Równania Różniczkowe Zwyczajne

ZESTAW 2.

Równania jednorodne

Zad.1 Znaleźć całkę ogólną następujących równań:

(a) x 2 y0 = x 2 + xy + y 2 , (c) xyy0 = x 2 − y 2 ,

(b) xy0 = y tg y ,

(d) y0 = y + x .

x

x

y

Zad.2 Rozwiązać zagadnienie początkowe:

(a) xy0 = y(ln y − ln x) , y(1) = e 3 ,

(b) y0 = 2 xy−y 2 ,

y(1) = 2 ,

2 xy−x 2

(c) xy0 = x + 1 y,

y(1) = 0 ,

2

√

(d) ( y +

x 2 + y 2) dx − xdy = 0 ,

y(1) = 0 .

Zad.3 Znaleźć krzywą, dla której objętość bryły powstałej z obrotu wokół

osi OX obszaru płaskiego ograniczonego szukaną krzywą, osią OX i prostymi: x = x 0 , x = x jest równe y 4 .

x

Zad.4 Znaleźć krzywą, dla której pole zawarte między osią odciętych, szukaną krzywą i prostymi o równaniach x = x 0 i x = x jest równe y 3 .

x

Równania typu y0 = f ( ax + by + c) Zad.1 Rozwiązać podane równania różniczkowe:

(a) dy = x + y + 3 ,

dx

(b) y0 =

4

,

( x+ y)2

√

(c)

1 + x + y dy = ( x + y − 1) dx, (d) y0 = ( x + y − 1) − 1 , (e) y0 = sin( x − y + 1) .