Układy równań liniowych
Definicja Układem m równań z n niewiadomymi x 1 , x 2 , . . . , xn , gdzie m, n ∈ N , nazywamy układ równań postaci:
a
11 x 1
+
a 12 x 2 + . . . + a 1 n xn
= b 1
a
21 x 1
+
a 22 x 2 + . . . + a 2 n xn
= b 2
( ∗)
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m 1 x 1
+ am 2 x 2 + . . . + amn xn = bm
gdzie
aij ∈ R nazywamy współczynnikami układu, bi ∈ R
nazywamy wyrazami wolnymi ( i = 1 , 2 , . . . , m , j = 1 , 2 , . . . , n ).
Definicja
• Rozwiązaniem układu równań ( ∗) nazywamy ciąg liczb rzeczywistych x 1 , x 2 , . . . , xn , spełniających ten układ.
• Układ, który nie posiada rozwiązania nazywamy układem sprzecznym.
Uwaga
Układ ( ∗) można zapisać w postaci macierzowej: A X = B ,
gdzie
a
x
b
11
a 12 . . .
a 1 n
1
1
a
x
b
21
a 22 . . .
a 2 n
2
2
A =
X =
B =
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a
x
b
m 1
am 2 . . . amn
n
m
Definicja
• Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań ( ∗) .
• Macierz X nazywamy macierzą (kolumną) niewiadomych.
• Macierz B nazywamy macierzą (kolumną) wyrazów wolnych.
Rozwiązywanie układów równań liniowych
1) Metoda mcierzy odwrotnej
Jeżeli
m = n i det A 6= 0 , czyli macierz główna układu ( ∗) jest macierzą kwadratową nieosobliwą (tym samym istnieje macierz
−
odwrotna
1
A
), to rozwiązania układu ( ∗) możemy poszukiwać
jako rozwiązania równania macierzowego
A X = B ,
tzn.
− 1
X = A
B .
Przykład
Metodą macierzy odwrotnej rozwiąż układ równań:
x
+ y − 2 z
= 3
y −
z
= − 1
−
x
+ 2 z
= 5
2) Wzory Cramera
Definicja
Układ ( ∗) nazywamy układem Cramera, jeżeli macierz główna A tego układu jest macierzą kwadratową nieosobliwą.
Twierdzenie
(Cramera)
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to dane jest wzorami (Cramera):
det A
det A
det A n
x
1
2
1 =
,
x 2 =
,
. . . ,
xn =
,
det A
det A
det A
gdzie macierz A i dla i = 1 , 2 , . . . , n powstaje z macierzy A w wyniku zastąpienia kolumny współczynników stojących przy niewiadomej xi kolumną wyrazów wolnych.
Przykład
Wyznacz x 2 z układu równań:
2 x
1
− 2 x 2 + x 3 + 3 x 4 = 5
x
1
+ 3 x 2 − x 3
+
x 4 = 6
3 x
1
−
x 2 − x 3
+
x 4 = 6
x
1
+
x 2
+ 2 x 3 − x 4 = 2
3) Twierdzenie Kroneckera-Capelli
Rozważmy układ ( ∗) , gdzie w ogólności m 6= n .
Definicja
Macierz
a
11
a 12 . . .
a 1 n
b 1
a
21
a 22 . . .
a 2 n
b 2
U = A | B =
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m 1
am 2 . . . amn
bm
nazywamy macierzą rozszerzoną układu ( ∗) .
Twierdzenie
(Kroneckera-Capelli)
Układ ( ∗) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(U) = R(A) .
Co więcej:
• jeżeli R(U) = R(A) = n ( n -liczba niewiadomych), to układ ( ∗) ma dokładnie jedno rozwiązanie,
• jeżeli R(U) = R(A) = r < n , to układ ( ∗) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n − r parametrów.
Przykład
Rozwiąż następujące układy równań:
a)
3 x − y +
z
= 2
x
+ y + 2 z = 1
b)
x
−
y
+ 3 z = 2
2 x + 7 y + 5 z = 1
2 x − 2 y + 6 z = − 5
c)
x
1
+ x 3 + x 4 = 5
x
1
− x 2 + x 3
= 1
x
2
+ x 3 − x 4 = 0
x
1
+ x 2 + x 3
= 3
d)
3 x
1
+ 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 2
2 x
1
+ 3 x 2 + 2 x 3 + 5 x 4 = 3
9 x
1
+
x 2 + 4 x 3 − 5 x 4 = 1
2 x
1
+ 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 = 5
7 x
1
+
x 2 + 6 x 3 − x 4 = 7
Układy jednorodne
Definicja
Układ postaci ( ∗) nazywamy układem jednorodnym, jeżeli macierz wyrazów wolnych tego układu jest macierzą zerową.
Fakt
Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie. Co więcej:
• jeżeli R(A) = n ( n -liczba niewiadomych), to układ jednorodny ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci
x 1 = 0 ,
x 2 = 0 ,
. . . ,
xn = 0 .
Rozwiązanie to nazywamy rozwiązaniem zerowm.
• jeżeli
R(A) = r < n , to układ ( ∗) ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od
n − r
parametrów, przy czym zbiór
rozwiązań zawiera w sobie rozwiązanie zerowe.
Przykład
Dla jakich wartości parametru a układ ma rozwiązanie niezerowe?
x
+ ay − 3 z = 0
2 x +
y
+
z
= 0
3 x + ay −
z
= 0