Zakładamy, że dla konkretnego atomu znamy: ˆ
H ψ = E ψ
0
0
0
0
Rozważmy jeden kierunek w sieci kryształu, w której atomy powtarzają się periodycznie o a i ponumerujmy kolejne atomy:
Hˆ ψ = E
0
ψ
i
0
i
ψ
2
2
ψ i = ψ
Funkcje
i będą miały ten sam kształt, ale będą przesunięte w fazie: 0
Weźmy się za równanie:
ˆψ
H
= ψ
E
, gdzie H
ˆ jest hamiltonianem dla całego kryształu Dla atomu poza kryształem:
2
2
h
ˆ
d
H = −
+ Vˆ ( x)
0
2
2
at
m dx
W krysztale:
2
2
h
ˆ
d
ˆ
H = −
+ Vˆ ( x) = H + Vˆ ( x) 2
2
kr
0
p
m dx
gdzie V
ˆ to tzw. potencjał perturbacji, wynikający z umieszczenia atomu w sieci krystalicznej: p
V
ˆ ( x = Vˆ
)
( x − V
ˆ
)
( x)
p
kr
at
Ponieważ funkcja ψ zostaje zmieniona przez potencjał perturbacji, nie jest już funkcją własną hamiltonianu.
Musimy ją rozpisać w szereg funkcji, które znamy: N
ψ = ∑ cψ
i
i , gdzie N jest liczbą atomów w sieci kryształu i=1
Jeśli uwzględnimy tylko oddziaływanie najbliższych sąsiadów:
∞
∞
∫ *
ψ
ψ dx
*
ψ
−
V
ˆ
V
ˆ
ψ
1
p
= ∫
dx
p
+1
= − W
i
i
i
i
−∞
−∞
gdzie W > 0 - potencjał perturbacji obniża energię całkowitą (inaczej kryształ byłby niestabilny).
N
ˆ
Wstawiamy ψ = ∑ c ψ
ψ
H
= E
i
i do
ψ :
i=1
Hˆ ∑
N
N
cψ
E
cψ
∞
i
i =
∑ i i - całkujemy obustronnie: / ∫ *ψ dx m
i=1
i=1
−∞
∞
∞
∫ * ˆ
ψ
V
ˆ
ψ
ψ
ψ
0 +
p ∑
= ∫ * ∑
m (
N
N
H
) c dx
E
c
dx
i
i
m
i
i
i
−∞
=1
i
−∞
=1
∞
N
N
∞
∞
∫ *
ψ Hˆ
cψ dx
c
*
ψ Hˆ
V
ˆ
ψ dx
*
ψ Vˆ ψ dx
m (
0 +
p )
∑ i i = ∑ i ∫ m 0 i + ∫ m p i
=
−∞
i=1
i=1
−∞
−∞
||
E 0 ψ i
N
∞
N
∞
*
*
= ∑ c E ψ ψ dx
c ψ
ψ dx c E W c
c
i
∫ m i + ∑ i ∫ Vˆ
m
i
= m − ( m +
)
0
p
0
1
−
m 1
+
i 1
=
i 1
−∞
=
−∞
||
||
↑
δ
−
mi
W
uwzględniamy tylko najbliższych sąsiadów i k ma
s
Zgadujemy rozwiązanie w postaci fali: c
= Ae
m
, gdzie ma = x ( a to stała sieciowa) Aei k ma
(
− )
1
(
+
s
E 0 − W ( Aei k m a s
+ Aeik m )1 a
s
) = Aei k ma
s
E
i k ma
s
dzielimy obustronnie przez Ae
:
E 0 − W ( e− i k as + ei k a s
) = E
I tym sposobem otrzymujemy zależność energii od wektora falowego: E = E − W
2
cos k a
0
s
Wynik jest bardzo prosty, ale to tylko dzięki temu, że rozpatrywaliśmy wyłącznie jeden kierunek.