Politechnika Poznańska Zakład Wytrzymałości Materiałów
Ćwiczenie nr 3
Kratownice
Bartosz Ruta
Grupa: 16 Rok akad.: 2008 / 2009
1. Zadanie – rysunek zadanej kratownicy ………………………………………………………….. 3
2. Analiza kinematyczna układu …………………………………………………………………… 4
3. Reakcje podporowe ……………………………………………………………………………… 5
4. Wyznaczenie sił w prętach metodą równoważenia węzłów …………………………………….. 6
5. Metoda Rittera …………………………………………………………………………………… 9
6. Zestawienie wyników………………………………………………………………………….... 10
2
1. Zadanie
Wyznaczyć stopień geometrycznej niewyznaczalności, reakcje i siły we wszystkich prętach (metodą równoważenia węzłów),oraz siły w prętach D2, K1, G2 (metoda Rittera) dla zadanej kratownicy.
3
2. Analiza kinematyczna układu.
2.1 Warunek konieczny.
n = p + r - 2w
n = 7 + 3 – 2·5
n = 10 – 10
n = 0
Warunek konieczny jest spełniony, więc układ jest układem geometrycznie niezmiennym nieprzesztywnionym.
2.2 Warunek dostateczny.
Wszystkie pola kratownicy są trójkątami. Każdy z tych trójkątów łączy się z sąsiednim co najmniej jednym bokiem. Cała kratownica jest więc jedną tarczą. Tarcza połączona jest z fundamentem przegubem B i prętem A nieleżącymi na jednej prostej. Zadany układ jest układem geometrycznie niezmiennym.
4
3. Reakcje podporowe.
∑ M = 0
B
− P ⋅ 2 − P ⋅ 2 − P ⋅ 4 + P ⋅ 4 + R cos R
A
α +
sin
A
α = 0
1
2
4
3
R (cos 45o
o
A
+ sin 45 ) = P ⋅ 2 + P ⋅ 2 − P ⋅ 4 − P ⋅ 4
1
2
4
3
cos 45o = ,
0 707 1
sin 45o = ,
0 707 1
R ( 7
,
0 07 1
A
+ 7
,
0 07 )
1 = 5 ⋅ 2 + 20 ⋅ 2 − 5
,
3 ⋅ 4 − 9 ⋅ 4
,
1 414 2 R
A = 10 + 40 − 14 − 36
4
.
1 14 2 R
A = 0
R
kN
A = 0
∑ Y = 0
R
P
P
R
BY −
−
+
sin
A
α = 0
2
4
o
R
= P + P − R sin 45
BY
2
4
A
R
BY = 20 −
5
,
3 − 0
R
kN
BY = 16 5
,
∑ M = 0
A
P ⋅ 2 + P ⋅ 2 + R
R
BX ⋅ 4 −
BY ⋅ 4 = 0
2
1
4 R
P
P
R
BX = −
⋅ 2 − ⋅ 2 + BY ⋅ 4
2
1
4 R
BX =
2
− 0 ⋅ 2 − 5⋅ 2 +16 5
, ⋅ 4
4 R
BX = 16
R
kN
BX = 4
Sprawdzenie:
