,0),1) ƒ" Kmax ((0,0), ) ƒ" ...
2
1
Kmax ((0,0),1) ƒ" KE ((0,0),1) ƒ" K1((0,0),1) ƒ" Kmax ((0,0), ) ƒ" ...
2
Przestrzenie metryczne 4/6
Definicja
Metryką rzeki na płaszczyz
nie R2 (a więc i na zbiorze liczb zespolonych C )
nazywamy odwzorowanie
| d - b |, gdy a = c,
Å„Å‚
dr : R2 × R2 < 0,+") , dr ((a,b),(c,d )) = .
òÅ‚
ół| d | + | c - a | + | b |, gdy a `" c.
Kula otwarta w metryce rzeki
Å„Å‚
{(a, y) " R2 : | y - b |< r}, gdy r d"| b |,
K((a,b),r) =
òÅ‚
ół{(a, y) " R2 : | y - b |< r}*"{(x, y) " R2 :| x - a | + | y |< r - b}, gdy r >| b |.
Wniosek
Kula otwarta o środku (c,d )
w punkcie (a,b) i
(a,b)
promieniu r > 0 w
2r
metryce rzeki to albo
odcinek otwarty
prostopadły do osi
rzeki (gdy 0 < r d" b ),
rzeka
albo romb bez brzegu
o średnicy 2r (gdy
b = 0 ), albo suma tych
dwóch zbiorów (gdy r > b > 0 ).
Metryka rzeki nie jest inwarianta względem translacji.
Definicja
Metryką kolei paryskiej na płaszczyz
nie R2 (a więc i na zbiorze liczb
zespolonych C ) nazywamy odwzorowanie
dk : R2 × R2 < 0,+") ,
ńł| (c - a)2 + (d - b)2 , gdy punkty (a,b),(c,d ) są wspóliniowe
ôÅ‚
dk ((a,b),(c,d )) =
òÅ‚
2
ôÅ‚
ół| a2 + b2 + c2 + d , w przeciwnym przypadku.
Kula otwarta w metryce kolei paryskiej
b b
Å„Å‚= A = {(x, x) " R2 :(x - a)2 + ( x - b)2 < r2}, gdy 0 < r d" a2 + b2 ,
ôÅ‚
a a
ôÅ‚
K((a,b),r) = B = {(x, y) " R2 : x2 + y2 < r2}, gdy a = b = 0 < r,
òÅ‚=
ôÅ‚= A *" B,
gdy r > a2 + b2 > 0.
ôÅ‚
ół
Przestrzenie metryczne 5/6
Wniosek
(c,d )
Kula otwarta o środku w punkcie (a,b) i
(a,b)
promieniu r > 0 w metryce kolei paryskiej
to albo odcinek otwarty le\
Ä…cy na prostej
przechodzÄ…cej przez punkt (0,0) (gdy
0 < r d" a2 + b2 ), albo koło bez brzegu o
średnicy r (gdy (a,b) = (0,0) ), albo suma
(0,0)
tych dwóch zbiorów (gdy r > a2 + b2 > 0).
Metryka kolei paryskiej nie jest inwarianta względem translacji.
Przestrzenie metryczne 6/6