Ca lka oznaczona
(na 2 godz. ćwiczeń)
1. Korzystajac z interpretacji geometrycznej ca lki, uzasadnić równości:
,
Z
3 √
π
a)
9 − x2dx =
;
4
0
√
Z
π/3
Z
3
π
b)
tg x dx +
arctg x dx = √ .
0
0
3
Sporzadzić rysunki. Nastepnie obliczyć te ca lki, stosujac odpowiednie metody ca lkowania.
,
,
,
2. Obliczyć ca lki oznaczone.
Z
1
Z
3
dx
Z
π/2
dx
Z
1
a)
arcsin x dx;
b)
√
;
c)
;
d)
|ex−1|dx.
3 sin x + 4 cos x
0
1
x x + 1
0
−1
3. Wyznaczyć wartość średnia (ca lkowa) funkcji f (x) we wskazanym przedziale. Sporzadzić
,
,
,
rysunek.
x + 3
a) f (x) =
, [0, 6].
x2 − 6x + 13
4. Korzystajac z definicji ca lki Riemanna, obliczyć granice ciagu (a
,
,
,
n).
1
2
n
a) an =
+
+ ... +
.
n2 + 1
n2 + 22
n2 + n2
5. Korzystajac z monotoniczności ca lki, oszacować z góry i z do lu ca lke
,
,
Z
1
√
a)
x2 1 + cos2 xdx.
0
6. Obliczyć pole figury ograniczonej podanymi krzywymi. Sporzadzić rysunek.
,
a) 4y = x2, y(x2 + 4) = 8.
7. Obliczyć d lugość podanej krzywej. Sporzadzić rysunek.
,
a) y = ln x, x ∈ [1, e].
8. Obliczyć objetość bry ly obrotowej powsta lej z obrotu podanej figury wokó l osi Ox. Sporza-
,
,
dzić rysunek.
√
a) 0 6 x 6 1, x2 6 y 6
x.
9. Obliczyć pole powierzchni bry ly obrotowej powsta lej z obrotu podanej krzywej wokó l osi Ox. Sporzadzić rysunek.
,
a) y = ex, x ∈ [0, 1].
T. Inglot
Ca lka niew laściwa
(na 1 godz. ćwiczeń)
1. Obliczyć ca lki niew laściwe.
Z
∞
1
Z
∞
a)
dx;
b)
x2e−x3dx.
x2 − x
1
−∞
2. Zbadać zbieżność ca lek.
Z
∞ x + sin 2x
Z
∞
1
Z
0
e−x
a)
√
dx;
b)
sin2
dx;
c)
dx.
x
e−3x + 3
1
x2 +
x
π
−∞
3. Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzgledna ca lek.
,
,
Z
∞
Z
∞
a)
x sin 2xdx;
b)
e−x sin 2x dx.
0
0
T. Inglot
Szeregi liczbowe i potegowe
,
(na 2-3 godz. ćwiczeń)
1. Obliczyć sumy cześciowe szeregu, a nastepnie zbadać jego zbieżność.
,
,
4
8
16
a) 3 − 2 +
−
+
− ... ;
3
9
27
∞
X
1
1
1
1
b)
=
+
+
+ ....
n2 + 2n
3
8
15
n=1
2. Zbadać zbieżność szeregu.
∞
∞
∞
√
X
ln n
X
nn
X
a)
;
b)
;
c)
( n n − 1)n;
n2 + 4
3n n!
n=1
n=1
n=1
∞ √
∞
X
1
X
1
n + 1
d)
n arctg
;
e)
√ ln
.
n2
n
n − 1
n=1
n=2
3. Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzgledna szeregu. Gdy jest zbieżny, obliczyć jego sume
,
,
,
z dok ladnościa do 0.1.
,
∞
∞
∞
X
(−2)n
X (−1)n+1
X (−1)n+1(2n)!
a)
;
b)
;
c)
.
n2 + 2n
n + ln n
2n2
n=1
n=1
n=1
4. Wyznaczyć przedzia l zbieżności szeregu potegowego.
,
∞
∞
∞
X
X ln n
X
xn
a)
10n(x + 3)n;
b)
(x − 1)n;
c)
.
n
2n + 3n
n=1
n=1
n=1
5. Za pomoca twierdzenia o różniczkowaniu badź ca lkowaniu szeregu potegowego obliczyć
,
,
,
sume szeregu liczbowego.
,
∞
∞
∞
X
n
X (−1)n+1
X
n2n
a)
;
b)
;
c)
.
(n + 2)2n
3n − 2
(n + 2)!
n=1
n=1
n=1
6. Rozwinać w szereg Maclaurina funkcje f (x) i obliczyć f (20)(0).
,
,
x
a) f (x) =
;
b) f (x) = sin2 3x.
x2 + 3
7. Obliczyć ca lke z dok ladnościa do 0.001, rozwijajac funkcje podca lkowa w szereg Maclau-
,
,
,
,
,
rina.
Z
1
e− x2
2 dx.
0
8. Obliczyć granice, rozwijajac funkcje podca lkowa w szereg potegowy.
,
,
,
,
,
1
lim
x − x2 ln
1 +
.
x→∞
x
T. Inglot
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych (na 2-3 godz. ćwiczeń)
1. Wyznaczyć dziedzine, gradient oraz macierz pochodnych czastkowych rzedu drugiego
,
,
,
funkcji
xy
1
a) f (x, y) = arctg
;
b) f (x, y, z) =
.
x + y
px2 + y2 + z2
∂4f
Dla przyk ladu b) obliczyć także pochodna
.
, ∂x∂y2∂z
2.13 − 1.82
2. Za pomoca różniczki obliczyć przybliżona wartość wyrażenia
.
,
,
2.13 + 1.82
3. Wyznaczyć równanie p laszczyzny stycznej oraz prostej prostopad lej do wykresu funkcji f (x, y) = ln(x2 + y − 1) w punkcie P (1, e).
x
4. Wyznaczyć pochodna kierunkowa funkcji f (x, y) =
w punkcie P (3, 4) w kie-
,
,
px2 + y2
1
runku wersora v = √
(7, 1).
Dla jakiego kierunku pochodna jest równa 0 i co to 50
oznacza?
5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji a) f (x, y) = x2y(4 − x − y); b) f (x, y, z) = x2 + y2 + z3 − 2x − 6yz.
W przypadku a) wyznaczyć wartość najmniejsza i najwieksza funkcji f w trójkacie ogra-
,
,
,
,
niczonym prostymi x = 0, y = 0, x + y = 6.
6. Funkcja f (x, y) ma ciag le pochodne czastkowe, a g(x, y) = f (xy, x2 + y2). Obliczyć
,
,
∂g
∂g
y
− x
.
∂x
∂y
T. Inglot