1. Znajdź grupa ilorazową 3Z/15Z
2. Wyznaczyć wszystkie warstwy w grupie addytywnej Z12 względem podgrupy H={0,3,6,9}.
3. Znajdź warstwy lewostronne grupy cyklicznej G=(x) rządu 10 względem podgrupy H=(x2).
4. Znajdź wszystkie generatory grupy cyklicznej G=(x) rządu 10.
5. Ile istnieje z dokładnością do izomorfizmu grup rządu 5, oraz 7?
6. Udowodnij, że centrum Z(G) = {x∈G | ∀g∈G xg=gx} grupy G jest grupą normalną grupy G.
7. Wyznaczyć centrum grupy (względem mnożenia) macierzy postaci:
1 a b
0 1 c , gdzie a,b,c ∈ R.
0 0 1
8. Udowodnić, że każdy wewnętrzny automorfizm grupy abelową jest identycznościowy.
9. Przekształcenie f: G → G jest określone wzorem f(x) = x-1. Wykazać, ze f jest automorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest abelowa.
a
b
10. Udowodni
2
2
ć, że grupa G=
a b ∈ R a
+ b
≠
,
,
0 z działaniem mnożenia
− b a
macierzy jest izomorficzna grupie C*=C\{0} 0 niezerowych liczb zespolonych względem mnożenia.
11. Definicje:
• podgrupa normalna, warstwy, grupa ilorazowa
• centrum grupy
• homomorfizm, izomorfizm grupy
• endomorfizm, automorfizm, automorfizm wewnętrzny grupy
• jądro, obraz homomorfizmu