∑ X = 0
L = − R
− P + P + R cos BX
1
3
A
α
o
L = −4 − 5 + 9 + 0 ⋅ cos 45
L = 0
L = P
warunek spełniony
5
4. Wyznaczanie sił w prętach metodą równoważenia węzłów.
Węzeł B
∑ X = 0
∑ X = 0
− R
R
BY + S
+ D ⋅ cosα = 0
BX − D
⋅ cosα = 0
2
2
2
− D ⋅ cos
S = − R
BY −
⋅ cos 45o
D
= 0
2
α = RBX
2
2
RBX
D = −
S = −16 5
, − (− 6
,
5 569 ⋅ 7
,
0 071 = 0
2
cosα
2
S = −12 5
, kN
2
RBX
D = −
2
o
cos 45
4
D = −
2
,
0 7071
D = − 6
,
5 569 kN
2
Węzeł A
∑ Y = 0
∑ X = 0
− P − D ⋅sinα + R
G + P + R cos A
α + D cosα = 0
A ⋅ sin α = 0
4
1
1
3
1
− D ⋅sinα = P
G = − P − R cos
− D
1
3
A
α
cos
1
α
1
4
D ⋅ sin α = − P
G = −9 − 0 ⋅ 7
,
0 07 1 − 9
,
4 49 8 ⋅ 7
,
0 07 1
1
4
1
D ⋅ sin 45o = − P
G = 9
− − 5
,
3
1
4
1
⋅ sin 45o
D
= 5
,
3
G = −12 5
, kN
1
1
5
,
3
D =
1
,
0 7071
D =
9
,
4 49 8 kN
1
6
∑ X = 0
∑ Y = 0
− G + G cosα = 0
− P − S − G sinα = 0
1
2
2
1
2
G cosα = G
− S = P + G sin 1
2
2
α
2
1
cos 45o
G
= −12 5
,
S = − P − G sin 1
2
2
α
2
−12 5
,
G =
o
S = − P − G sin 45
2
o
1
2
2
cos 45
−12 5
,
G =
S = −20 − (−17 6
, 77 8 ⋅ 7
,
0 07 )
1
2
,
0 7071
1
G = 1
− 7 6
, 77 8 kN
S = −20 + 1 ,
2 499 97
2
1
S = − 5
,
7 kN
1
Węzeł 1
∑ X = 0
∑ Y = 0
− K − P − G cosα = 0
− S + G sinα = 0
1
1
2
2
2
− K = P + G cos
− S = − G sin
2
2
α
1
1
2
α
o
K = − P − G cos 45
o
S = G sin 45
1
1
2
2
2
K = 5
− − 1
( 7 6
, 77 8 ⋅ 7
,
0 07 )
1
S = −17 6
, 77 8 ⋅ 7
,
0 07 1
1
2
K = −5 + 12 5
,
S = −12 5
, kN
1
2
K =
5
,
7 kN
1
7
∑ X = 0
∑ Y = 0
K + D cosα − D cosα = 0
S + D sin α − D sinα = 0
1
2
1
1
1
2
D cos
= − K + D
D sin
= − S + D
1
α
sin
1
2
α
2
α
cos
1
1
α
o
o
D cos 45 = − K + D cos 45
o
o
D sin 45 = − S + D sin 45
2
1
1
1
1
2
cos 45o
D
= −7 5
, + 9
,
4 49 8 ⋅ ,
0 707 1
D ⋅ 7
,
0 07 1 =
5
,
7
+ (− 6
,
5 56 9 ⋅ 7
,
0 07 )
1
2
1
7 5
, − 4
D ⋅ 7
,
0 07 1 = 4
−
D =
2
1
,
0 707 1
4
D = −
D =
9
,
4 49 8 kN
2
,
0 707 1
1
D = − 6
,
5 569 kN
2
8
5. Metoda Rittera.
∑ M = 0
∑ M
B = 0
1
R
− K ⋅ 2 − P ⋅ 2 − G ⋅ 2 ⋅ cosα = 0
BX ⋅ 2 + RBY ⋅ 0 + D
cosα ⋅ 2 = 0
2
1
1
2
2 D cosα = − R
− K ⋅ 2 = P ⋅ 2 + G ⋅ 2 ⋅ cos 1
1
2
α
BX ⋅ 2
2
2 D cos 45o = − R
K ⋅ 2 = − P ⋅ 2 − G ⋅ 2 ⋅ cos 1
1
2
α
BX ⋅ 2
2
− P ⋅ 2 −
⋅ 2 ⋅ cosα
2 ⋅ 7
,
0 07 1⋅ D = −4 ⋅ 2
1
2
K =
G
2
1
2
− 4 ⋅ 2
D =
o
K = − P − G ⋅ cos 45
2
2 ⋅ ,
0 707 1
1
1
2
− 8
D =
K = 5
− − (−17 6
, 77 )
8 ⋅ 7
,
0 07 1
2
,
1 414 2
1
D = − 6
,
5 569 kN
K = −5 + 12 5
,
2
1
K =
5
,
7 kN
1
9
∑ M = 0
2
− P ⋅ 2 + P ⋅ 2 + R cos A
α ⋅ 2 + G cosα ⋅ 2 = 0
4
3
2
G cosα ⋅ 2 = P ⋅ 2 − P ⋅ 2 − R cos A
α ⋅ 2
2
4
3
cos 45o
G
⋅ 2 = − 5
,
3 ⋅ 2 − 9 ⋅ 2 − 0 ⋅ cos 45o ⋅ 2
2
G ⋅ 7
,
0 07 1⋅ 2 = 7
− −18 − 0
2
G ⋅ ,
1 414 2 = −25
2
− 25
G =
= 1
− 7,677 8 kN
2
,
1 414 2
Zestawienie wyników
Reakcje:
RA = 0 kN
RBX = 4 kN
RBY = 16,5 kN
Siły w prętach wyznaczone metodą równoważenia węzłów: D1 = 4,949 8 kN
D2 = – 5,656 9 kN
G1 = – 12,5 kN
G2 = – 17,677 8 kN
K1 = 7,5 kN
S1 = – 7,5 kN
S2 = – 12,5 kN
Siły wyznaczone w prętach metodą Rittera: D2 = – 5,656 9 kN
G2 = – 17,677 8 kN
K1 = 7,5 kN
10