Równanie zupełne i czynnik całkujący
Zadanie 3.1. Rozwiązać równanie:
(a) ( x 3 + xy 2)d x + ( x 2 y + y 3)d y = 0, gdzie x > 0; (b) (2 xy − 1)d x + (3 y 2 + x 2)d y = 0; (c) (2 xy− 1 + y 2 x− 2 + y − 1)d x + ( −x 2 y− 2 − 2 yx− 1 + x + 1)d y = 0, gdzie x > 0 oraz y > 0; (d) (3 x 2 + 6 xy 2)d x + (6 x 2 y + 4 y 3)d y = 0.
Zadanie 3.2. Rozwiąż równanie
( x 2 + y)d x − x d y = 0 , x > 0 ,
wiedząc, że czynnik całkujący dla danego równania zależy jedynie od zmiennej x, tj. µ = µ( x).
Zadanie 3.3. Rozwiąż równanie
q
x 2 − y + 2 x d x − d y = 0 , wiedząc, że czynnik całkujący dla danego równania zależy od x 2 − y, tj. µ = µ( x 2 − y).
Zadanie 3.4. Rozwiąż równanie
( x 2 y 3 + y)d x + ( x 3 y 2 − x)d y = 0 , x > 0 oraz y > 0
wiedząc, że czynnik całkujący dla danego równania zależy od iloczynu zmiennych, tj µ = µ( xy).
Zadanie 3.5. Rozwiąż równanie
x
x
+ 1 d x +
− 1 d y = 0 ,
y > 0 ,
y
y
wiedząc, że czynnik całkujący dla danego równania zależy tylko od zmiennej y, tj. µ = µ( y).
1
W poniższych odpowiedziach nie uwzględniono zakresu zmienności stałej dowolnej C oraz obszaru określoności odpowiednich rozwiązań.
Zadanie 3.1.
(a) ( x 2 + y 2)2 = C;
(b) x 2 y − x + y 3 = C; x 2
y 2
(c)
−
+ xy − x + y = C;
y
x
(d) x 3 + 3 x 2 y 2 + y 4 = C.
1
Zadanie 3.2. µ( x, y) =
; y = x 2 − Cx.
x 2
1
1
Zadanie 3.3. µ( x, y) = √
; y = x 2 −
( C − x)2, x ¬ C; y = x 2.
x 2 − y
4
1
x
Zadanie 3.4. µ( x, y) =
; x 2 y 2 + 2 ln
= C.
xy
y
Zadanie 3.5. µ( x, y) = y; x 2 − y 2 + 2 xy = C.
2